数学人教版九年级上册垂径定理习题.doc

2014年4月kk的初中数学组卷 2014年4月kk的初中数学组卷一填空题（共6小题）1（2012衢州）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为_mm2（2009鸡西）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O是这段弧的圆心，C是上一点，OCAB，垂足为D，AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是_m3（2006衡阳）如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB为24cm，则截面上有油部分油面高CD为_cm4（2004宜昌）如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用_次就可以找到圆形工件的圆心5（2007金东区模拟）如图，有一圆弧形门拱的拱高AB为1m，跨度CD为4m，则这个门拱的半径为_m6（2006深圳模拟）在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油面宽AB=8m，那么油的最大深度是_m二解答题（共24小题）7（2007增城市模拟）如图，O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，DEB=30（1）求圆心O到CD的距离OF；（2）求CD的长8如图，两个圆都以点O为圆心，且CD=3cm，（1）线段AB的长；（2）若BC=2，且小圆半径为，求大圆的半径9如图，ABC中，BAC=60，ABC=45，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画O分别交AB，AC于E，F，连接EF（1）探究线段EF长度为最小值时，点D的位置，请画出图形；（2）求出该最小值10已知：如图，AB是O的直径，CD是O的弦，且ABCD，垂足为E（1）求证：BC=BD；（2）若BC=15，AD=20，求AB和CD的长11已知：如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为半圆上一点，OE弦AC于点D，交O于点E若AC=8cm，DE=2cm求OD的长12如图，AB为O的直径，CD为弦，过A、B分别作AECD、BFCD，分别交直线CD于E、F（1）求证：CE=DF；（2）若AB=20cm，CD=10cm，求AE+BF的值13如图所示，O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，CEA=30，求圆心O到CD的距离14如图，O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，求O的半径15如图，O直径CDAB于E，AFBD于F，交CD的延长线于H，连AC（1）求证：AC=AH；（2）若AB=，OH=5，求O的半径16如图，在O中，CD是直径，AB是弦，ABCD于M，CD=10cm，DM：CM=1：4，求弦AB的长17如图，O的半径为13cm，弦ABCD，两弦位于圆心O的两侧，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD的距离18如图，在RtABC中，C=90，AC=，BC=1，以C为圆心，CB为半径画圆，交AB于点D，求AD的长19如图，O中，直径CD弦AB于E点（1）若AB=8，OE=3，求O的半径；（2）若CD=10，DE=2，求AB的长；（3）若O的半径为6，AB=8，求DE的长20若弓形的弦长为4，弓形的高为1，那么弓形所在圆的半径21如图，O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5，BE=1，AED=30（1）求OE和OA的长； （2）求CD的长22如图，点A、B、C是O上的三点，ABOC（1）求证：AC平分OAB；（2）过点O作OEAB于点E，交AC于点P若AB=2，AOE=30，求PE的长；若AB=10，OA=13，请直接写出OP的长23如图，已知以点O为两个同心圆的公共圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点（1）求证：AC=BD；（2）若AB=8，CD=4，求圆环的面积24已知，如图，CD为O的直径，A=22，AE交O于点B、E，且AB=OC，求：EOD的度数25如图，AB是O的直径，CD是O的弦，AB、CD的延长线交于点E已知AB=2DE，AEC=25，求AOC的度数26已知：如图，AB是O的直径，点C、D在O上，CEAB于E，DFAB于F，且AE=BF，AC与BD相等吗？为什么？27如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CDAB，且AB=26m，OECD于点E水位正常时测得OE：CD=5：24（1）求CD的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？