江西省上饶市2019-2020学年高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

上饶市20192020学年度第一学期期末教学质量测试高二数学（理科）试题卷第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则下列不等式中成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对于A，用不等式的性质可以论证，对于B，C，D，列举反例，可以判断详解】a0，|a|a，ab0，ab0，|a|b，故结论A成立；取a2，b1，则，B不正确；，C不正确；，D不正确故选A【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是利用不等式的性质，对于不正确结论，列举反例2.一班有学员54人，二班有学员42人，现在要用分层抽样的方法从两个班中抽出一部分人参加44方队进行军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是()A. 9人、7人B. 15人、1人C. 8人、8人D. 12人、4人【答案】A【解析】利用分层抽样的方法得，一班应抽出人，二班应抽出人，则一班与二班分别被抽取的人数是9，7，故选.点睛：本题主要考查了分层抽样方法及其应用，分层抽样中各层抽取个数依据各层个体数之比来分配，这是分层抽样的最主要的特点，首先各确定分层抽样的个数，分层后，各层的抽取一定要考虑到个体数目，选取不同的抽样方法，但一定要注意按比例抽取，牢记分层抽样的特点和方法是解答的关键，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力3.用数学归纳法证明“（）”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当时左侧为 故选C. 4.已知变量满足约束条件，目标函数，则（ ）A. 的最小值为3，无最大值B. 的最小值为1，最大值为3C. 的最大值为3，无最小值D. 的最小值为1，无最大值【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的区域如图，结合图形可知当动直线的经过时，动直线在轴上的截距最小，但无最大值，即，应选答案D点睛：本题旨在考查线性规划的有关知识的综合运用，以及化归转化的数学思想及数形结合的思想和意识求解本题时，充分借助题设中的条件，数形结合，综合运用所学知识分析问题和解决问题，从而使得问题简捷、巧妙地获解【详解】请在此输入详解！5.如果不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】【分析】对和分别讨论,列出不等关系后求解即可【详解】由题,当时,不等式为,满足题意；当时,则需满足,即综上,故选A【点睛】本题考查不等式恒成立问题,考查运算能力,考查分类讨论思想6.若二项式展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为（ ）A. B. 1C. 27D. 【答案】A【解析】依题意二项式系数和为.故二项式为，令，可求得系数和为.7.某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：根据程序框图可知，该程序执行的是，所以判断框中应该填i6?.考点：本小题主要考查程序框图的识别和应用，考查学生读图、识图的能力.点评：要分清是当型循环还是直到型循环，要特别注意退出循环的条件的应用，避免多执行或少执行一步.8.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共（ ）A. 144个B. 120个C. 96个D. 72个【答案】B【解析】【分析】首位数字可以为4、5中的一个，末位数字可以为0、2、4中的一个，分两种情况，分别求出对应偶数的个数，进而可得出答案.【详解】由题意，首位数字可以为4、5中的一个，末位数字可以为0、2、4中的一个，首位数字为4，末位数字为0、2中的一个，符合题意的偶数有个；首位数字为5，末位数字为0、2、4中的一个，符合题意的偶数有个.所以，比40000大的偶数共个.故选：B.【点睛】本题考查排列组合，考查推理能力与计算能力，属于基础题.9.有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（ ）种A. 48B. 72C. 78D. 84【答案】A【解析】【分析】将五个小球全排列后，排除掉黄色和红色小球均相邻、红色小球相邻且黄色小球不相邻、黄色小球相邻且红色小球不相邻的情况，进而得到结果.【详解】五个小球全排列共有：种排法当两个红色小球与两个黄色小球都相邻时，共有：种排法当两个红色小球相邻，两个黄色小球不相邻时，共有：种排法当两个红色小球不相邻，两个黄色小球相邻时，共有：种排法颜色相同的小球不相邻的排法共有：种排法故选【点睛】本题考查有限制条件的排列组合问题，对于限制条件较多的情况，通常采用间接法来进行求解；题目中涉及到的相邻和相离问题，分别对应捆绑法和插空法来进行求解.10.如图所示,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该圆内,事件A表示“豆子落在正方形EFGH内”,事件B表示“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则P(B|A)等于()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由几何概型概率计算公式可得P(A)=，再根据条件概率的计算公式，即可求解.【详解】由几何概型概率计算公式可得P(A)=；事件AB表示“豆子落在EOH内”,则P(AB)=由条件概率的计算公式可得P(B|A)=，故选B.