吉林省松原市扶余县第一中学高三数学总复习 专题四第2讲空间向量与立体几何课件 新人教A版.ppt

第2讲空间向量与立体几何 本节目录 感悟真题把脉考向 聚焦高考突破热点 名师讲坛精彩呈现 知能演练轻松闯关 真题试做 考向分析 高考对空间向量的考查主要是作为求解空间角和距离的工具进行的 虽然近年来偶尔出现以选择题或填空题考查空间向量的试题 但不是考查的主流趋势 高考中立体几何解答题的一般模式是既有证明也有计算 其中证明部分主要还是考查空间线面位置关系 计算部分主要是考查空间角和距离的求解 以求解二面角的大小为主 在计算部分使用空间向量的方法有一定的优势 这是高考考查空间向量的主要方式 热点一向量法证明垂直与平行设直线l的方向向量为a a1 b1 c1 平面 的法向量分别为u a3 b3 c3 v a4 b4 c4 1 线面平行 l a u a u 0 a1a3 b1b3 c1c3 0 2 线面垂直 l a u a ku a1 ka3 b1 kb3 c1 kc3 3 面面平行 u v u kv a3 ka4 b3 kb4 c3 kc4 4 面面垂直 u v u v 0 a3a4 b3b4 c3c4 0 如图 平面pac 平面abc abc是以ac为斜边的等腰直角三角形 e f o分别为pa pb ac的中点 ac 16 pa pc 10 1 设g是oc的中点 证明 fg 平面boe 2 证明 在 abo内存在一点m 使fm 平面boe 思路点拨 以o点为原点 ob oc op所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 利用向量法可求解 证明 1 如图 连接op 以点o为坐标原点 ob oc op所在直线为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系o xyz 则o 0 0 0 a 0 8 0 b 8 0 0 c 0 8 0 p 0 0 6 e 0 4 3 f 4 0 3 规律方法 1 空间中线面的平行与垂直的证明有两种思路 一是利用相应的判定定理和性质定理去解决 二是利用空间向量法来论证 2 用向量法来证明平行与垂直 避免了繁杂的推理论证 直接计算就行了 把几何问题代数化 尤其是在正方体 长方体 直四棱柱中相关问题的证明用向量法更简捷 但是向量法要求计算必须准确无误 变式1如图 已知直三棱柱abc a1b1c1中 abc为等腰直角三角形 bac 90 且ab aa1 d e f分别为b1a c1c bc的中点 求证 1 de 平面abc 2 b1f 平面aef 证明 如图建立空间直角坐标系a xyz 令ab aa1 4 则a 0 0 0 e 0 4 2 f 2 2 0 b 4 0 0 b1 4 0 4 热点二向量法求线线角 线面角和面面角向量法求夹角的计算公式 1 线线角 直线与直线所成的角为 如两直线的方向向量分别为a b 则cos cos a b 2 线面角 直线与平面所成的角为 如直线的方向向量为a 平面的法向量为n 则sin cos a n 3 面面角 两相交平面所成的角为 两平面的法向量分别为n1和n2 则cos cos n1 n2 其特殊情况是两个半平面所成的角即二面角 也可以用这个公式解决 但要判定二面角的平面角是锐角还是钝角以决定cos 的正 负 思路点拨 1 先判断三角形的形状再求面积 2 利用空间向量法求异面直线所成的角 2012 高考山东卷 在如图所示的几何体中 四边形abcd是等腰梯形 ab cd dab 60 fc 平面abcd ae bd cb cd cf 1 求证 bd 平面aed 2 求二面角f bd c的余弦值 思路点拨 1 在平面四边形abcd中 证明bd ad 2 以c点为原点 ca cb cf所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 可求二面角的余弦值 解 1 证明 因为四边形abcd是等腰梯形 ab cd dab 60 所以 adc bcd 120 又cb cd 所以 cdb 30 因此 adb 90 即ad bd 又ae bd 且ae ad a ae ad 平面aed 所以bd 平面aed 变式2如图所示 在四棱锥p abcd中 底面abcd是矩形 pa 平面abcd pa ad 2 ab 1 bm pd于点m 1 求证 am pd 2 求直线cd与平面acm所成的角的余弦值 解 1 证明 pa 平面abcd ab 平面abcd pa ab ab ad ad pa a ad 平面pad pa 平面pad ab 平面pad pd 平面pad ab pd bm pd ab bm b ab 平面abm bm 平面abm pd 平面abm am 平面abm am pd 变式3 2012 安徽模拟 如图所示 在多面体abcd a1b1c1d1中 上 下两个底面a1b1c1d1和abcd互相平行 且都是正方形 dd1 底面abcd ab 2a1b1 2dd1 2a 1 求异面直线ab1与dd1所成角的余弦值 2 已知f是ad的中点 求证 fb1 平面bcc1b1 3 在 2 的条件下 求二面角f cc1 b的余弦值 热点三向量法解决探索性问题空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题 它无需进行复杂的作图 论证 推理 只需通过坐标运算进行判断 解题时 把要成立的结论当作条件 据此列方程或方程组 把 是否存在 问题转化为 点的坐标是否有解 是否有规定范围的解 等 使问题的解决更简单 有效 应善于运用这一方法解题 2012 高考福建卷 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 aa1 ad 1 e为cd的中点 1 求证 b1e ad1 2 在棱aa1上是否存在一点p 使得dp 平面b1ae 若存在 求ap的长 若不存在 说明理由 3 若二面角a b1e a1的大小为30 求ab的长 规律方法 利用向量法解决探索性问题时应注意的事项 1 平面法向量计算必须要准确 2 若在线段上探索是否存在一点 设出该点坐标时要抓住三点共线可减少坐标未知量的个数 变式4已知在四棱柱abcd a1b1c1d1中 侧棱aa1 底面abcd ab ad bc ad 且ab 2 ad 4 bc 1 侧棱aa1 4 1 若e为aa1上一点 试确定e点的位置 使eb 平面a1cd 2 在 1 的条件下 求二面角e bd a的余弦值 备选例题 1 2012 高考天津卷 如图 在四棱锥p abcd中 pa 平面abcd ac ad ab bc bac 45 pa ad 2 ac 1 1 证明pc ad 2 求二面角a pc d的正弦值 3 设e为棱pa上的点 满足异面直线be与cd所成的角为30 求ae的长 2 2012 高考重庆卷 如图所示 在直三棱柱abc a1b1c1中 ab 4 ac bc 3 d为ab的中点 1 求异面直线cc1和ab的距离 2 若ab1 a1c 求二面角a1 cd b1的平面角的余弦值 本题满分14分 2012 高考北京卷 如图1 在rt abc中 c 90 bc 3 ac 6 d e分别是ac ab上的点 且de bc de 2 将 ade沿de折起到 a1de的位置 使a1c cd 如图2 1 求证 a1c 平面bcde 2 若m是a1d的中