高考数学一轮总复习 第五章 平面向量、解三角形 5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示课件 理 新人教B版.ppt

5 1平面向量的概念及线性运算 平面向量基本定理及坐标表示 高考理数 一 向量的基本概念1 单位向量模为1个单位长度的向量叫做单位向量 常用e表示 其他的表示方法 i j k cos sin 等 2 平行 共线 向量方向相同或相反的非零向量a b叫做平行向量 也叫做共线向量 记作a b 规定0与任一向量平行 3 相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 记作a b 4 相反向量长度相等且方向相反的向量叫做相反向量 a的相反向量为 a 知识清单 有 a a 规定 0的相反向量是0 二 向量的线性运算1 向量的加法法则 三角形法则或平行四边形法则 交换律 a b b a 结合律 a b c a b c 2 向量的减法向量减法 a与b的相反向量相加叫做a与b的差 记作a b a b 法则 三角形法则或平行四边形法则 注意 等式 a b 2 a b 2 2 a 2 b 2 的几何意义 平行四边形两条对角线的平方和等于它的四条边的平方和 3 实数与向量的乘积实数 与向量a的乘积是一个向量 记作 a 规定 a a 当 0时 a的方向与a的方向相同 当 0时 a的方向与a的方向相反 当 0时 a的方向是任意的 结合律 a a 第一分配律 a a a 第二分配律 a b a b 4 向量共线的充要条件若向量a b是两个非零向量 则a b 存在唯一 r 使得a b 对于任意非零向量a b a b 存在 r且 2 2 0 使得 a b 0 注意 用向量法证明a b c三点共线时 首先要求出 然后证明 即可证得与共线 三 平面向量基本定理如果e1 e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对这一平面内的任一向量a 有且只有一对实数 1 2 使a 1e1 2e2 其中e1 e2为一组基底 记作 e1 e2 四 向量的坐标运算及向量共线的坐标表示1 坐标运算 1 若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1 x2 y1 y2 2 若a x1 y1 b x2 y2 则 x2 x1 y2 y1 3 若a x y r 则 a x y 2 平面向量共线的坐标表示 若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1y2 x2y1 0 平面向量基本定理的实质是向量的线性表示 即向量的分解 代数形式下 充分利用向量的加法 减法 数乘运算 几何形式下 充分利用平面几何的一些定理来实现 例1 2015四川绵阳一诊 14 如图所示 在 abc中 点m是ab的中点 且 bn与cm相交于点e 设 a b 试用基底a b表示向量 解析易得 b a 由n e b三点共线知 存在实数m 满足 m 1 m mb 1 m a 突破方法 方法1关于平面向量的线性运算 由c e m三点共线知存在实数n 满足 n 1 n na 1 n b 所以mb 1 m a na 1 n b 由于a b为基底 所以解得所以 a b 答案a b 1 1 2015天津质检 在平行四边形abcd中 点e是ad边的中点 be与ac相交于点f 若 m n m n r 则的值是 答案 2解析解法一 根据题意可知 afe cfb 所以 故 所以 2 解法二 回路法 如图 2 m n m 2n 1 f e b三点共线 m 2n 1 1 2 向量的本质有 双重身份 即 代数形式 和 几何形式 向量法解题 三部曲 向量表示 把几何中的元素用向量表示 向量运算 针对几何问题 进行向量运算 回归几何 对向量运算结果作出几何意义的解释 三部曲 的理论总结得很对 但解题过程中容易陷入坐标情结 方程情结 偏重代数形式 忽视几何形式 让思维过于机械化 有时运算很烦琐 这时 可以尝试向量回路法解题 重视图形分析 关注几何与代数的融合 回到简洁明快的解题方向上 什么是回路 向量从一点出发 通过一个封闭的图形又回到起点的那个通路 构成一个回路 回路法的关键 利用条件 将我们所关心的两个向量列成比例式 关联题设条件 最后将向量分解成共线形式 问题就迎刃而解了 最简单的回路 如 或 其中等号可以理解成 结果等效 方法2平面向量的共线问题 例2 2016安徽合肥一检 14 5分 在梯形abcd中 已知ab cd ab 2cd m n分别为cd bc的中点 若 则 解析解法一 由 得 则 0 得 0 得 0 又因为 不共线 所以由平面向量基本定理得解得所以 解法二 回路法 连结mn并延长交ab的延长线于t 由已知易得ab at t m n三点共线 答案2 1 2016江西九校联考 一 给定两个长度为1的平面向量和 它们的夹角为 如图所示 点c在以o为圆心的圆弧上运动 若 x y 其中x y r 则x y的最大值是 答案2解析解法一 以o为坐标原点 oa所在的直线为x轴 的方向为x轴的正方向 建立平面直角坐标系 则可知a 1 0 b 设c cos sin 则