卓顶精文最新正弦定理教案全

卓顶精文最新正弦定理教案全 11.1.1正弦定理教学要求通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用.教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.教学过程 一、复习引入1.在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系？是否可以把边、角关系准确量化？2.在ABC?中，角A、B、C的正弦对边分别是c b a,，你能发现它们之间有什么关系吗？结论。 二、讲授新课探究一在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？直角三角形中的正弦定理sin A=casin B=cbsin C=1即c=sin sin sina b cA B C?.探究二能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当?ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，有sin sinCD a B b A?,则sin sina bA B?.同理，sin sina cA C?（思考如何作高？），从而sin sin sina b cA B C?.探究三你能用其他方法证明吗？1证明一（等积法）在任意斜ABC当中SABC=111sin sin sin222ab Cac B bc A?.两边同除以12abc即得sinaA=sinbB=sincC.2证明二（外接圆法）如图所示，AD，2sin sinaaCD RAD?，同理sinbB=2Y，sincC2Y.3证明三（向量法）过A作单位向量j垂直于AC，由AC+CB=AB边同乘以单位向量j得.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sina bA B?sincC?=2Y理解定理1公式的变形2.正弦定理的基本作用为已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinb AaB?；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sinaA Bb?。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.3.利用正弦定理解三角形使,经常用到:abcOBCADC Rc BR b A Ra sin2,sin2,sin2)1(?C B A c b asin:sin:sin:)3(?,2sin,2sin,2sin)2(RcCRbBRaA?BbCcCcAaBbAasin sin,sin sin,sin sin)4(?C B AC BA C BAsin)cos(,sin)sin(?C abSabcsin21? 三、教学例题例例11已知在B b a C A cABC和求中，,30,45,1000?.分析已知条件讨论如何利用边角关系示范格式小结已知两角一边解0030,45,10?C A c?00105)(180?C AB由CcAasin sin?得21030sin45sin10sinsin00?CA ca由CcBbsin sin?得256575sin2030sin105sin10sinsin000?CB cb评述此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角和两角所夹的边，也是先利用内角和180求出第三角，再利用正弦定理.例例22C B ba A cABC,2,45,60和求中，?解23245sin6sinsin,sin sin0?aA cCCcAa?0012060,1800或?C C1360sin75sin6sinsin,75600000?CB cb B C时，当，1360sin15sin6sinsin,151200000?CB cb B C时，当或0060,75,13?C B b00120,15,13?C B b练习P41.2题例例33在C A a cB b ABC,1,60,30和求中，?解21360sin1sinsin,sin sin0?bB cCCcBb00090,30,60,?BCC BC B c b为锐角，?222?c ba【变式】02,135,3,ABC a A b B?中，求 四、小结 五、课后作业1奎屯王新敞在ABC中，kCcBbAa?sin sin sin,则k为(2A)A奎屯王新敞2Y B奎屯王新敞Y C奎屯王新敞4Y D奎屯王新敞R21(Y为ABC外接圆半径)2奎屯王新敞在ABC?中，已知角334,2245?bcB，?，则角A的值是A.?15B.?75C.?105D.?75或? 153、在ABC中,?c ba BA:,60,30则若2:3: 14、在ABC?中，若14,6760?a b B，?，则A=。 5、在ABC中，?120,30,6BAAB,则三角形ABC的面积为 395、在ABC?中，已知?45,2,3?Bba，解三角形。 六、心得反思11.1.1正弦定理学案学习目标发现并掌握正弦定理及其证明方法；会用正弦定理解决三角形中的简单问题。 预习自测1.正弦定理的数学表达式2.一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做.3利用正弦定理可以解决两类三角形的问题 (1) (2)问题引入 1、在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系.是否可以把边、角关系准确量化？ 2、在ABC?中，角A、B、C的正弦对边分别是cba,，你能发现它们之间有什么关系吗？结论。 二合作探究 1、探究一在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？ 2、探究二能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形） 3、探究三你能用其他方法证明吗？ 4、正弦定理的变形 5、正弦定理的应用（能解决哪类问题）三例题讲解例例11已知在Bba C A cABC和求中，,30,45,1000?例例22C BbaAcABC,2,45,60和求中，?例例33在C AacBb ABC,1,60,30和求中，?【变式】02,135,3,ABC aA bB?中，求思考通过上面的问题，你对使用正弦定理有什么想法？四课堂练习必修5课本P4T 1、2五课后作业1奎屯王新敞在ABC中，kCcBbAa?sinsinsin,则k为()A奎屯王新敞2Y B奎屯王新敞Y C奎屯王新敞4Y D奎屯王新敞R21(Y为ABC外接圆半径)2奎屯王新敞ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则ABC为()A奎屯王新敞B奎屯王新敞C奎屯王新敞等边三角形D奎屯王新敞等腰三角形3在ABC?