28（2010淮北模拟）有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度8m，拱顶高出水面2m现有一货船载一货箱欲从桥下经过，已知货箱宽6m，高1.5m（货箱底与水面持平），问该货船能否顺利通过该桥？29如图所示，已知B、C两个乡镇相距25千米，有一个自然保护区A与B相距15千米，与C相距20千米，以点A为圆心，10千米为半径是自然保护区的范围，现在要在B、C两个乡镇之间修一条笔直的公路，请问：这条公路是否会穿过自然保护区？试通过计算加以说明30如图是无为中学某景点内的一个拱门，它是O的一部分已知拱门的地面宽度CD=2m，它的最大高度EM=3m，求构成该拱门的O的半径2014年4月kk的初中数学组卷参考答案与试题解析一填空题（共6小题）1（2012衢州）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为8mm考点：垂径定理的应用；勾股定理菁优网版权所有专题：探究型分析：先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作ODAB于点D，则AB=2AD，在RtAOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长解答：解：连接OA，过点O作ODAB于点D，则AB=2AD，钢珠的直径是10mm，钢珠的半径是5mm，钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，OD=3mm，在RtAOD中，AD=4mm，AB=2AD=24=8mm故答案为：8点评：本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键2（2009鸡西）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O是这段弧的圆心，C是上一点，OCAB，垂足为D，AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是250m考点：垂径定理的应用；勾股定理菁优网版权所有分析：根据垂径定理和勾股定理可得解答：解：设半径为r，则OD=rCD=r50，OCAB，AD=BD=AB，在直角三角形AOD中，AO2=AD2+OD2，即r2=（300）2+（r50）2=22500+r2+2500100r，r=250m这段弯路的半径是250m点评：相关链接：垂径定理：垂直于弦的直径平分并且平分弦所在的弧勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方3（2006衡阳）如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB为24cm，则截面上有油部分油面高CD为8cm考点：垂径定理的应用；勾股定理菁优网版权所有专题：应用题分析：先求出AC的长再利用勾股定理求出油面到圆心的距离，油深便可以求出解答：解：连接OA，在直角OAC中，OA=13cm，AC=AB=12cm，根据勾股定理得到OC=5cm，CD=135=8cm，因此油面高CD为8cm点评：本题主要考查半径、弦心距、弦的一半所构成直角三角形，利用勾股定理求解是考查的重点4（2004宜昌）如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心考点：垂径定理的应用菁优网版权所有分析：根据垂径定理的推论可得，CD所在直线是直径的位置，而两个直径的交点即为圆心，故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心解答：解：如图所示，根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心点评：此题主要考查垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧5（2007金东区模拟）如图，有一圆弧形门拱的拱高AB为1m，跨度CD为4m，则这个门拱的半径为m考点：垂径定理的应用；勾股定理菁优网版权所有专题：应用题；压轴题分析：连接OC，设这个门拱的半径为r，则OB=r1，根据垂径定理得到BC=BD=CD，在RtOBC中，由勾股定理得OC2=BC2+OB2，然后即可得到关于r的方程，解方程即可求出r解答：解：如图，连接OC，设这个门拱的半径为r，则OB=r1，BC=BD=CD=4=2m在RtOBC中，BC=2m，OB=r1由勾股定理得：OC2=BC2+OB2即r2=4+（r1）2r=m这个门拱的半径为m点评：此题很简单，解答此题关键是连接OC，构造出直角三角形利用勾股定理解答6（2006深圳模拟）在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