山东省阳信县第一实验学校九年级数学下册 二次函数图像和性质复习课件 新人教版.ppt

二次函数复习 注意 当二次函数表示某个实际问题时 还必须根据题意确定自变量的取值范围 1 二次函数的定义 形如y ax2 bx c a b c是常数 a 0 的函数叫做二次函数 自变量x的取值范围是 任意实数 回顾总结 2 二次函数的表达式 1 二次函数的一般形式 函数y ax2 bx c a 0 注意 它的特殊形式 当b 0 c 0时 y ax2当b 0时 y ax2 c当c 0时 y ax2 bx 2 顶点式 y a x h 2 k a 0 3 交点式 y a x x1 x x2 a 0 二次函数解析式 二次函数的解析式有两种形式 一般式 y ax2 bx c a b c是常数 a 0 顶点式 y a x h 2 k a h k是常数 a 0 当已知抛物线上任意三点时 通常解析式设为一般式 列出三元一次方程组求出待定系数 当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时 通常设解析式为顶点式求出待定系数 1 抛物线y ax2的顶点是原点 对称轴是y轴 2 当a 0时 抛物线y ax2在x轴的上方 除顶点外 它的开口向上 并且向上无限伸展 当a 0时 抛物线y ax2在x轴的下方 除顶点外 它的开口向下 并且向下无限伸展 3 当a 0时 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴右侧 y随着x的增大而增大 当x 0时函数y的值最小 当a 0时 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着x增大而减小 当x 0时 函数y的值最大 二次函数y ax2的性质 归纳 函数y x2 y 2x2的图象与函数y x2 图中虚线图形 的图象相比 有什么共同点和不同点 观察 共同点 不同点 开口都向上 顶点是原点而且是抛物线的最低点 对称轴是y轴 开口大小不同 a 越大 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随着x的增大而增大 抛物线的开口越小 1 2 3 0 1 2 3 1 2 3 4 5 观察 函数y x2 y 2x2的图象与函数y x2 图中蓝线图形 的图象相比 有什么共同点和不同点 共同点 开口都向下 不同点 顶点是原点而且是抛物线的最高点 对称轴是y轴 开口大小不同 a 越大 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着x的增大而减小 抛物线的开口越小 二次函数的图象 图象 是一条抛物线 图象的特点 1 有开口方向 开口大小 2 有对称轴 3 有顶点 最低点或最高点 考点链接 二次函数y ax2的图象与二次函数y ax2 k的图象的关系 二次函数y ax2 k的图象可由二次函数y ax2的图象向上 或向下 平移得到 当k 0时 抛物线y ax2向上平移k的绝对值个单位 得y ax2 k当k 0时 抛物线y ax2向下平移k的绝对值个单位 得y ax2 k y 2x2 y 2x2 2 y 2x2 2 二次函数y ax2的图象与二次函数y a x h 2的图象的关系 二次函数y a x h 2的图象可由二次函数y ax2的图象向左 或向右 平移得到 当h 0时 抛物线y ax2向左平移h的绝对值个单位 得y a x h 2当h 0时 抛物线y ax2向右平移h的绝对值个单位 得y a x h 2 二次函数y ax2的图象与二次函数y a x h 2 k的图象的关系 二次函数y a x h 2 k的图象可由抛物线y ax2向左 或向右 平移h的绝对值个单位 在向上 或向下 平移k的绝对值个单位而得到 二次函数的图象及性质 当a 0时开口向上 当a 0时开口向下 0 0 0 c h 0 h k 直线 y轴 直线 直线 在对称轴左侧 y随x的增大而减小 在对称轴右侧 y随x的增大而增大 在对称轴左侧 y随x的增大而增大 在对称轴右侧 y随x的增大而减小 y轴 知识回顾 3 开口方向 当a 0时 抛物线开口向上 当a 0时 抛物线开口向下 1 顶点坐标 2 对称轴是直线 如果a 0 当 时 函数有最小值 如果a 0 当 时 函数有最大值 4 最值 若a 0 当 时 y随x的增大而增大 当 时 y随x的增大而减小 若a 0 当 时 y随x的增大而减小 当 时 y随x的增大而增大 5 增减性 与y轴的交点坐标为 0 c 6 抛物线 与坐标轴的交点 抛物线 抛物线 与x轴的交点坐标为 其中 为方程 的两实数根 与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程 