2018考研数学二真题及解析.doc

. 2017年考研数学二真题一、选择题 18小题每小题4分，共32分1若函数在处连续，则（A） （B） （C） （D）【详解】，要使函数在处连续，必须满足所以应该选（A）2设二阶可导函数满足，且，则（ ）（A） （B） （C） （D）【详解】注意到条件，则知道曲线在上都是凹的，根据凹凸性的定义，显然当时，当时，而且两个式子的等号不是处处成立，否则不满足二阶可导所以所以选择（B）当然，如果在考场上，不用这么详细考虑，可以考虑代一个特殊函数，此时，可判断出选项（A），（C），（D）都是错误的，当然选择（B）希望同学们在复习基础知识的同时，掌握这种做选择题的技巧3设数列收敛，则（A）当时， （B）当时，(C）当时， （D）当时，【详解】此题考核的是复合函数的极限运算法则，只有（D）是正确的其实此题注意，设，则分别解方程时，发现只有第四个方程有唯一解，也就是得到微分方程的特解可设为（ ）（A） （B）（C） （D）【详解】微分方程的特征方程为，有一对共轭的复数根所以不是特征方程的根，所以对应方程的特解应该设为；而是方程的单根，所以对应方程的特解应该设为；从而微分方程的特解可设为，应该选（C）5设具有一阶偏导数，且对任意的都有，则（ ）（A） （B）（C） （D）【详解】由条件对任意的都有可知对于是单调增加的，对就单调减少的所以，只有第三个不等式可得正确结论（D），应该选（D）6甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为，计时开始后乙追上甲的时刻为，则（ ）（A） （B）（C） （D）【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，表示时刻内所走的路程本题中的阴影面积分别表示在时间段内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在时乙追上甲，应该选（C）7设为三阶矩阵，为可逆矩阵，使得，则（ ）（A） （B） （C） （D）【详解】显然这是矩阵相似对角化的题目可知所以，所以可知选择（B）8已知矩阵，则 （A）相似，相似 （B）相似，不相似（C）不相似，相似 （D）不相似，不相似【详解】矩阵的特征值都是是否可对解化，只需要关心的情况对于矩阵，秩等于1 ，也就是矩阵属于特征值存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是对于矩阵，秩等于2 ，也就是矩阵属于特征值只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然不相似故选择（B）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9曲线的斜渐近线为 解：，所以斜渐近线为10设函数由参数方程确定，则 【详解】，所以11 .【详解】12设函数具有一阶连续的偏导数，且已知，则 【详解】，所以，由，得，所以13 【详解】交换二重积分的积分次序得：14设矩阵的一个特征向量为，则 【详解】根据特征向量的定义，有，解得三、解答题15（本题满分10分）求极限【详解】令，则，16（本题满分10分）设函数具有二阶连续偏导数，求，【详解】，；17（本题满分10分）求【详解】由定积分的定义18（本题满分10分）已知函数是由方程【详解】在方程两边同时对求导，得 （1）在（1）两边同时对求导，得也就是令，得当时，；当时，当时，函数取极大值；当时，函数取极小值19（本题满分10分）设函数在区间上具有二阶导数，且，证明：（1）方程在区间至少存在一个实根；（2）方程在区间内至少存在两个不同实根证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件可知，存在，及，使得，由于在上连续，且，由零点定理，存在，使得，也就是方程在区间至少存在一个实根；（2）由条件可知，由（1）可知，由洛尔定理，存在，使得；设，由条件可知在区间上可导，且，分别在区间上对函数使用尔定理，则存在使得，也就是方程在区间内至少存在两个不同实根20（本题满分11分）已知平面区域，计算二重积分【详解】由于积分区域关于轴左右对称，所以由二重积分对称性可知所以其中利用瓦列斯公式，知21（本题满分11分）设是区间上的可导函数，且点是曲线上的任意一点，在点处的切线与轴相交于点，法线与轴相交于点若，求上的点的坐标满足的方程【详解】曲线过点的切线方程为，令，得；曲线过点的法线方程为，令，得由条件，可得微分方程标准形为，是个一阶齐次型微分方程设，方程化为，整理，得分离变量，两边积分，得由初始条件，得，确定常数所以曲线的方程为22（本题满分11分）设三阶矩阵有三个不同的特征值，且（1）证明：；（2）若，求方程组的通解【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以是非零矩阵，也就是假若时，则是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有，又因为，也就是线性相关，也就只有（2）因为，所以的基础解系中只有一个线性无关的解向量由于，所以基础解系为；又由，得非齐次方程组的特解可取为；方程组的通解为，其中为任意常数23（本题满分11分）设二次型在正交变换下的标准形为，求的