油面宽AB=8m，那么油的最大深度是2m考点：垂径定理的应用；勾股定理菁优网版权所有专题：压轴题分析：本题是已知圆的直径，弦长求油的最大深度其实就是弧AB的中点到弦AB的距离，可以转化为求弦心距的问题，利用垂径定理来解决解答：解：过点O作OMAB交AB与M，交弧AB于点E连接OA在RtOAM中：OA=5m，AM=AB=4m根据勾股定理可得OM=3m，则油的最大深度ME为53=2m故答案为2点评：圆中的有关半径，弦长，弦心距之间的计算一般是通过垂径定理转化为解直角三角形的问题二解答题（共24小题）7（2007增城市模拟）如图，O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，DEB=30（1）求圆心O到CD的距离OF；（2）求CD的长考点：垂径定理；勾股定理菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）先由AE=1cm，EB=5cm，得到半径OB=3，则OE=2，在RtEFO中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OF的长；（2）连接OD，在RtDFO中，先利用勾股定理计算出DF，由OFCD，根据垂径定理得到DF=CF，即可得到弦CD的长解答：解：（1）BO=（AE+BE）=（1+5）=3，OE=31=2，在RtEFO中，OEF=30OF=1，即点O到CD的距离为1；（2）连接OD，如图，在RtDFO中，OD=3，DF=2，OFCD，CD=2DF=4CD的长为4点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形三边的关系8如图，两个圆都以点O为圆心，且CD=3cm，（1）线段AB的长；（2）若BC=2，且小圆半径为，求大圆的半径考点：垂径定理；勾股定理菁优网版权所有分析：（1）过点O作OEBC于点E，由于BC、AD分别为两个圆的弦，故可知AE=DE，BE=CE，即可求出AB的长，（2）连接OC，OD，OEBC，BC=2，则可以求出CE=1，利用勾股定理求出EO，再次利用勾股定理求出OD的长解答：解：（1）过点O作OEBC于点E，BC、AD分别为两个圆的弦，AE=DE，BE=CE，AB=CD=3cm，（2）连接OC，OD，则OEBC，BC=2EC=1由勾股定理得：EO=1ED=4，由勾股定理得：，即大圆半径为cm点评：本题主要考查垂径定理和勾股定理的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理和垂径定理的应用，本题难度一般9如图，ABC中，BAC=60，ABC=45，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画O分别交AB，AC于E，F，连接EF（1）探究线段EF长度为最小值时，点D的位置，请画出图形；（2）求出该最小值考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理菁优网版权所有分析：（1）由垂线段的性质可知：当AD为ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF的长度有最小值，（2）连接OE，OF，过O作OHEF于H，由勾股定理求出AD=BD=2，由圆周角定理求出EOH=EOF=BAC=60，求出OEH=30，OE=1，OH=，EH=，由垂径定理EF=2EH，代入求出即可解答：解：（1）如图由垂线段的性质可知：当AD为ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF的长度有最小值，（2）连接OE，OF，过O作OHEF于H，在RtADB中，ABC=45，AB=2，由勾股定理得：AD=BD=2，即此时圆的直径是2，由圆周角定理得：EOH=EOF=BAC=60，OEH=30，OE=1，在RtEOH中，OH=，EH=，由垂径定理得：EF=2EH=点评：本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形性质，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和推理能力，题目比较好，但是有一定的难度10已知：如图，AB是O的直径，CD是O的弦，且ABCD，垂足为E（1）求证：BC=BD；（2）若BC=15，AD=20，求AB和CD的长考点：垂径定理；勾股定理菁优网版权所有专题：探究型分析：（1）直接根据垂径定理即可得出结论；（2）先根据垂径定理判断出ABD是直角三角形，再根据勾股定理求出AB的长，由ABDE=ADBD即可求出DE的长，再由CD=2DE即可得出结论解答：（1）证明：AB为O的直径，ABCD，BC=BD；（2）解：AB为O的直径，ADB=90，AB=25，ABDE=ADBD，25DE=2015DE=12AB为O的直径，ABCD，CD=2DE=212=24点