2019届天津市第一中学、益中学校高三年级四月考试数学（文）试题（解析版）

大津一中益中学校高三年级四月考试卷数学（文史类）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由绝对值不等式的解法和对数函数的性质，求得，再根据集合的运算，即可求解详解】由题意，可求得，则，所以.故选B.【点睛】本题主要考查了对数的混合运算，其中解答中涉及到绝对值不等式的求解，以及对数函数的性质，正确求解集合是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题2.设实数x，y满足条件，则的最大值是A. B. C. 4D. 7【答案】C【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域即可求解.【详解】满足约束条件的平面区域如图阴影所示：联立可得，即由图可知：当过点时，取最大值4故选C【点睛】本题考查线性规划的应用，熟练画出可行域，准确计算是关键，是基础题.3.给出如下四个命题：“”是“”的必要不充分条件：命题“若，则”的否命题为“若，则；“，”的否定是“，”；其中正确的命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据必要与充分条件与否命题的定义和全称命题的否定判断即可.【详解】当时,且,故“”是“”的必要不充分条件.故正确.命题“若,则”的否命题为“若,则,故错误.“,”的否定是“,”.故正确.故选：C【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的判定、命题的否定与全称命题的否定等.属于基础题型.4.执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=0.5,S=S-m=0.5,=0.25,n=1,S=0.5t=0.01,是，循环，执行第2次，S=S-m =0.25,=0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是，循环，执行第3次，S=S-m =0.125,=0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是，循环，执行第4次，S=S-m=0.0625,=0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是，循环，执行第5次，S=S-m =0.03125,=0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是，循环，执行第6次，S=S-m=0.015625,=0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是，循环，执行第7次，S=S-m=0.0078125,=0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否，输出n=7，故选C.考点：程序框图【此处有视频，请去附件查看】5.若，则实数的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的图象与性质，即可比较大小，得到答案.【详解】依题意，由对数函数的性质可得，由指数函数的性质及对数的性质，可得，故，故选A【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对函数的图象与性质，合理应用是解答额关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.己知双曲线左支上点与右焦点关于渐近线对称，且，则该双曲线的方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求右焦点关于渐近线对称点坐标，再根据得关系，据此可作出判断.【详解】根据对称性，不妨先求右焦点关于渐近线对称点，易得,再根据,得,对照选项可得选A.也可根据B在双曲线上，得，即得,解得，选A.【点睛】本题考查双曲线标准方程以及渐近线，考查综合分析与求解能力，属中档题.7.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】首先整理函数的解析式，然后结合三角函数的单调性确定的最大值即可.【详解】由三角函数的性质可得：，其图象向左平移个单位所得函数的解析式为：，函数的单调递增区间满足：，即，令可得函数的一个单调递增区间为：，在上为增函数，则：，据此可得：，则的最大值为2.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的化简，辅助角公式的应用，三角函数的平移变换，三角函数的周期公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.如图，在中，点M在CD的延长线上，点P是边BC上的一点，且存在非零实数，使，则与的数量积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题易得为内角平分线, 再利用角平分线的性质,将与用作为基底向量表达,进而求得数量积即可.【详解】设,则为,方向上的单位向量.因为,所以,即为的内角平分线,由内角平分线定理得：,又由余弦定理得：,即,所以,即,则.故选：B。【点睛】本题主要考查了向量的数量积方法,包括基底向量的用法以及角平分线的性质等.属于中等题型.9.若为纯虚数，其中，则等于_【答案】i【解析】【分析】先根据纯虚数概念求，再根据复数除法法则求解结果.【详解】因为为纯虚数，所以即，因此【点睛】本题考查纯虚数概念以及复数除法法则，考查基本分析求解能力，属基本题.10.函数f（x）=ax3+x+1在x=1处的切线与直线4xy+2=0平行，则a=_【答案】1【解析】【分析】由题意知，f（x）在x=1处的切线的斜率为4，根据导数的几何意义即可求解.【详解】因为f（x）在x=1处的切线与直线4xy+2=0平行，所以f（x）在x=1处的切线的斜率为4又，所以，解得，故填1.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于中档题.11.如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为_. 【答案】【解析】【分析】由题意可知半球的半径与正四棱锥的高相等，可得正四棱锥的棱与半径的关系，进而可写出半球的半径与四棱锥体积的关系，进而求得结果.【详解】设所给半球的半径为，则四棱锥的高，则，由四棱锥的体积，半球的体积为：.【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.12.过点作直线，与圆交于两点, 若，则直线的方程为_.【答案】【解析】【分析】将圆的方程化为标准方程,确定圆心与半径，当斜率存在时，设斜率为，方程，利用垂径定理，结合勾股定理, 可求得的值，再验证当斜率不存在时是否满足题意即可得结果.