中，已知角334,2245?bcB，?，则角A的值是A.?15B.?75C.?105D.?75或? 154、在ABC?中，若14,6760?a bB，?，则A=。 5、在ABC?中，已知?45,2,3?Bba，解三角形。 六心得反思111122解三角形的进一步讨论教学目标掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法。 教学重点在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法。 教学过程.课题导入创设情景思考在?ABC中，已知22a cm?，25b cm?，0133A?，解三角形。 （由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。 下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。 .讲授新课探索研究探究一在?ABC中，已知,a b A，讨论三角形解的情况分析先由sinsinb ABa?可进一步求出B；则0180()C AB?，从而AC acsinsin?1当A为钝角或直角时，必须a b?才能有且只有一解；否则无解。 2当A为锐角时，如果ab，那么只有一解；3.如果ab?，那么可以分下面三种情况来讨论 （1）若sin abA?，则有两解； （2）若sin abA?，则只有一解； （3）若sin abA?，则无解。 （以上解答过程详见课本第910页）评述注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且sin bAab?时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。 探究二你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？三例题讲解例例11.根据下列条件，判断解三角形的情况 (1)a20，b28，A120.无解 (2)a28，b20，A45；一解 (3)c54，b39，C115；一解 (4)b11，a20，B30；两解随堂练习1 （1）在?ABC中，已知80a?，100b?，045A?，试判断此三角形的解的情况。 （2）在?ABC中，若1a?，12c?，040C?，则符合题意的b的值有_个。 （3）在?ABC中，a xcm?，2b cm?，045B?，如果利用正弦定理解三角形有两解，求Y的取值范围。 （答案 （1）有两解； （2）0； （3）222x?）例例2.在ABC?中,已知,cos cos cosa bcA BC?判断ABC?的形状解令sinakA?，由正弦定理，得sin ak A?，sin bk B?，sin ck C?代入已知条件，得sinsinsincos cos cosA BCA BC?，即tan tantan ABC?又A，B，C(0,)?，所以ABC?，从而ABC?为正三角形说明 （1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？ （2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断随堂练习21.ABC中，C BA222sinsinsin?，则ABC为（A）A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形2.已知?ABC满足条件cos cosaA bB?，判断?ABC的类型。 答案?ABC是等腰或直角三角形.课时小结 （1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； （2）三角形各种类型的判定方法；.课后作业1.根据下列条件，判断解三角形的情况2在ABC?中，a=15,b=10,A=60，则cosB=A223B223C63D633已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3,A+C=2B,则sinC=.。 ，求，解这个三角形）（解这个三角形。 和边，求角求边求边）（根据条件解三角形C Aa Bb cCc bBa bcC BA bac abBAb aC Ac,6031)6(,45,20,405,30,26,13)4(.,30,316,16)3(.,12,120,30)2(.,30,45,1014?六心得反思21.1.2解三角形的进一步讨论学案【学习目标】1.掌握已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的讨论；2.三角形各种形状的判断方法；【学习重难点】1.已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的讨论；三角形各种形状的判断方法。 ?60,20,18)4(30,16,8)3(120,15,12)2(45,16,14)1(B cbA b aAc aA ba、 一、情景问题我们在解三角形时可以会出现一些我们预想不到的结果，现在请大家思考下面问题在ABC?中，已知?133,25,22?A cmb cma，解三角形。 二、探索研究探究一在?ABC中，已知,abA，讨论三角形解的情况结论探究二你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？三例题讲解例例11.根据下列条件，判断解三角形的情况 (1)a20，b28，A120.无解 (2)a28，b20，A45；一解 (3)c54，b39，C115；一解 (4)b11，a20，B30；两解变式练习1 （1）在?ABC中，已知80a?，100b?，045A?，试判断此三角形的解的情况。 （2）在?ABC中，若1a?，12c?，040C?，则符合题意的b的值有_个。 （3）在?ABC中，a xcm?，2b cm?，045B?，如果利用正弦定理解三角形有两解，求Y的取值范围。 例例2.在ABC?中,已知,coscoscosa bcA BC?判断ABC?的形状变式练习21.ABC中，C BA222sinsinsin?，则ABC为（）A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形2.已知?ABC满足条件coscosaAbB?，判断?ABC的类型。 四.尝试小结五.课后作业1.根据下列条件，判断解三角形的情况2在ABC?中，a=15,b=10,A=60，则cosB=A223B223C63D