上海市七校2016届高三下学期3月联考（文）数学试题（解析版）

2015学年第二学期高三教学调研数学试卷（文史类）考生注意：1答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、座位号、准考证号等填写清楚2本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1.方程的解是_.【答案】【解析】【分析】把作为一整体或换元后求解【详解】原方程可化为：，即，故答案为：【点睛】本题考查解指数方程，解题时抓住整体思想或换元法即可2.行列式中元素3的代数余子式的值为_.【答案】5【解析】【分析】直接根据行列式的余子式公式计算得到答案.【详解】行列式中元素3的代数余子式的值为： 故答案为：【点睛】本题考查了行列式的余子式，意在考查学生的计算能力.3.在的展开式中，含项的系数是_.【答案】15【解析】【分析】求出的项的系数即可.【详解】展开式中，含项的系数即为的项的系数，也即.故答案为15.【点睛】本题主要考查利用二项展开式的通项公式求指定项的系数，属基础题.4.若关于的不等式的解集为，则实数_.【答案】【解析】【分析】由不等式2x23x+a0的解集为（ m，1）可知：xm，x1是方程2x23x+a0的两根根据韦达定理便可分别求出m和a的值【详解】由题意得：1为的根，所以，从而故答案为【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题5.若，则它的反函数是_.【答案】【解析】【分析】先令，解出，再把x与y互换，并写出函数的定义域即可.【详解】令，即，因为，所以，所以.故答案为【点睛】本题主要考查反函数的求法，关键是写出反函数的定义域也即原函数的值域，属基础题.6.若抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为_.【答案】4【解析】【分析】计算双曲线的焦点为，得到，得到答案.【详解】双曲线的焦点为，抛物线的焦点坐标为，故 故答案为：.【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的焦点，意在考查学生的计算能力.7.若数列，则_.【答案】5000【解析】【分析】按奇偶项分组，再利用等差数列的求和公式代入计算即可.【详解】，由已知可得，所以原式.故答案为5000.【点睛】本题主要考查数列求和问题，涉及分组求和与公式法求和，属中等难度题.8.已知函数，则使成立的实数的集合为_【答案】【解析】【分析】根据自变量范围分类讨论，再根据对应解析式解方程求得结果.【详解】当x0,1时，f(f(x)f(2)2成立；当x0,1时，f(f(x)f(x)x，要使f(f(x)2成立，只需x2，综上所述，实数x的集合为x|0x1或x2【点睛】求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.9.执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=_【答案】4【解析】如果输入的，由循环变量初值为1，那么：经过第一次循环得到 满足 ，继续循环，经过第二次循环得到 第三次循环， ，此时不满足，退出循环，此时输出即答案为4.10.若等比数列的前项和为，且满足，则_.【答案】【解析】【分析】计算得到，得到，再计算极限得到答案.【详解】，则；当时，即，也适合，所以，.故故答案为：.【点睛】本题考查了数列的通项公式，前项和，数列的极限，意在考查学生对于数列知识的综合应用.11.若边长为6的等边三角形，是其外接圆上任一点，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】计算外接圆半径为，得到（其中为向量与的夹角），计算得到最值.【详解】边长为6的等边三角形，则外接圆半径为，（其中为向量与的夹角），当，即和同向时，有最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理，向量数量积的最值计算，意在考查学生的计算能力.12.从边长为1的正方体12条棱中任取两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是_.（用数值表示结果）【答案】【解析】【分析】先计算共有组异面直线，再计算概率得到答案.【详解】每条棱有另外四条棱与之成异面直线，故共有组异面直线. 故答案为：【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.13.在北纬圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于（为地球半径），则这两地间的球面距离为_ .【答案】【解析】【分析】设甲、乙两地分别为，地球的中心为，先求出北纬60圈所在圆的半径，再求A、B两地在北纬60圈上对应的圆心角，得到线段AB的长，解三角形求出的大小，利用弧长公式求这两地的球面距离.【详解】设甲、乙两地分别为，北纬圈所在圆的半径为，它们在纬度圈上所对应的劣弧长等于（为地球半径）， （是两地在北纬60圈上对应的圆心角），故.所以线段 设地球的中心为，则是等边三角形，所以，故这两地的球面距离是.【点睛】本题考查球面距离及相关计算，扇形弧长和面积是常用公式，结合图形是关键.14.设数列是首项为0递增数列，函数满足：对于任意的实数，总有两个不同的根，则的通项公式是_【答案】【解析】【分析】利用三角函数的图象与性质、诱导公式和数列的递推公式，可得，再利用“累加”法和等差数列的前n项和公式，即可求解【详解】由题意，因为，当时，又因为对任意的实数，总有两个不同的根，所以，所以，又，对任意的实数，总有两个不同的根，所以，又，对任意的实数，总有两个不同的根，所以，由此可得，所以，所以故答案为【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及诱导公式，数列的递推关系式和“累加”方法等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分15.若和都是定义在上的函数，则“与同是奇函数或偶函数”是“是偶函数”的（ ）A 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】用定义证明与同是奇函数或偶函数时，是偶函数，取反例说明是偶函数不能推出与同是奇函数或偶函数.【详解】若与同是奇函数，则，所以，所以是偶函数，同理可证当与同是偶函数，是偶函数；反之，若是偶函数，与不一定同是奇函数或偶函数，例如取，均为非奇非偶函数，但是偶函数.