上海市七校2017届高三上学期12月联考数学试题（解析版）

七校十二月联考数学试卷一填空题1.函数的最小正周期_【答案】2【解析】【分析】根据题意，三角函数的周期公式为，由函数解析式得出的值，代入公式求解即可。【详解】由题意函数，所以它的最小正周期是故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数的相关知识，应熟练掌握周期的计算方法。2.函数反函数是_【答案】【解析】【分析】根据题意，令可以得到，互换、即可得到反函数。【详解】令，则，函数的反函数是，故答案为：【点睛】本题主要考查反函数的求解方法。3.计算：_【答案】【解析】【分析】根据题意，求分式的极限，将分子分母同除以，再根据、，代入求解即可。【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查极限的求解方法，应熟练掌握、等结论的应用。4.已知函数，且，则的最大值是_.【答案】【解析】【分析】由可得，由基本不等式可得,注意等号成立的条件即可.【详解】函数，且有，且，当且即当时，取最大值,故答案为.【点睛】本题主要考查指数幂的运算以及利用基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.5.方程的解集为_【答案】【解析】【分析】根据题意，由对数函数真数大于零以及对数函数运算法则可以得出，求解不等式组即可得出答案。【详解】，解得：故答案为：.【点睛】本题主要考查对数函数的相关知识，明确对数函数真数大于零，熟练运用对数函数运算法则。6.在中，角，所对的边分别为，若，则=_【答案】【解析】【分析】由角B的余弦定理代入三边长可求得角B.【详解】由余弦定理可得 所以填.【点睛】本题是已知三角形三边求角的类型的解三角形题型，选择合适的余弦定理是解本题的关键7.设为函数的零点，且，其中为相邻的整数，则_【答案】1【解析】【分析】根据题意易知、，则，故函数的零点在区间内，故，由此可得的值。【详解】函数的零点为，且，；，故函数的零点在区间内，故，故答案为：【点睛】本题主要考查函数零点存在定理，通过零点所在区间确定参数值。8.定义在上的函数满足,则_.【答案】【解析】【分析】推导出是一个周期为10的周期函数，从而能求出结果.【详解】定义在上的函数满足，是一个周期为10的周期函数，故答案为：【点睛】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于基础题9.已知，则_【答案】【解析】【分析】根据题意，由诱导公式可得，再根据反三角函数即可求出答案。【详解】，又，故答案是：【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式以及反三角函数的应用。10.设公比为q(q0)的等比数列a n的前n项和为S n若，则q_【答案】【解析】将，两个式子全部转化成用，q表示的式子即，两式作差得：，即：，解之得：(舍去)11.如图，在中，已知，点分别在边上，且，点为中点，则的值为 .【答案】4【解析】试题分析：考点：向量数量积12.若不等式在时恒成立,则实数的取值范围是_.【答案】.【解析】【分析】求出绝对值不等式的解集，利用恒成立列出不等式组求出的值即可【详解】，不等式在时恒成立，解得，实数的取值范围是，故答案为【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，恒成立问题的应用，列出关于的不等式组是解题的关键，属于基础题13.设集合.若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合_.【答案】【解析】【详解】显然，在集合所有三元子集中每个元素均出现了3次.于是，.从而，集合的四个元素分别为，.因此，集合.故答案为:14.把自然数按如图所示排列起来，从上往下依次为第一行、第二行、第三行，中间用虚线围起来的一列数，从上往下依次为，按这样的顺序，排在第个的数是_【答案】【解析】【分析】根据题意，分析规律，中间用虚线围的一列，从上至下相邻的两个数都相差的整数倍，由此可求出第个数。【详解】中间用虚线围的一列，从上至下：第一个数为，第二个数为，第三个数为，第四个数为，则第个数为故答案为：.【点睛】本题主要考查归纳推理，考查同学们根据已给数列归纳总结规律的能力。二选择题15.如果，那么下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由于，不妨令，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论.【详解】解：由于，不妨令，可得，故A不正确.可得，故B不正确.可得，故C不正确.故选：D.【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题.16.已知平面直角坐标系内的两个向量，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成（为实数），则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】当与共线时，应有，解得，因为平面内的任一向量都可以唯一的表示成（为实数,所以由平面向量的基本定理得与是不共线，所以的取值范围是，故选D17.