江苏省徐州市2013-2014学年度高二上学期期中考试数学试题（解析版）

20132014学年度第一学期期中考试高二数学试题一、填空题（每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上）1.命题“”的否定是_.【答案】【解析】【分析】按规则写出存在性命题的否定即可.【详解】命题的否定为：“，”，填，.【点睛】全称命题的一般形式是：，其否定为.存在性命题的一般形式是，其否定为.2.给出命题：“若则”，在它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数是_.【答案】3【解析】【分析】根据四种命题的前提和结论的相互关系写出原命题的三种命题后可得真命题的个数.【详解】原命题为真命题，原命题的逆命题为：“若，则”，它是真命题，依据命题与其逆否命题同真同假可得原命题的逆命题，否命题，逆否命题均为真命题，填3.【点睛】如果原命题为“若则”，则其逆命题为“若则”，否命题为“若则” ，逆否命题为“若则” .3.直线必过定点_.【答案】【解析】【分析】直线方程为点斜式，斜率变化时，直线过定点.【详解】当时，故直线过定点，填.【点睛】一般地，含参数的动直线会有一些确定性质，比如过定点、与确定的圆相切等，解题中注意利用这些性质可便于问题的解决.4.底面边长为2，高为1的正三棱锥的全面积为_.【答案】【解析】【分析】利用底边边长和高计算正三棱锥的斜高可得全面积.【详解】因为底面的边长为2，故底面中心到底面边的距离为，故斜高为，故全面积为，填.【点睛】正三棱锥中，顶点在底面的投影为，为斜高（中），则四个沟通了斜高、正三棱锥的高、底面的边长、侧棱长之间的关系.5.过三点的圆方程为_.【答案】【解析】【分析】利用圆的一般式方程可求过三点的圆的方程.【详解】设圆的方程为：，则，解得，故圆的方程为：.填.【点睛】求圆的方程时，如果已知条件为圆所过的三点，则可以设圆的一般方程，通过解关于的方程组求解.如果已知条件与圆心和半径有关，则可设圆的标准方程，通过圆的一些几何性质确定圆心坐标和半径.6.如果用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是_.【答案】【解析】【分析】通过半圆的弧长得到圆锥底面的圆的半径，从而得到圆锥筒的高.【详解】设圆锥底面的半径为，高为，则，故，填.【点睛】一般地，圆锥侧面展开图为扇形，其半径就是圆锥的母线长，其弧长就是圆锥底面的周长.7.已知球内接正方体的棱长为，那么球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】球的直径为正方体的体对角线.【详解】内接正方体的对角线为球的直径，故球的直径为，球的表面积为，填.【点睛】一般地，正方体的外接球的直径为正方体的体对角线，内切球的直径为正方体的棱长，与各棱都相切的球的直径为面对角线长.8.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_.【答案】x+y=3或y=2x【解析】试题分析：当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y-3=0；当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x-y=0综上，所求直线的方程为：2x-y=0或x+y-3=0考点：直线方程9.圆关于直线对称的圆的方程为_.【答案】【解析】【分析】先求出给定圆的圆心和半径，再求圆心关于直线对称的点可得对称圆的方程.【详解】圆的标准方程为：，故半径为1，圆心为，设其关于直线的对称点为，则 ，故，故所求圆的方程为：，填.【点睛】直线方程中有四种对称：（1）点关于点的对称：利用中点坐标公式可解此类问题.（2）点关于线的对称：利用点及其对称点的连线与对称轴垂直以及它们的中点在对称轴上可以得到点关于线的对称点.（3）线关于点的对称：利用线与其对称的直线是平行的，再在原直线上选择一个特殊点并求出该点关于点的对称点后可以得到所求的对称直线的方程.（4）线关于线对称：利用对称直线过已知直线与对称轴的交点，再在原直线上选择一个点，求出该点关于对称轴的对称点可得对称直线的方程.10.已知垂直于平行四边形所在平面，若，则平行四边形一定是_.【答案】菱形【解析】【详解】根据题意，画出图形如图，PA垂直平行四边形ABCD所在平面，PABD，又PCBD，PA平面PAC，PC平面PAC，PAPC=PBD平面PAC又AC平面PACACBD又ABCD是平行四边形平行四边形ABCD一定是 菱形故答案为菱形11.关于异面直线，有下列四个命题：（1）过直线有且仅有一个平面，使/;（2）过直线有且仅有一个平面，使;（3）空间中存在平面，使/,/;（4）在空间中不存在平面，使,;其中正确命题的序号是_.【答案】（1）（3）（4）【解析】【分析】利用线面平行的性质可证（1）成立，用反证法可得（2）错误，（4）正确，利用线面平行的判定定理可得（3）正确.【详解】在直线选一点，过作直线，由公理3的推论可知存在平面，使得，因异面，故，所以，若存在不同的平面，使得，则，故，与异面矛盾，故（1）正确.对于（2），若存在平面，使得，因，故，所以当不垂直时，（2）就不成立，故（2）错.对于（4），如存在平面，使得，则，与异面矛盾，故（4）正确.对于（3），在空间中取，过分别作的平行线，设相交直线确定的平面为（如果中有一条直线在该平面中，可平移该平面使得均在平面外），则，故（3）正确.综上，填（1）（3）（4）.【点睛】本题考察异面直线的性质，属于基础题.12.直线与曲线恰有一个交点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】曲线表示轴右侧的半圆（含与轴的交点），直线与半圆只有一个公共点，故可求实数的取值范围.