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧是解答此题的关键11已知：如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为半圆上一点，OE弦AC于点D，交O于点E若AC=8cm，DE=2cm求OD的长考点：垂径定理；勾股定理菁优网版权所有专题：方程思想分析：先根据垂径定理求出AD的长，再设OA=r，则OD=OADE=r2，在RtAOD中利用勾股定理即可求出OA的长，进而可得出OD的长解答：解：OEAC，AC=8cm，AD=AC=4设OA=r，则OD=OADE=r2，在RtAOD中，OA2=OD2+AD2，r2=（r2）2+16解得，r=5OD=3点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟知以上知识是解答此题的关键12如图，AB为O的直径，CD为弦，过A、B分别作AECD、BFCD，分别交直线CD于E、F（1）求证：CE=DF；（2）若AB=20cm，CD=10cm，求AE+BF的值考点：垂径定理；梯形菁优网版权所有专题：几何综合题分析：（1）过点O作OGCD于G，则AEOGBF，根据平行线分线段成比例定理与垂径定理即可证明；（2）OG是直角梯形ABFE的中位线，则AE+BF=2OG，连接OC，根据勾股定理和垂径定理即可求得OG的长，进而求解解答：（1）证明：过点O作OGCD于G，AEEF，OGEF，BFEF，AEOGBF，（1分）=又OA=OB，=，GE=GF，（2分）OG过圆心O，OGCD，CG=GD，（3分）EGCG=GFGD，即CE=DF；（4分）（2）解：连接OC，则OC=AB=10，（5分）OG过圆心O，OGCD，CG=CD=5，（6分）OG=，（7分）梯形ABFE中，EG=GF，AO=OB，OG=（AE+BF），AE+EF=2OG=（8分）点评：本题主要考查了垂径定理的应用，利用垂径定理可以把求弦长或圆心角的问题转化为解直角三角形的问题13如图所示，O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，CEA=30，求圆心O到CD的距离考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理菁优网版权所有分析：过O作OFCD于F，则OF的长是圆心O到CD的距离，求出OB，求出OE长，在RtOFE中，根据含30度角的直角三角形性质得出OF=OE，代入求出即可解答：解：过O作OFCD于F，则OF的长是圆心O到CD的距离，AE=6cm，EB=2cm，OB=4cm，OE=4cm2cm=2cm，OFE=90，CEA=30，OF=OE=1cm，即圆心O到CD的距离是1cm点评：本题考查了直角三角形性质，点到直线的距离，含30度角的直角三角形的性质等知识点，关键是求出OE长和得出OF=OE14如图，O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，求O的半径考点：垂径定理；勾股定理菁优网版权所有分析：过点O分别作AB、CD的垂线OM、ON，则四边形OMEN是正方形，利用垂径定理即可求得OM，AM的长度，然后在直角AOM中利用勾股定理即可求得OA的长度解答：解：过点O分别作AB、CD的垂线OM、ON，则四边形OMEN是矩形，连接OAAB=CD，ABCD，OM=ON，矩形OMEN是正方形CE=1，ED=3，CD=1+3=4，ONCDCN=CD=2，EN=OM=1，同理：AM=2在直角AMO中，OA=点评：本题考查了垂径定理，利用垂径定理可以把求弦长以及半径的计算转化成求直角三角形的边长的计算15如图，O直径CDAB于E，AFBD于F，交CD的延长线于H，连AC（1）求证：AC=AH；（2）若AB=，OH=5，求O的半径考点：垂径定理；勾股定理菁优网版权所有分析：（1）根据垂直的定义，以及圆周角定理即可证明C=H，然后根据等角对等边即可证得；（2）连接AO，在直角AOE中，根据勾股定理即可得到关于ED与OE的方程，即可求解解答：解：（1）AFBD，CDAB，H=B，又C=B，C=H，AC=AH；（2）连接AO，AC=AH，CDAB，AE=，CE=EH，设ED=x，OE=y，OA=OC=OD=x+y，EH=CE=x+2y，OH=x+3y，x+3y=5，又OA2=AE2+OE2，x=2，y=1，O的半径x+y=3点评：此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解16如图，在O中，CD是直径，AB是弦，ABCD于M，CD=10cm，DM：CM=1：4，求弦AB的长考点：垂径定理；勾股定理菁优网版权所有专题：探究型分析：连接OA，先由CD=10cm，DM：CM=1：4求出CM、DM及OA的长，再由垂径定理得出AB=2AM，由勾股定理求出AM的长，进而可得出结论解答：解：如图，连接OACD=10cm，DM：CM=1：4，CM=8，DM=2，OM=52=3cm，OA=5cm，又CD是直径，AB是弦，ABCD于M，AB=2