下列说法中正确的是( )A. 命题“若,则”的否命题是“若,则”B. “”是“”的必要不充分条件C. 命题“若,则”的逆否命题是真命题D. “”是“”的充分不必要条件【答案】C【解析】【分析】对选项逐个进行判断，即可得出结论【详解】A：命题“若,则”的否命题是“若,则”，故A不正确；B：“”是“”的充分不必要条件，故B不正确；C：命题“若,则”是真命题，所以命题“若xy，则sinxsiny”的逆否命题是真命题，故C正确；D： “”是“”的必要不充分条件，故D不正确.故选：C【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查四种命题，考查充要条件，属于中档题18.已知函数，对于满足的任意，给出下列结论：，其中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，可知在上为减函数，根据，则，可判断；根据，可判断。【详解】根据题意在上为减函数，由复合函数的单调性法则可知在上为减函数，又， 故正确；又由，得 故正确故选C【点睛】本题主要考查判断复合函数的单调性，以及运用函数单调性判断结论正误。三解答题19.已知，（1），求（2）若与的夹角为，求；（3）若与垂直，求与夹角【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据题意可知与平行且同向，根据数量积公式求解即可（2）根据题意，与的夹角为，则运用公式求出的值，再根据公式即可求出的值。（3）由与垂直可知，即，令与的夹角为，根据公式可求出的值。【详解】（1），且方向相同，因此；（2）与的夹角为，因此；（3）与垂直，整理得，令与的夹角为，因此，与的夹角.【点睛】本题主要考查向量的知识，熟练掌握向量的相关运算以及向量平行、垂直的相关结论。20.某电器专卖店销售某种型号的空调，记第天（，）的日销售量为（单位；台）函数图象中的点分别在两条直线上，如图，该两直线交点的横坐标为，已知时，函数（1）当时，求函数的解析式；（2）求的值及该店前天此型号空调的销售总量；（3）按照经验判断，当该店此型号空调销售总量达到或超过台，且日销售量仍持续增加时，该型号空调开始旺销，问该店此型号空调销售到第几天时，才可被认为开始旺销？【答案】（1）（）；（2），台；（3）第天【解析】【分析】（1）根据题意，当时，图像为直线，可用待定系数法设，（），根据图像可知图像经过、两点，代入解析式求解即可。（2）根据题意，函数与函数在第天的日销售量相同，故，可求出的值，则天前的销售总量即直线与坐标轴所围成梯形面积。（3）根据题意，可设空调销售到第天时，可被认为开始旺销，则销售总量：，解出即可。【详解】（1）根据题意，当时，设，（），（），（2）时，函数；当时，该店前天此型号空调的销售总量台；（3）设该店此型号空调销售到第天时，才可被认为开始旺销，则销售总量，该店此型号空调销售到第天时，才可被认为开始旺销【点睛】本题主要考查函数在实际问题中的应用，运用待定系数法和数形结合求解函数解析式和实际问题。21.如图，已知单位圆上有四点，其中，分别设的面积为和.（1）用表示和；（2）求的最大值及取最大值时的值【答案】(1) ，；(2) 的最大值为，此时的值为.【解析】【详解】试题分析：解(1)根据三角函数的定义, 知所以, 所. 又因为四边形OABC的面积,所以. (2)由(1)知. 因为, 所以, 所以,所以的最大值为, 此时的值为. 考点：三角函数的性质点评：主要是考查了三角函数的性质以及二倍角公式的运用，属于基础题22.已知，为实数，函数，且函数是偶函数，函数在区间上是减函数，且在区间上是增函数.（1）求函数的解析式；（2）求实数的值；（3）设，问是否存在实数，使得在区间上有最小值-2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，或【解析】【分析】（1）利用函数是偶函数，求函数的解析式；（2）利用复合函数的单调性，求实数b的值；（3）分类讨论，求出函数的最小值，利用在区间上有最小值为2，得出结论【详解】（1）函数是偶函数，（x+1）2+a（x+1）+1（x+1）2+a（x+1）+1，4x+2ax0，a2，（x1）2；（2）bx4+（5b1）x2+2b，令tx2，u（t）bt2+（5b1）t（b2），在区间上，tx2是减函数，且t，由是减函数，可知为增函数；在区间上，tx2是减函数，且t（0，4），由是增函数，可知为减函数，由在（0，4）上是减函数，（4，+）上是增函数，可得二次函数开口向上，b0，且4，；（3），x0，2当q0，yminh（0）1+2q2，q；当0q2，yminh（q）q2+2q+12，q3或1，舍去；当q2，yminh（2）2q+52，q，综上所述：或.【点睛】本题考查函数的性质，考查函数解析式的求解，考查二次函数在区间上的最值，正确分类讨论是关键，属于中档题23.已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，其中，且（1）求证：，并由推导的值；（2）若数列共有项，前项的和为，其后的项的和为，再其后的项的和为，求的比值（3）若数列的前项，前项、前项的和分别为，试用含字母的式子来表示（即，且不含字母）【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据题意可知，