参评教案(韩国汉城华侨中学 郄群)

参评教案(韩国汉城华侨中学 郄群) 单位国内学校山东省济南第十一中学外派学校韩国汉城华侨中学姓名郄群学科高中数学2-2排列与组合第二课时组合教案设计教材选取台湾南一书局出版普通高级中学数学第二册，高一适用。 教材及学情分析我所外派的韩国汉城华侨中学使用的是台湾教材，排列组合这一部分与大陆教材比较，涉及知识点更多，学生理解掌握有一定难度。 加之汉城侨中的学生中，一部分的汉语水平不是很高，对于读懂数学题干中的大段文字有一定困难。 所以在教学中，我采取低起点，小容量的做法，并尽量把课本上艰涩难懂的数学语言转换成通俗的语言，使绝大多数学生能够掌握所学知识。 教学目标 1、能利用计数原理及排列公式推导出组合数公式； 2、能利用组合数公式解决简单的实际问题。 教学重点及体现本节的重点是对于组合数公式的推导及理解。 在教学中，应该充分利用实例，讲解清楚由排列数公式到组合数公式的推导过程。 教学难点及突破本节的难点是重复组合。 要从原始的穷举法入手，让学生逐步理解重复组合公式的意义，并且通过实例，让学生充分体会到用重复组合公式解题的优势，以及解题的具体方法和步骤。 教学方法分组讨论，成果展示。 教学手段多媒体课件演示。 课时安排2-2排列与组合第二课时，组合。 教学过程 一、复习引入师同学们，我们前面学习的排列问题，必须考虑物体的排列顺序，比如，阿草从5个不同的色球中，任意选出3个，分别排在第 一、 二、三位置上，其排法共有多少种？生共有P35?5?4?3?60种。 师这是属于排列问题。 现在如果阿草想从这5个不同的色球中，任意选出3个给弟弟（不须考虑色球的顺序），请问他有多少种选法？这就是我们今天要研究的组合问题。 二、公式推导组织学生分组讨论刚才的问题，引导学生得出下面的结论假设从这5个色球中任选3个为一组合的选法有x种，这x种组合中，每一组合内的3个色球任意排成一列，就对应有3！=6种排列。 P355?4?3?10于是，阿草从5个色球中选出3个给弟弟的选法有x?3!3?2?1种。 由上面的例子，可以总结成两个步骤第一步骤，先自n个物件选出k个物件为一个组合（设组合数为x）；第二步骤，再把每一个组合中的k个物件任意排列（排列数是k!）。 由乘法原理知P knn!x?k!?P,即x?.k!k!(n?k)!nk所以得到组合数公式从n个不同的物件中任选k个(1?k?n)为一组（组内各物件不考虑顺序），称为n中取k的组合，其组合方法共有作n中取k的组合数）。 P knn!C?.k!k!(n?k)!nkn!n种，简记为C k（读k!(n?k)!特别地，当k=n时，C nn?又k=0时，C0n? 三、例题讲解n!?1.n!(n?n)!n!?1.0!(n?0)!西元xx年北京奥运共有8支队伍参加棒球比赛，初赛时，每支队伍皆须和其他队伍各比赛一场，最后比较胜负场以及失分情况，以产生四强进入决赛。 试问初赛时最少须比赛几场？解析最少的比赛场次，就是每支队伍皆与其他队伍各比赛一场，也就是说从8支队伍中，任选2支比赛，每一种选法，对应一种比赛场次，所以总共须比赛8C2?8!8!?28场。 2!(8?2)!2!6! 四、练习巩固某速食店征求工读生，有5位男生和6位女生应征，如果要从这些应征者中录取4位，男、女各2位，则共有多少种录取的方法？学生分组讨论，得出结果，进行展示，教师加以指正补充。 5正确的解析过程从5位男生中选2位，其选法有C2?10种；从6位女生中选2位，其选法有C26?15种，根据乘法原理，录取的方法共有10?15?150种。 五、进阶学习师再看这个问题。 有蓝、绿、红三种色球，每一种色球至少有4个，从这三种色球中任取4个做组合，若同色球可以重复选取，则共有多少种可能的取法？组织学生分组讨论，最后总结出分析过程因为是组合，所以取球的次序不重要，重要的是蓝球、绿球和红球各取几个。 这就叫重复组合问题。 我们不妨假设蓝球取x个，绿球取y个，红球取z个，则x+y+z=4，也就是说，我们的问题就转变为了找出x+y+z=4的非负整数解有多少组。 这里我们首先可以用穷举法。 令x=0时，则y+z=4,故(y,z)=(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),共5组，以此类推，令x= 1、 2、 3、4时，分别找出（y，z）的组合。 其次，如果我们换一种思考方式，把x+y+z=4中的总数4看成4个球，用4个“”符号来表示，把2个“+”看成2个挡板，用2个“”表示，那问题就变成了将“x+y+z=4的一组非负整数解相对应。 作排列，每一种排列法都与?2?1?1?4例如?(x,y,z)?(2,1,1)活动下面把学生分成两组，第一组用原始的穷举法推导，第二组用转化后的方法推导。 教师加以指导。 最后得出结论第一组穷举法推出非负整数解有5+4+3+2+1=15种；第二组推导出的组合共有(2?4)!?15种，答案是一致的。 2!4!师同学们，虽然穷举法较好理解，但解题过程繁琐。 第二种方法，我们通过归纳步骤，总结公式，就可以找到重复组合问题的简捷的一般性解法。 第一步骤，从n种不同的物件（每种至少有k个）中，每次选取k个为一组，可以重复选取；第二步骤，转化为求n元一次方程式x1?x2?x n?k的非负整数解个数问题；第三步骤，转化为由k个“”与（n-1）个“”作排列。 因为这时的排列法有(n?k?1)!?C kn?k?1种，所以得到重复组合公式k!(n?1)! 1、从n种不同的物件（每种至少有k个）中，每次选取k个为一组，可以重复选取,其组合总数为C kn?k?1。 2、n元一次方程式x1?x2?x n?k的非负整数解有C kn?k?1组。 六、应用举例袋中有编号19的号码球各5个，小华从袋中任取3球，试问他取出的球有多少种可能的结果？解析设1号球取出x1个，2号球取出x2个，9号球取出x9个，则x1?x2?x9?3，此方程的每一组非负整数解，对应一种取11球的结果，所以有C9?3?1?C3?165种。 3 七、思维升华方程式x1?x2?x3?x4?12的非负整数解有多少组？又正整数解有多少组？师这个问题留待同学们课下思考、讨论，希望下节课能有同学给出完美的解法和正确的答案。 八、总结提高引导学生自己总结出本节课所学知识，包括组合数公式，重复组合公式以及解题方法步骤。 作业布置P100习题2- 26、 7、 8、9 九、板书设计2-2排列与组合P k