【点睛】本题主要考查了几何概型及其概率的计算，以及条件概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，合理利用几何概型及其概率的计算公式和条件概率的计算公式，合理、准确求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11.已知实数满足，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由原式，明显考查斜率的几何意义，故上下同除以得，再画图分析求得的取值范围，再用基本不等式求解即可【详解】所求式，上下同除以得，又的几何意义为圆上任意一点到定点的斜率，由图可得，当过的直线与圆相切时取得临界条件当过坐标为时相切为一个临界条件，另一临界条件设，化成一般式得，因为圆与直线相切，故圆心到直线的距离，所以，解得，故设，则，又，故，当时取等号故，故选A【点睛】本题主要考查斜率几何意义，基本不等式的用法等注意求斜率时需要设点斜式，利用圆心到直线的距离等于半径列式求得斜率，在用基本不等式时要注意取等号的条件12.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走了几个单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点处的所有不同走法共有（ ）A. 21种B. 22种C. 25种D. 27种【答案】D【解析】【分析】正方形周长为8，抛掷三次骰子的点数之和为8或16，分别求出两种情况下三次骰子的点数情况，进而求出对应的排列方法即可.【详解】由题意，正方形的周长为8，抛掷三次骰子的点数之和为8或16，点数之和为8的情况有：；，排列方法共有种；点数之和为16的情况有：；，排列方法共有种.所以，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点处的所有不同走法共有种.故选：D.【点睛】本题考查排列组合问题，注意两种计数原理的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上.13.已知随机变量服从正态分布，则_.【答案】8【解析】【分析】由已知求得，再由得答案【详解】随机变量服从正态分布，则故答案为8【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查方差的求法，是基础题14.不等式的解集是_.【答案】【解析】【分析】解不等式，求出的范围即可.【详解】由题意，则，解得.所以不等式的解集是.故答案为：.【点睛】本题考查分式不等式的解法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.15.将正整数对作如下分组，第组为，第组为，第组为，第组为则第组第个数对为_【答案】【解析】根据归纳推理可知，每对数字中两个数字不相等，且第一组每一对数字和为，第二组每一对数字和为，第三组每对数字和为，第组每一对数字和为， 第组第一对数为，第二对数为，第对数为，第对数为，故答案为.16.下列关于概率和统计的几种说法：10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为，中位数为，众数为，则，的大小关系为；样本4，2，1，0，-2的标准差是2；在面积为的内任选一点，则随机事件“的面积小于”的概率为；从写有0，1，2，9的十张卡片中，有放回地每次抽一张，连抽两次，则两张卡片上的数字各不相同的概率是.其中正确说法的序号有_.【答案】【解析】【分析】求出平均数、中位数、众数，即可判断是否正确；求出标准差即可判断是否正确；结合几何概型，求出对应概率，即可判断是否正确；结合古典概型，求出对应概率，即可判断是否正确.【详解】对于，平均数为，中位数，众数为，则，即错误；对于，样本4，2，1，0，-2的平均数为1，标准差为，即正确；对于，如下图，分别为线段的三等分点，且，若点在四边形内部时，满足的面积小于，则随机事件“的面积小于”的概率为，即正确；对于，连抽两张卡片所有的情况有种，两张卡片上的数字各不相同的情况有种，则两张卡片上的数字各不相同的概率是，即正确.故答案为：.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查统计、概率知识，考查学生的计算求解能力，属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（请写出式子再写计算结果）有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内：（1）共有多少种方法？（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？（3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？【答案】（1）256（2）（3）【解析】【分析】（1）每个球都有4种方法，根据分步计数原理可得答案；（2）由题意每个盒子不空，故每个盒子各一个，可得答案；（3）由题意可从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，由分步计数原理可得答案.【详解】解：（1）每个球都有4种方法，故有4444256种，（2）每个盒子不空，共有不同的方法，（3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有种不同的放法【点睛】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，相对简单，注意灵活运用排列、组合的性质求解.18.某大学毕业生参加一个公司的招聘考试，考试分笔试和面试两个环节，笔试有、两个题目，该学生答对、两题的概率分别为、，两题全部答对方可进入面试.面试要回答甲、乙两个问题，该学生答对这两个问题的概率均为，至少答对一个问题即可被聘用，若只答对一问聘为职员，答对两问聘为助理（假设每个环节的每个题目或问题回答正确与否是相互独立的）.