【详解】曲线表示轴右侧的半圆（含与轴的交点），如图所示：当直线与半圆相切时，或者（舎），当直线与半圆只有一个交点时， 或，填.【点睛】一般地，函数的图像为半圆，曲线也表示半圆，解题中注意的范围限制.13.已知命题“”.若命题是假命题，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据命题是假命题知p是真命题，即转化为恒成立问题，求的值域即可.【详解】因为命题是假命题，所以p是真命题，即，所以有解即可，令，利用二次函数可知，故.【点睛】本题主要考查了二次函数求值域，恒成立问题，属于中档题. 分离参数的方法是解题的关键.14.若圆与圆的公共弦的长为，则圆上位于下方的点到的最长距离为_.【答案】【解析】【分析】先求出公共弦的方程，利用公共弦长为可以得到到公共弦的距离后可得下方的点到的最长距离.【详解】公共弦的方程为，因弦长为，故圆心到的距离，所以即，圆心，故到的距离为，又圆心的半径为，故圆上位于下方的点到的最大距离为.【点睛】如果圆与圆相交，那么公共弦的方程为.二、解答题（共6小题，合计70分请把答案填写在答题卡相应位置上）15.已知边上的中线边上的高为.求（1）中线的方程；（2）高【答案】（1）；（2）x-2y+6=0，【解析】【分析】（1）求出中点的坐标后可以直线的两点式方程，整理后可得一般方程.（2）求出的斜率后可以直线的斜率，从而得到直线的方程，而就是到直线的距离，利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】解：（1）设点的坐标为，因为点是线段中点，所以即点坐标为，由两点式得所在直线方程为即 所以中线方程为： . （2）直线的斜率为：，因为，所以，所以所在直线方程是即. 直线的方程为：，因为就是点到直线的距离，所以由点到直线的距离公式得.【点睛】直线有斜率、倾斜角或其所过之点共三种几何要素，知道两个点或一个点及斜率（或倾斜角）都可以求出直线的方程，解题中注意分析题设中已知的条件再选择合适的计算途径来计算直线的方程.16.如图，在三棱锥(1)求证：(2)求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接后可证明平面，从而得到. （2）利用可得为等腰直角三角形，故，同理，所以，再根据 得到平面即为点到平面的距离，故可得所求的体积.【详解】取的中点，连接， ，又，面 ，又面， (2)在中， ，可得，同理 ，在中，又，面【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，而线面垂直的判断则需要找到面中与已知直线垂直的直线两条相交直线，注意对称的图形必然蕴含着垂直关系.又三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算.17.设命题.(1)（2）若命题是命题的一个必要不充分条件，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先求出时，因且为真，故的范围为 .（2）因是的必要不充分条件，所以是的真子集，故可得的取值范围.【详解】， （1）当时，若“且”为真命题，则， （2）当时，由命题是命题的必要但不充分条件，可知是的真子集，此时符合题意， 当时，要使是的真子集，须，即当时，满足命题是命题的必要但不充分条件 因此，的取值范围是【点睛】（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含18.如图，正四棱柱（1）求证：直线(2)求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）设，连接，可证，从而直线平面（2）可证 平面，从而得到平面平面【详解】（1）设，连接， 分别是的中点， 平面，平面，平面 (2) 平面，平面，又，平面，平面，平面平面 【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行.19.在路边安装路灯,灯柱的高为米，路宽为23米，灯杆与灯柱角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，请你建立适当直角坐标系，解决以下问题:(1)当（2）且灯罩轴线正好通过道路路面的中线时，求灯杆的长为多少米？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，则可得的坐标及其的斜率，从而可得的斜率，最后求得直线的方程.（2），而，利用可求得的长.【详解】（1）以灯柱底端点为原点，灯柱所在直线为轴，路宽所在直线为轴，建立如图所示直角坐标系则点的坐标为， 点的坐标为， 因为灯杆与灯柱成角，所以的倾斜角为，则点的坐标为)，即因为，所以， 当时，点的坐标为，此时的方程为 ，即 （2）设路面中线与路宽的交点为，则点的坐标为可求得：，由斜率，解得答：（1）当米时，灯罩轴线所在的直线方程为，（2）当米且灯罩的轴线正好通过道路路面的中线时米【点睛】本题以灯罩问题为载体，考察直线方程及直线与直线的位置关系对于斜率存在的两条直线，如果它们垂直，那么它们的斜率乘积为，如果它们平行，则它们的斜率相等20.已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线（1）当的横坐标为2时，求切线方程；（2）求证：经过三点的圆必过定点，并求此定点的坐标；（3）当线段长度最小时，求四边形的面积.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）点，可设切线方程为：，利用圆心到直线的距离为半径可得，注意斜率不存在的直线也是圆的切线（2）设，过三点的圆的直径为，利用圆的直径式方程可得圆的一般方程，整理后可得圆过定点并能求得定点坐标（3）利用（2）的结论计算弦的方程，再计算到的距离后得到弦长与的关系式，由此可得弦长的最小值 【详解】（1）当斜率不存在