上海市延安中学2017届高三上学期开学考试数学试题（解析版）

延安中学高三开学考数学试卷一.填空题1.两数2和3的几何平均数是_【答案】【解析】分析】由几何平均数的定义求解即可【详解】由题,则2和3的几何平均数为,故答案为:【点睛】本题考查几何平均数的概念,属于基础题2.已如矩阵，若，则_【答案】2【解析】【分析】由可得,进而解方程组即可【详解】因为,所以,解得,故答案为:2【点睛】本题考查矩阵的乘法,考查矩阵与二元一次方程组的关系3.若（是虚数单位）是纯虚数，则实数_【答案】【解析】【分析】整理为的形式,由纯虚数的概念求解即可【详解】由题,因为是纯虚数,所以,即,故答案为:【点睛】本题考查已知复数的类型求参数,考查复数的除法法则的应用,属于基础题4.若函数，为偶函数，则_【答案】【解析】【分析】由函数为偶函数，得到，结合，即可求解.【详解】由题意，函数为偶函数，则，即，解得，又因为，所以.故答案为.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5.已知集合，则_【答案】【解析】【分析】先求解不等式和,再由补集与交集的定义求解即可【详解】由题,因为,所以,即；因为,所以,即,所以或,所以故答案为:【点睛】本题考查补集、交集的运算,考查解含绝对值的不等式,考查解分式不等式6.已知幂函数过点，则的反函数为_【答案】（）【解析】【分析】先根据幂函数通过的点求出该幂函数，再求它的反函数即得【详解】设幂函数（为常数），由题得，解得，故.由可得，把x与y互换可得，得的反函数为.【点睛】本题考查求幂函数的解析式进而求其反函数，属于基础题7.已知圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高为_【答案】【解析】【分析】由弧长公式可求得扇形的弧为,即可求得底面圆的半径为1,再利用轴截面求解即可【详解】由题,则扇形弧长,因为扇形弧长为底面圆的周长,即,所以,因为圆锥的过高的轴截面是以底面圆的直径为底,以侧面展开图的扇形的半径为腰的等腰三角形,则圆锥的高为,故答案为:【点睛】本题考查圆锥展开图的应用,考查弧长公式的应用,考查圆锥的高8.若二项式展开式中第四项与第八项的二项式系数相等，则其常数项为_【答案】【解析】【分析】由题可得,则,再利用通项公式求得常数项即可【详解】因为二项式展开式中第四项与第八项的二项式系数相等,所以,所以,因为,所以令,则,所以常数项为,故答案为:【点睛】本题考查二项式系数的应用,考查二项式展开式的常数项9.在暑假期间，甲外出旅游的概率是0.2，乙外出旅游的概率是0.25，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是_【答案】【解析】【分析】设“暑假期间两人中至少有一人外出旅游”为事件,则其对立事件为“暑假期间两人都未外出旅游”,先求得,再求解即可【详解】设“暑假期间两人中至少有一人外出旅游”为事件,则其对立事件为“暑假期间两人都未外出旅游”,则,所以,故答案为:【点睛】本题考查利用对立事件求概率,考查独立事件的概率公式的应用10.已知一个四棱锥底面是平行四边形，该四棱锥三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_ 【答案】2【解析】分析】由主视图和俯视图可得到平行四边形的长为2,由侧视图可得平行四边形的高为1,进而求解即可【详解】由三视图可得底面平行四边形的长为2,高为1,所以,故答案为:2【点睛】本题考查三视图的应用,考查棱锥的体积,考查空间想象能力11.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元.【答案】【解析】试题分析：设生产产品和产品的件数分别为件，利润之和为元，则根据题意可得，整理得，如图所示，阴影部分为可行域，目标函数为，目标函数表示直线的纵轴截距的倍，由图可知，当直线经过点时，取得最大值联立方程，解得，所以当时，目标函数取得最大值，.故本题正确答案为.考点：线性规划的应用.【方法点晴】本题是结合实际应用的线性规划问题，根据条件列出限制条件，即得到可行域，根据问题明确目标函数；线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：一、准确无误的做出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.【此处有视频，请去附件查看】12.已知、是双曲线：的左、右焦点，点在双曲线上，与轴垂直，则双曲线两条渐近线夹角的正切值为_【答案】【解析】【分析】由题可求得,根据定义得,则,解得,即渐近线为,利用渐近线斜率与两渐近线夹角的关系求解即可【详解】由题,因为与轴垂直,所以将代入中可得,所以,由双曲线的定义可得,因为,即,所以,即渐近线为,设两条渐近线夹角为,所以故答案为:【点睛】本题考查双曲线的定义的应用,考查双曲线渐近线的应用13.若不等式对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】将分成奇数和偶数两种情况分类讨论，利用数列的单调性，求得的取值范围.【详解】当为偶数时，原不等式转化为，而单调递增，故，故.当为奇数时，原不等式转化为，而单调递增，故，故.综上所述，.【点睛】本小题考查数列的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.14.在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A单位圆的“伴随曲线”是它自身；若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”关于y轴对称；一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_（写出所有真命题的序列）.