（1）求该学生被公司聘用的概率；（2）设该学生应聘结束后答对的题目或问题的总个数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为1【解析】【分析】（1）设答对、甲、乙各题分别为事件，可知所求事件的概率为，求解即可；（2）的取值为0，1，2，3，4，分别求出对应的概率，然后列出分布列并求出数学期望即可.【详解】设答对、甲、乙各题分别为事件，则，.（1）所求事件的概率为.（2）的取值为0，1，2，3，4，的分布列为01234.【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查分布列和数学期望的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.19.司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命. 为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了名机动车司机，得到以下统计：在名男性司机中，开车时使用手机的有人，开车时不使用手机的有人；在名女性司机中，开车时使用手机的有人，开车时不使用手机的有人 （1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；开车时使用手机开车时不使用手机合计男性司机人数女性司机人数合计（2）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检3辆，记这3辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为，若每次抽检的结果都相互独立，求的分布列和数学期望参考公式与数据：参考数据： 参考公式，其中.【答案】（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据已知数据即可得到列联表；计算出，对比临界值表可得到结果；（2）由样本估计总体思想，可得到随机抽检辆，司机为男性且开车使用手机的概率为，可知，由二项分布概率公式可计算得到每个取值所对应的概率，从而得到分布列；由二项分布数学期望计算公式可得.【详解】（1）由已知数据可得列联表如下：开车时使用手机开车时不使用手机合计男性司机人数女性司机人数合计有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关（2）随机抽检辆，司机为男性且开车时使用手机的概率有题意可知：可取值是，且；则的分布列为：数学期望【点睛】本题考查独立性检验的应用、二项分布的分布列及数学期望的求解等知识，对学生的计算和求解能力有一定要求，属于常考题型.20.某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：年份x20112012201320142015储蓄存款y（千亿元）567810为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，得到下表2：时间代号t12345z01235（）求z关于t的线性回归方程；（）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？（附：对于线性回归方程，其中）【答案】（） （）预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达156千亿元【解析】试题分析：（）由表中的数据分别计算x，y的平均数，利用回归直线必过样本中心点即可写出线性回归方程；（）t=x2010，z=y5，代入z=1.2t1.4得到：y5=1.2（x2010）1.4，即y=1.2x2408.4，计算x=2020时，的值即可试题解析：（）， （），代入得到：，即， 预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达156千亿元点睛：求解回归方程问题的三个易误点：（1）易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系（2）回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(，)点，可能所有的样本数据点都不在直线上（3）利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)21.上饶市在某次高三适应性考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩近似服从正态分布，现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分到145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组，第二组，第六组，得到如图所示的频率分布直方图：（1）试由样本频率分布直方图估计该校数学成绩的平均分数；（2）若从这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为，求的概率.附：若，则，.【答案】（1）112；（2）.【解析】【分析】（1）由频率之和为1，可求出的频率，进而由频率分布直方图求出平均数即可；（2）结合正态分布，可求得全市前13名的最低分数，从而可知这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的人数，及在全市前13名的人数，进而求出的概率即可.【详解】（1）由频率分布直方图可知频率为，估计该校全体学生的数学平均成绩为：；（2）由于，根据正态分布：，故，即前13名的成绩全部在135分以上根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135以上（包括135分）有人，