高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质三相似三角形的判定及性质达标训练.docx

三 相似三角形的判定及性质更上一层楼 基础巩固1如图1-3-10，D是ABC的AB边上的一点，过点D作DEBC交AC于E.已知ADDB=23，则S下标ADES下标BCED为（ ）图1-3-10A.23 B.49 C.45 D.421思路解析:DEBC，ADEABC.又ADDB=23，ADAB=25.其面积比为425，则SADES四边形BCED=421.答案：D2如图1-3-11所示，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高（ ）图1-3-11A.11.25 m B.6.6 m C.8 m D.10.5 m思路解析:本题是一个实际问题，可抽象为如下的数学问题：如右图，等腰AOC等腰BOD,OA=1 m,OB=16 m,高CE=0.5 m,求高DF.由相似三角形的性质可得OAOB=CEDF，即116=0.5DF，解得DF=8 m.答案：C3有一块三角形铁片ABC，已知最长边BC=12 cm,高AD=8 cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，且矩形的长是宽的2倍，则加工成的铁片的面积为（ ）A.18 cm2或cm2 B.20 cm2或18 cm2C.16 cm2 D.15 cm2思路解析:本题有图(1)和图(2)两种情况，如图(1)，矩形的长EF在BC上，G、H分别在AC、AB上，高AD交GH于K，设矩形的宽为x cm,则长为2x cm,由HGBC,得AHGABC，得 cmS矩形EFGH=2x2=cm2；如图(2)，矩形的宽MN在BC上，类似地可求得S矩形MNPQ=18 cm2.答案：A4如图1-3-12，在ABC中，点D在线段BC上，BAC=ADC，AC=8，BC=16，那么CD=_.图1-3-12思路解析:先根据已知条件和隐含条件证明两个三角形相似，即ABCDAC.再根据相似建立比例式，根据给出的线段易求出未知线段.答案：45如果两个相似三角形的面积比为94，那么它们的相似比为_.思路解析:根据相似三角形面积的比等于相似比的平方直接开平方即可.答案：326如图1-3-13，ABC中C为直角，DEF中F为直角，DEAC，交AC于G，交AB于H，DFAB，交AB于I，求证:ABCDEF.图1-3-13证明：HIDF，EFDF,HIEF，DIH=DFE=90.DHI=DEF.DHIDEF.DIH=AGH=90，DHI=AHG,DHIAHG.A=A，AGH=ACB=90,AGHACB.ABCDE F综合应用7如图1-3-14，已知ACB=ADE，ABC=AED，求证:ABE=ACD.图1-3-14思路分析:ABE和ACD分别位于ABE和ACD中，显然不可以利用全等来证明这两个角相等，但这两个角所在的两个三角形能相似吗？从已知条件中给的四个角分别在ABC和AED中，由它们相等不难证明ABCAED，这一对三角形的相似，沟通了我们想要证明的两个三角形的关系，沟通了两个角的关系.这里使用了“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定方法.证明：ABC=AED，ACB=ADE,ABCAED.,BAC=EAD.BAC-EAC=EAD-EAC,即BAE=CAD.ABEACD.（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）ABE=ACD.8如图1-3-15，已知ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CFBA，BF交AD于P点，交AC于E点.求证:BP2=PEPF.图1-3-15思路分析:因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC，D是BC的中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC，由线段垂直平分线的性质知PB=PC，只需证明PECPCF，问题就能解决了.证明：连结PC，在ABC中，AB=AC，D为BC的中点，AD垂直平分BC.PB=PC.1=2.AB=AC，ABC=ACB.ABC-1=ACB-2.3=4.CFAB，3=F.4=F.又EPC=CPF，PCEPFC.PC2=PEPF.PC=PB，PB2=PEPF.（等线段代换）9如图1-3-16，已知ABC中，DEFGBC，ADDFFB=234，求SADES四边形DEGFS四边形BCGF.图1-3-16思路分析:要求题目中的三部分的面积比，必须先求出ADE,AFG和ABC的面积，才能求出两个四边形的面积.由已知DEFGBC的条件，可以得到相似三角形，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质，可求出相似三角形的面积比.题目中未给出具体数值，故应引入参数.解：ADDFFB=234，设AD=2k,DF=3k,FB=4k(k0)，则AF=5k,AB=9k,DEFG,ADEAFG.同理,可得.设SADE=4a,则SAFG=25a,SABC=81a(a0).S四边形DEGF=25a-4a=21a，S四边形BCGF=81a-25a=56a.SADES四边形DEGFS四边形BCGF=42156.10如图1-3-17，点C、D在线段AB上，PCD是等边三角形.图1-3-17(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时，ACPPDB？(2)当ACPPDB时，求APB的度数.思路分析:本题是一个探索型的问题，考查相似三角形的判定及性质，它给出了一个条件，让你自己再添加一个条件，可使两个三角形相似.因此，首先想到相似的判定方法，因又限制了三条边的关系，所以是对应边就成比例.当三角形相似以后，那么对应角相等，易求APB.解：（1）PCD是等