AM（3分）在RtAOM中，AM=4cm，AB=8cm点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键17如图，O的半径为13cm，弦ABCD，两弦位于圆心O的两侧，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD的距离考点：垂径定理；勾股定理菁优网版权所有分析：分别作弦AB、CD的弦心距，设垂足为E、F；由于ABCD，则E、O、F三点共线，EF即为AB、CD间的距离；由垂径定理，易求得BE、DF的长，可连接OB、OD，在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE、OF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、CD间的距离解答：解：过O作OEAB于点E，OFCD于点F，连接OB，ODABCD，E，O，F三点共线，EF即为所求的AB，CD的距离，在RtOBE中，OB=13，BE=12，OE=5（cm）在RtODF中，OD=13，=5，OF=12（cm）EF=OE+OF=17（cm）答：AB和CD的距离为17厘米点评：此题主要考查的是垂径定理及勾股定理的应用18如图，在RtABC中，C=90，AC=，BC=1，以C为圆心，CB为半径画圆，交AB于点D，求AD的长考点：垂径定理；勾股定理菁优网版权所有分析：如图，延长AC交C与E，设与圆的另一个交点为Q，首先在RtABC中，C=90，AC=，BC=1，利用勾股定理即可求出AB的长度，根据题意可以知道CQ=CB=CE=1，然后根据割线定理即可求出AD的长度解答：解：如图，延长AC交C于E，设与圆的另一个交点为Q，在RtABC中，C=90，AC=，BC=1，AB=CQ、CB、CE都是圆的半径，CQ=CB=CE=1，根据割线定理得AQAE=ADAB，AD=点评：此题首先利用了勾股定理，也考查的了相交弦定理：圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等19如图，O中，直径CD弦AB于E点（1）若AB=8，OE=3，求O的半径；（2）若CD=10，DE=2，求AB的长；（3）若O的半径为6，AB=8，求DE的长考点：垂径定理；勾股定理菁优网版权所有分析：（1）连接半径OA，构造直角三角形AOE，运用勾股定理求解；（2）根据条件半径和OE的长度可以求出利用勾股定理，另一直角边AE也就可求了；（3）先求出OE，DE=半径OE解答：解：（1）连接OA，CD是O的直径，CDAB，AE=AB=4，在RtAOE中，OE=3，OA=5，O的半径是5；（3分）（2）CD是O的直径，CD=10，OA=CD=5，（4分）DE=2，OE=52=3，（5分）在RtAOE中，AE=4，（6分）CD是O的直径，CDAB，AB=2AE=24=8；（7分）（3）CD是O的直径，CDAB，AE=AB=4，（8分）在RtAOE中，OA=6，OE=2，（9分）DE=OAOE=62 （10分）点评：根据垂径定理构造直角三角形，运用勾股定理求解是本题的主要考查点20若弓形的弦长为4，弓形的高为1，那么弓形所在圆的半径考点：垂径定理；勾股定理菁优网版权所有分析：先根据题意画出图形，再根据垂径定理求出AC，ACO=90，再根据勾股定理求半径解答：解：设弓形所在圆O的半径为r，过点O作AB的垂线OD，垂足为C，交O于D，则ACO=90AB=4，AC=AB=2在RtAOC中，OA=r，OC=r1，AC=2，由勾股定理，得OC2+AC2=OA2，即（r1）2+22=r2，解得：r=2.5故弓形所在圆的半径为2.5点评：本题考查垂径定理的应用解此类问题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解21如图，O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5，BE=1，AED=30（1）求OE和OA的长； （2）求CD的长考点：勾股定理；含30度角的直角三角形；垂径定理菁优网版权所有分析：（1）因为AED=30，可过点O作OFCD于F，构成直角三角形，先求得O的半径为3cm，进而求得OE=31=2；（2）首先根据30角所对的直角边等于斜边的一半，得出OF=OE=1，再根据勾股定理求得DF的长，然后由垂径定理求出CD的长解答：解：（1）过点O作OFCD于F，连接DO，AE=5，BE=1，AB=6，O的半径为3，OE=31=2故OE的长为2，OA的长为3；（2）AED=30，OF=1，DF=2，由垂径定理得：CD=2DF=4故CD的长为4点评：考查了勾股定理，垂径定理和含30度角的直角三角形有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法22如图，点A、B、C是O上的三点，ABOC（1）求证：AC平分OAB；（2）过点O作OEAB于点E，交AC于点P若AB=2，AOE=30，求PE的长；若AB=10，OA=13