所以“与同是奇函数或偶函数”是“是偶函数”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查必要条件、充分条件的判断，函数的奇偶性的判断，解决本题的关键是能够应用特例说明当两个函数的积是偶函数时两个函数的奇偶性不能确定，属于基础题.16.若和均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用基本不等式的性质考查各选项即可得到答案.【详解】对于A项：，当同号时，不等式成立，当异号时，不等式不成立，所以不正确；对于B项：，当同号时，不等式成立，当异号时，此时，所以不正确；对于C项：，当同号时有，原不等式成立，当异号时，有，原不等式不成立，所以不正确；对于D项：因为，则有，所以正确；故选：D.【点睛】该题考查的是有关研究不等式恒成立的问题，涉及到的知识点有重要不等式和基本不等式，属于简单题目.17.数列满足，则的整数部分是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由得，利用裂项相消法计算出，证明数列是单调递增的数列从而推出，即可得证.【详解】，所以，所以，因为，所以， 因为，所以，根据递推公式得：，所以，则，所以T的整数部分是1.故选：B【点睛】本题考查列项相消法求和，数列的递推公式，属于中档题.18.在直角坐标系中，如果不同的两点都在函数的图象上，那么称为函数的一组关于原点的中心对称点（与看作同一组），函数，关于原点的中心对称点的组数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由于图象关于原点对称后对应解析式是，因此只要研究函数和的图象的交点个数即可【详解】由于是奇函数，因此图象关于原点对称后对应解析式是，由题意的中心对称点的组数就是函数与的图象交点个数（原点除外），作出它们的图象，如图，而在是是增函数，它们在上只有一个交点，函数，关于原点的中心对称点的组数为1.故选：B.【点睛】本题考查新定义问题，考查创新意识，解题关键是把新定义中的中心对称点组数转化为函数图象交点个数，从而由数形结合思想可求解三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤19.已知函数.（1）若，且，求的值；（2）求函数的最小正周期及单调递增区间.【答案】(1);(2),【解析】试题分析：(1)由，且,求出角的余弦值,再根据函数,即可求得结论.(2) 已知函数,由正弦与余弦的二倍角公式,以及三角函数的化一公式,将函数化简.根据三角函数周期的公式即可的结论.根据函数的单调递增区间,通过解不等式即可得到所求的结论.试题解析： (1)因为所以.所以(2)因为,所以.由得.所以的单调递增区间为.考点：1.三角函数的性质.2.三角的恒等变形.【此处有视频，请去附件查看】20.设在直三棱柱中，、分别为、BC的中点.（1）求异面直线、所成角大小；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）连接，因为，异面直线、所成角与、所成角相等（2）利用平面的一个法向量，建立空间坐标系，求出求点到平面的距离【详解】以为原点建立如图空间坐标系，则各点坐标为：，（1），.（2）设平面的一个法向量为，,由得：，令可得：,，,点到平面的距离为【点睛】本题考查向量法求异面直线所成的角、点到面的距离，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意运算的准确性21.已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若关于的方程有四个不同的解，求实数应满足的条件；【答案】（1）增区间，减区间；（2），.【解析】【分析】（1）化简得到当时，；当时，得到函数的单调区间.（2）化简得到，根据函数的单调性计算得到，得到答案.【详解】（1），当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.故函数在单调递增，在单调递减.（2）当时，在单调递增，单调递减，不符合题意；当时，因为，根据双勾函数性质知在单调递增；，根据双勾函数性质知在单调递减，不符合题意；当时，在单调递减，单调递增；在单调递减，单调递增； ，所以实数应满足的条件为，.【点睛】本题考查了函数的单调区间，根据函数的零点个数求参数，意在考查学生对于函数性质的综合应用.22.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交椭圆于两点，若点始终在以为直径的圆内，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）题设条件为易得椭圆方程；（2）设，直线方程与椭圆方程联立，消元得一元二次方程，由韦达定理可得，注意到直线恒过定点，此为椭圆的左顶点，因此有，这样可得出点坐标，点始终在以为直径的圆内，则，由此可得的范围【详解】（1）由题意知， 椭圆的标准方程为：. （2）设联立，消去，得： 依题意：直线恒过点，此点为椭圆的左顶点，所以 ，由（*）式，得 ，由，由点B在以PQ为直径圆内，得为钝角或平角，即.即整理得，解得.【点睛】本题考查椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交中的范围问题由于直线过定点是椭圆左顶点，即其中一个交点已知了，因此可求出另一交点坐标，利用求得结论本题属于中档题考查学生的运算求解能力23.设数列的前项和为，对一切，点都在函数的图象上.（1）求，归纳数列的通项公式（不必证明）.（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为，；，；，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值.（3）设为数列的前项积，且，求数列的最大项.【答案】（1），；（2）2010；（3）.【解析】【分析】（1）化简得到，计算，猜想得到答案.（2）计算，再计算，相加得到答案.（3）计算，故，故是单调递减，计算得到答案.【详解】（1）因为点在函数图象上，故，所以.令，得，所以；令，得，所以；令，得，所以；由此猜想：.（2）因为，所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为，；，；， 每一次循环记为一组.由于每一个循环含有4