7 抛物线 的根的判别式判定 0 有两个交点 抛物线与x轴相交 0 有一个交点 抛物线与x轴相切 0 没有交点 抛物线与x轴相离 例4已知抛物线 k取何值时 抛物线经过原点 k取何值时 抛物线顶点在y轴上 k取何值时 抛物线顶点在x轴上 k取何值时 抛物线顶点在坐标轴上 所以k 4 所以当k 4时 抛物线顶点在y轴上 所以k 7 所以当k 7时 抛物线经过原点 抛物线顶点在y轴上 则顶点横坐标为0 即 解 抛物线经过原点 则当x 0时 y 0 所以 所以当k 2或k 6时 抛物线顶点在x轴上 抛物线顶点在x轴上 则顶点纵坐标为0 即 抛物线顶点在x轴上 则顶点纵坐标为0 即 整理得 解得 由 知 当k 4或k 2或k 6时 抛物线的顶点在坐标轴上 所以当x 2时 解法一 配方法 例5当x取何值时 二次函数有最大值或最小值 最大值或最小值是多少 因为所以当x 2时 因为a 2 0 抛物线有最低点 所以y有最小值 总结 求二次函数最值 有两个方法 1 用配方法 2 用公式法 解法二 公式法 又 例6已知函数 当x为何值时 函数值y随自变量的值的增大而减小 解法一 抛物线开口向下 对称轴是直线x 3 当x 3时 y随x的增大而减小 解法二 抛物线开口向下 对称轴是直线x 3 当x 3时 y随x的增大而减小 例7已知二次函数 的最大值是0 求此函数的解析式 解 此函数图象开口应向下 且顶点纵坐标的值为0 所以应满足以下的条件组 由 解方程得 所求函数解析式为 相等 则形状相同 1 a决定抛物线形状及开口方向 若 a 0 开口向上 5 抛物线y ax2 bx c中a b c的作用 a 0 开口向下 5 抛物线y ax2 bx c中a b c的作用 2 a和b共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线 若a b异号 对称轴在y轴右侧 故 若b 0 对称轴为y轴 若a b同号 对称轴在y轴左侧 5 抛物线y ax2 bx c中a b c的作用 3 c的大小决定抛物线y ax2 bx c与y轴交点的位置 当x 0时 y c 抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点 0 c c 0 抛物线经过原点 c 0 与y轴交于正半轴 c 0 与y轴交于负半轴 例8已知如图是二次函数y ax2 bx c的图象 判断以下各式的值是正值还是负值 1 a 2 b 3 c 4 b2 4ac 5 2a b 6 a b c 7 a b c 分析 已知的是几何关系 图形的位置 形状 需要求出的是数量关系 所以应发挥数形结合的作用 解 1 因为抛物线开口向下 所以a 0 判断a的符号 2 因为对称轴在y轴右侧 所以 而a 0 故b 0 判断b的符号 3 因为x 0时 y c 即图象与y轴交点的坐标是 0 c 而图中这一点在y轴正半轴 即c 0 判断c的符号 4 因为顶点在第一象限 其纵坐标 且a 0 所以 故 判断b2 4ac的符号 且a 0 所以 b 2a 故2a b 0 5 因为顶点横坐标小于1 即 判断2a b的符号 6 因为图象上的点的横坐标为1时 点的纵坐标为正值 即a 12 b 1 c 0 故a b c 0 判断a b c的符号 7 因为图象上的点的横坐标为 1时 点的纵坐标为负值 即a 1 2 b 1 c 0 故a b c 0 判断a b c的符号 1 下列函数中 是二次函数的是 2 当m 时 函数y m 1 2 1是二次函数 2 知识重现 4 抛物线的顶点是 2 3 则m n 当x时 y随x的增大而增大 5 已知二次函数的最小值为1 则m 3 抛物线y x2 2x 3的开口向 对称轴 顶点坐标 当x时 y最 值 与x轴交点 与y轴交点 判断正负性 a b c0 a b c0 b2 4ac0 自主探究 练习 判断下列抛物线中a b c的符号 练习 抛物线y ax2 bx c的顶点在第一象限 且与x轴交于点a 且与y轴交于点c 点c在线段ob上 点a b的坐标为 1 0 0 1 试确定下列代数式的符号 1 a 2 b 3 c 4 a b c 5 a b c 6 a b 1 解 1 设这个函数的解析式为y ax2 bx c 依题意得 解这个方程组得 这个函数的解析式是 y x2 4x 3 典型例题 2 抛物线顶点为m 1 2 且过点n 2 1 练习 根据下列已知条件 求二次函数的解析式 1 抛物线过点 0 2 1 1 3 5 3 抛物线过原点 且过点 3 27 4 已知二次函数的图象经过点 1 0 3 0 0 6 求二次函数的解析式 5 抛物线y ax2 bx c经过 0 0 与 12 0 最高点的纵坐标是3 求这条抛物线的解析式 46 1