【详解】圆化为，圆心，半径，点在圆内，当斜率存在时，设斜率为，方程，即，圆心到直线距离为，的方程当斜率不存在时，直线也满足，的方程或，故答案为或.【点睛】本题主要考查圆的方程与性质，以及点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.13.已知，若，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】利用换元法，和对数的运算法则化简表达式，然后利用基本不等式求解最小值即可【详解】令，则，所以，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为3.【点睛】本题考查对数值的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值不等式和对数性质的合理运用14.已知函数有4个零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】当时， 的图象有两个交点 ，故有两个零点，因此当时，应有两个零点，在同一坐标系内作出的图象，即可求解.【详解】当时, ,函数图象有两个交点，所以只需当时，函数有两个零点，在同一坐标系内作出的图象，如图：由图象可知，当时，的图象有两个交点，所以函数有两个零点，故填.【点睛】本题主要考查了函数零点个数判断，结合函数与方程之间的关系，利用数形结合的思想解题，属于中档题题.15.如下图是某校高三（1）班的一次数学知识竞赛成绩的茎叶图（图中仅列出，的数据）和频率分布直方图.（1）求分数在的频率及全班人数；（2）求频率分布直方图中的；（3）若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率.【答案】（1）频率为0.2，人数为25人 （2），（3）0.7【解析】【分析】（1）频率分布直方图中所对应矩形的面积即为分数在的频率，频数与频率比值即为总数.(2)由茎叶图得的频数，由频数与总人数的比值得频率，从而得到y值，再利用频率和为1可得x值；（3）利用列举法，求出基本事件总数以及至少有一份分数在之间的基本事件数，利用古典概型概率公式即可得出结果.【详解】（1）分数在的频率为，由茎叶图知，分数在之间的频数为5，全班人数为人（2）分数在之间的频数为2，由，得又，解得：（3）分数在内的人数是人，将之间的3个分数编号为，之间的2个分数编号为，在之间的试卷中任取两份的基本事件为：，共10个其中，至少有一个在之间的基本事件有7个故至少有一份分数在之间的概率是.【点睛】本题考查古典概型概率公式与频率分布直方图的应用，属于基础题型.16.已知函数（1）求的最小正周期T；（2）的单调递减区间；（3）在ABC中，内角ABC所对的边分别是abc.若，且面积.求的值.【答案】（1）（2），（3）【解析】【分析】(1)根据诱导公式和倍角公式化简得再判断即可.(2)求解即可.(3)由可得,再利用余弦定理与面积公式代入可得,再根据正弦定理求得的值即可.【详解】（1）由诱导公式和倍角公式化简（2）由可得单调递减区间：化简得.故单调递减区间为：,（3）因为得因为,所以,得,由余弦定理得,面积公式得,且面积,得,因为即,由正弦定理得.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换以及正余弦定理和面积公式的运用.属于中等题型.17.在四棱锥中，侧面底面，底面为直角梯形，/，为的中点（）求证：PA/平面BEF；（）若PC与AB所成角为，求的长；（）在（）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值【答案】()见解析；（）见解析；（）二面角的余弦值为.【解析】分析：（）连接AC交BE于O，并连接EC，FO，由题意可证得四边形ABCE为平行四边形，则，/平面.（）由题意可得，且，则，故.（）取中点，连，由题意可知的平面角，由几何关系计算可得二面角的余弦值为详解：（）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO，,中点AE/BC，且AE=BC四边形ABCE为平行四边形O为AC中点又FAD中点，/平面（）由BCDE为正方形可得由ABCE为平行四边形可得/为即，侧面底面侧面底面平面，.（）取中点，连，平面，的平面角，又，所以二面角的余弦值为点睛：(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角18.已知正项等比数列，等差数列满足，且是与的等比中项.（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据，是与的等比中项列出关于公比 、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列与的的通项公式；（2）由（1）可知，所以，对分奇数、偶数两种情况讨论，分别利用分组求和法，错位相减求和法，结合等差数列求和公式与等比数列求和公式求解即可.试题解析：(1)设等比数列的公比为，等差数列的公差为由是与的等比中项可得： 又，则：，解得或因为中各项均为正数，所以，进而. 故. （2）设设数列的前项和为，数列的前项和为,当为偶数时，, 当为奇数时， ,而 ,则,由-得：,因此, 综上：.19.如图已知椭圆，是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且，.（）求椭圆的方程：（）设为椭圆上异于且不重合的两点，且的平分线总是垂直于轴，是否存在实数，使得，若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由.【答案】（）（）【解析】【分析】（）易知根据条件确定形状，即得C坐标，代入椭圆方程可得，（）即先判断是否成立，设的直线方程，与椭圆联立方程组解得坐标，根据、关系可得坐标，利用斜率坐标公式即得斜率，进而判断成立，然后根据两点间距离公式计算长度最大值，即可得的最大值.【详解】（）， 又，即，2是等腰直角三角形 ， 因为点在椭圆上，所求椭圆方程为 （）对于椭圆上两点、，的平分线总是垂直于轴与所在直线关于对称，设且，则， 则的直线方程 的直线方 将代入得 在椭圆上，是方程的一个根， 以替换，得到. 因为,所以 ，存在实数，使得 当时即时取等号，又，【点睛】解析几何存在性问题，一般解决方法先假设存在，即设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，根据计算结果确定是否存在其中直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化.20.已知函数，a为常数.（1）讨论函数的单调性：（2）若函数有两个极值点，且，求证：.【答案】（1）见解析（2）证明见解析【解析】【分析】(1)求导后分子所对应的二次函数,分情况讨论的正负以及根与1的大小关系即可.(2)由(1)的两个极值点,满足,所以,则,将化简整理为的函数即,构造函数求导证明不等式即可.【详