含绝对值符号的不等式证明·教案

含绝对值符号的不等式证明教案 含绝对值符号的不等式证明教案北京市二十四中陈蔼临教学目标1掌握绝对值的基本性质，在学会一般不等式的证明的基础上，学会含有绝对值符号的不等式的证明方法2通过含有绝对值符号的不等式的证明进一步巩固不等式的证明中的由因导果、执要溯因，等数学思想方法通过证明方法的探求，培养学生勤于思考，全面思考的思考方法3通过含有绝对值符号的不等式的证明，可培养学生辩证思维的方法和能力，以及严谨的治学精神教学重点与难点理解掌握定理1，及其证明方法是这节课的重点也是难点，对定理1的指导论证不仅重在结论，更重要是重视结论的探求推导过程捕捉住推证这个时机，启发学生用辩证的思想方法，去探求解决矛盾的途径教学过程设计（一）复习师我们在初中学过绝对值的有关概念哪位同学来说说绝对值的定义？生当aR时，则有师绝对值的几何意义？生点A的读数为a，|a|表示A点到原点的距离师绝对值的运算公式？生如果a0，则有|x|a x2a2-axa；|x|a x2a2xa或x-a师绝对值的基本性质有哪些？生当|a|0时，若a0，|a|0师|a|与a有什么关系？生a0时，|a|=a；a0时，|a|a，|a|=-a；a=0时，|a|=a，所以|a|a师|a|2与a2有什么关系？生|a|2=a2师比较-|a|与a，a与|a|的大小？生这需要讨论当a0时当a0时当a=0时|a|=a|a|=-a-|a|=a=|a|-|a|=-a0-|a|=a-|a|a=|a|a|a|-|a|=a|a|师由以上大家的讨论，我们可以得到什么结论？生-|a|a|a|师这里对a有什么要求？生aR（二）新课师请大家看式子|a|-|b|a+b|a|+|b|这个式子包括两部分|a+b|a|+|b| （1）；|a|-|b|a+b| （2）利用上面的式子-|a|a|a|，如何出现含有a+b的式子？生由-|a|a|a|与-|b|b|b|两式相加就有-（|a|+|b|）a+b|a|+|b|师当我们将|a|+|b|看作一个整体时，上面的式逆用|x|a-axa可有什么结论？生|a+b|a|+|b|（*）师这正是我们要证明的式子的 （1）那么式子 （2）我们又如何证明呢？现在我们考虑 （2）式左边|a|与|b|的差的符号有哪些可能？生|a|-|b|0或=0或0三种可能师现在我们就这几种可能进行讨论当|a|-|b|0时，看 （2）式是一个怎样的不等式？生绝对不等式，显然成立师那当|a|-|b|0时，|a|-|b|a+b|a|+|b|a2-2|ab|+b2a2+2ab+b2a2+2|ab|+b2-2|ab|2ab2|ab|-|ab|ab|ab|，这正是以上我们复习的绝对值的基本性质所以我们可有以下证明由-|ab|ab|ab|，知-|2ab|2ab|2ab|，则a2|2ab|+b2a2+2ab+b2a2+|2ab|+b2，即|a|2-|2ab|+|b|2（a+b）2|a|2+|2ab|+|b|2所以（|a|-|b|）2|a+b|2（|a|+|b|）2又|a|-|b|0，则|a|-|b|a+b|a|+|b|由以上证明我们可以看到如论|a|-|b|0或|a|-|b|0都有|a|-|b|a+b|成立师再与（*）合在一起，就有公式|a|-|b|a+b|a+b|a|+|b|成立，这就是我们要学习的定理1师对上面的 （2）式的证明还有什么其他方法呢？是否可以考虑利用已经证明的 （1）式来证明 （2）式呢？生可以把a成a=a+b-b，|-b|=|b|，这样就有|a|=|（a+b）-b|a+b|+|-b|，移项后就有|a|-|b|a+b|得到 （4），由 （3） （4）便也可得到定理1师由于定理1中对a，b没有特殊要求我们如果用-b代b会有什么结果？（要求学生自己运算）下面请一位学生到黑板上完成生（在黑板上做）因为|a|-|b|a+b|a|+|b|，用-b代b，得|a|-|-b|a+（-b）|a|+|b|，即|a|-|b|a-b|a|+|b|师这就是我们今天要学的定理2（三）练习（由学生自行完成）师请一个同学上黑板完成其余同学在课堂本上完成师这是一道含有绝对值符号的不等式但首先是一道不等式的证明以前我们学过的不等式证明都有些什么常用的方法？生有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、三角代换法等师当我们无从下手时，我们考虑用什么方法？生用分析法师那我们用分析法试试（由学生叙述老师板书）生分析法1+2aba2b2，只要证1-a2-b2+a2b20，只要证（1-a2）（1-b2）0师经过以上分析法那我们还可以用什么方法？能不能利用分析的过程？生可以用综合法师那谁来说说如何用综合法证明？生综合法（由学生口述教师写板书）证明由|a|1，知a21，则1-a20；又|b|1，则b21，即1-b20，因此（1-a2）（1-b2）0故a2+b21+a2b2，进而a2+2ab+b21+a2b2+2ab，即生大于或等于师如果从证明那些可能不存在出发证，能用什么方法？生反证法师；下面请同学用反证法来证明生（学生口述老师书写）移项（a+b）2-（1+ab）20，1+a2b2-a2-b20，即（1-a2）（1-b2）0证法1从定理1出发，利用放缩法当a+b=0时，不等式显然成立；证法2由|a+b|a|+|b|，知|a|+|b|-|a+b|0证法3（考虑构造函数）通过例2的证明计算的启发，让学生运用已学过的定理，及其它已有的知识技能进行演算，通过演算启发学生认识定理1及其他有关数学知识（四）作业P28练习4，P309，10课堂教学设计说明含有绝对值不等式的证明的学习，是在学生掌握了不等式的几种基本方法的基础之上展开的这部分先复习绝对值的定义及几何意义，再复习绝对值的运算性质和绝对值不等式的基本解法等有关知识在这基础上介绍含有绝对值的不等式的两个基本定理，并用不等式证明的基本方法来证明，要求学生了解这两条定理形式上虽有不同，但实质是等价的当用-b代替b时，可由一个推出另一个，而重要的是证明定理1，通过例题初步会用不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|解决一些简单问