，请直接写出OP的长考点：垂径定理；平行线的性质；勾股定理菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）由ABOC，得C=BAC，而C=OAC，得到BAC=OAC；（2）由OEAB，AB=2，得AE=AB=1，再由AOE=30，OEA=90，得到OE=AE=，然后根据ABOC，得到=，即=，利用比例的性质即可得到PE和的方法一样，先根据垂径定理得到AE=5，根据勾股定理得OE=12，再利用ABOC，得到=，利用比例的性质即可得到OP解答：（1）证明：ABOC，C=BAC；OA=OC，C=OAC，BAC=OAC，即AC平分OAB；（2）解：OEAB，AB=2，又AOE=30，OEA=90，OE=AE=，ABOC=，即=，=，PE=OE=；AB=10，AE=5，在RtOAE中，OA=13，OE=12，ABOC=，=，OP=12=点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧也考查了勾股定理、平行线的性质、三角形相似的性质以及比例的性质23如图，已知以点O为两个同心圆的公共圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点（1）求证：AC=BD；（2）若AB=8，CD=4，求圆环的面积考点：垂径定理；勾股定理菁优网版权所有分析：（1）首先过点O作OEAB于E，由垂径定理可证得AE=BE，CE=DE，继而可得AC=BD；（2）首先连接OA，OC，由勾股定理可得：OE2=OA2AE2，OE2=OC2CE2，继而可得OA2OC2=12，则可求得圆环的面积解答：解：（1）过点O作OEAB于E，AE=BE，CE=DE，AECE=BEDE，AC=BD；（2）连接OA，OC，在RtAOE与RtOCE中：OE2=OA2AE2，OE2=OC2CE2，OA2AE2=OC2CE2，OA2OC2=AE2CE2，AB=8，CD=4，AE=4，CE=2，OA2OC2=12，圆环的面积为：OA2OC2=（OA2OC2）=12点评：此题考查了垂径定理与勾股定理的知识此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法24已知，如图，CD为O的直径，A=22，AE交O于点B、E，且AB=OC，求：EOD的度数考点：圆的认识；等腰三角形的性质菁优网版权所有专题：计算题分析：连接OB，由圆的半径相等，得到AB=OB，OBE=2A=44=E，而EOD是AOE的一个外角，由三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和，可以求出EOA的度数解答：解：连接OBAB=OC=OB，BOC=A=22，EBO=2A=44，OE=OC，E=EBO=44，EOD=A+E=22+44=66点评：本题考查的是对圆的认识，根据同圆的半径相等，可以得到OC=OB=OE，然后由三角形中等边对等角以及三角形一外角等于不相邻的两内角之和，求出EOD的度数25如图，AB是O的直径，CD是O的弦，AB、CD的延长线交于点E已知AB=2DE，AEC=25，求AOC的度数考点：圆的认识菁优网版权所有分析：求AOC的度数，可以转化为求C与E的问题解答：解：连接OD，AB=2DE=2OD，OD=DE，又E=25，DOE=E=25，ODC=50，同理C=ODC=50AOC=E+OCE=75点评：本题主要考查了三角形的外角和定理，外角等于不相邻的两个内角的和26已知：如图，AB是O的直径，点C、D在O上，CEAB于E，DFAB于F，且AE=BF，AC与BD相等吗？为什么？考点：圆的认识；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：计算题分析：连结OC、OD，由OA=OB，AE=BF，得到OE=OF，由CEAB，DFAB得到OEC=OFD=90，再根据“HL”可判断RtOECRtOFD，则COE=DOF，所以AC弧=BD弧，AC=BD解答：解：AC与BD相等理由如下：连结OC、OD，如图，OA=OB，AE=BF，OE=OF，CEAB，DFAB，OEC=OFD=90，在RtOEC和RtOFD中，RtOECRtOFD（HL），COE=DOF，AC弧=BD弧，AC=BD点评：本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）也考查了直角三角形全等的判定与性质27如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CDAB，且AB=26m，OECD于点E水位正常时测得OE：CD=5：24（1）求CD的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？考点：垂径定理的应用；勾股定理菁优网版权所有分析：（1）在直角三角形EOD中利用勾股定理求得ED的长，2ED等于弦CD的长；（2）延长OE交圆O于点F求得EF=OFOE=135=8m，然后利用，