【答案】【解析】【详解】试题分析：对于，若令，则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故错误；对于，设曲线关于轴对称，则对曲线表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为与的图象关于轴对称，所以正确；令单位圆上点的坐标为其伴随点为仍在单位圆上，故正确；对于，直线上取点后得其伴随点消参后轨迹是圆，故错误.所以正确的为序号为.考点：对新定义的理解、函数的对称性.二.选择题15.我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石【答案】B【解析】【详解】设夹谷石，则，所以，所以这批米内夹谷约为石，故选B.考点：用样本的数据特征估计总体.【此处有视频，请去附件查看】16.如图所示,程序框图的功能是( )A. 求的前项和B. 求的前项和C. 求的前项和D. 求的前项和【答案】B【解析】【分析】运行程序即可知该程序的功能.【详解】运行程序如下：s=0+n=4,k=2,s=0+,n=6,k=3,所以该程序求得是的前项和.故答案为B【点睛】(1)本题主要考查程序框图，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)类似这种题目，运行程序即知程序框图的功能.17.已知数列，对于任意的正整数，设表示数列的前项和，下列关于极限的结论，正确的是（ ）A. B. C. D. 不收敛【答案】B【解析】【分析】由通项公式可得,进而求解即可详解】由题,所以,故选:B【点睛】本题考查无穷等比数列的和的应用,考查数列的极限18.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足，由点集P|，|1，R所表示区域的面积是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】由知：.不妨设，则：.解得由|1得.作出可行域，如图所示则所求面积.本题选择D选项.【此处有视频，请去附件查看】三.解答题19.已知，分别为三个内角,的对边，.()求；()若=2，的面积为，求，.【答案】(1)(2)=2【解析】【详解】()由及正弦定理得由于，所以，又，故.()的面积=,故=4，而故=8，解得=220.如图，在直三棱柱中，是边长为4的正方形，. （1）求直线与平面所成的角的大小；（2）证明：在线段上存在点，使得，并求的值；【答案】（1）；（2）证明见解析，；【解析】【分析】（1）由题易证两两垂直,则以为原点,以分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,分别求得和平面的法向量,进而求解即可；（2）设,解得,再求得和,利用求解即可【详解】（1）由题,即,直三棱柱,平面,以为原点,以分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,如图所示,则,设为平面的法向量,即,设,则,直线与平面所成的角的正弦值为,直线与平面所成的角为（2）证明：在线段上,设,由（1）,即,即,在线段上存在点,当时, 使得【点睛】本题考查空间向量法求线面角,考查共线向量的应用,考查已知空间中直线的位置关系求参数,考查运算能力21.已知且，函数，记.（1）求函数的定义域及其零点；（2）若关于的方程在区间内仅有一解，求实数的取值范围.【答案】（），零点是0；（）当时，；当时，【解析】【详解】试题分析：（）先由对数函数中真数大于零建立不等式组求得定义域，再令解出函数零点；（）把关于的方程化为，则设，然后利用函数的性质求解试题解析：（），由，解得，所以函数的定义域为令，则（*）方程变为，即，解得，（舍）综上函数的定义域，零点是（），则，在上是单调函数，设，则函数在区间上是减函数，当时，此时，所以所以当，则，方程有解；当，则，方程有解考点：1、函数的定义域与零点；2、函数的单调性22.设等差数列的前项和为，且，；（1）求数列的通项公式：（2）设数列满足（），求的通项公式；（3）求第（2）小题中数列的前项和；【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式和前项和公式,代入求解即可；（2）当时,与已知作差即可求解,需注意讨论时是否符合条件；（3）由（2）知,利用错位相减法求解即可【详解】（1）数列是等差数列,设,（2）由题,当时,得,；当时,即,符合,（3）由（2）,【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查由递推公式求通项公式,考查错位相减法求数列的和,考查运算能力23.（1）设椭圆与双曲线有相同的焦点、，是椭圆与双曲线的公共点，且的周长为6，求椭圆的方程；我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”；（2）如图，已知“盾圆”的方程为，设“盾圆”上的任意一点到的距离为，到直线的距离为，求证：为定值；（3）由抛物线弧（）与第（1）小题椭圆弧（）所合成的封闭曲线为“盾圆”，设过点的直线与“盾圆”交于、两点，且（），试用表示，并求的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），；，；.【解析】【分析】（1）由由的周长为得,由椭圆与双曲线共焦点可得值,根据平方关系求得,进而即可得到椭圆方程；（2）设“盾圆”上的任意一点的坐标为,分为与两种情况表示出,再分别计算,即可求得定值；（3）由“盾圆”的对称性,不妨设在轴上方（或轴上）,分类讨论：时,在椭圆弧上；时,在抛物弧上,由条件可表示出此时,相应地, 再按时, 在抛物弧上,在椭圆弧上；当时,在椭圆弧上, 在抛物弧上；当时, 、在椭圆弧上,利用三角函数性质分别求出的范围【详解】（1）由的周长为得,椭圆与双曲线有相同的焦点,所以,即,则,则椭圆的方程为（2）证明：设“盾圆”上的任意一点的坐标为,当时,即；