广西桂林市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2015年广西桂林市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（ 12*5=60） 1已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6，集合 A=1， 2， 5， 4， 5， 6，则集合 AB=（ ） A 1， 2 B 5 C 1， 2， 3 D 3， 4， 6 2已知平面上两点 A（ 1， 1）， B（ 5， 9），则 |（ ） A 10 B 20 C 30 D 40 3下列函数中，在（ 0， +）上为减函数的是（ ） A f（ x） =3x B C D 4设 f（ x） = ，则 f（ f（ 2） =（ ） A 1 B C D 5若幂函数 f（ x） =（ m 1） 0， +）上为 增函数，则实数 m=（ ） A 2 B 1 C 3 D 1 或 2 6已知直线 x+21=0，与 2a 1） x 1=0 平行，则 a 的值是（ ） A 0 或 1 B 1 或 C 0 或 D 7若定义在 R 上的偶函数 f（ x）在 0， +）上是减函数，则有（ ） A f（ 3） f（ 2） f（ 1） B f（ 1） f（ 2） f（ 3） C f（ 2） f（ 1） f（ 3）D f（ 3） f（ 1） f（ 2） 8过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ） 第 2 页（共 21 页） A B C D 9空间四边形 对角线 ， ， M， N 分别为 中 点，并且 成的角为 90，则 ） A 10 B 6 C 8 D 5 10已知 a 0， b 0 且 ，则函数 f（ x） =g（ x） = 图象可能是（ ） A B CD 11一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A 64 B 72 C 80 D 112 12已知函数 f（ x） =4），且 0 a 1，则使 f（ x） 0 成立的 x 的取值范围是（ ） A（ ， 0） B（ 0， +） C（ ， 2 D（ 2+） 第 3 页（共 21 页） 二、填空题（ 4*5=20） . 13计算： = 14直线 3x+4y 5=0 到直线 3x+4y+15=0 的距离是 15在边长为 a 的等边三角形 ， D，沿 成二面角 B C 后， ，这时二面角 B C 的大小为 16如图，平面 平面 边形 正方形，四边形 矩形，且 a， G 是 中点，则 平面 成角的正弦值为 三、解答题（共 6题， 70分，解答应给出文字说明，证明过程及演算步骤 .） 17求下列函数的定义域： （ 1） f（ x） =（ 2） f（ x） = 18在平面直角坐标系 ，已知 顶点坐标为 A（ 2， 4）， B（ 1， 2）， C（ 2， 3） （ 1）求直线 方程； 第 4 页（共 21 页） （ 2）求边 高 在的直线方程 19已知函数 f（ x） = （ 1）在下表中画出该函数的草图； （ 2）求函数 y=f（ x）的值域、单调增区间及零点 20某投资公司计划投资 A、 B 两种金融产品，根据市场调查与预测， A 产品的利润 y 与投资量 关系如图 1， B 产品的利润 y 与投资量 x 的算术平方根成正比例，其关系如图 2，（注：利润与投资量单位：万元） （ 1）分别将 A、 B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式； （ 2）该公司已有 10 万元资金，并全部投入 A、 B 两种产品 中，问：怎样分配这 10 万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？ 21如图，在直三棱柱 ， D 是 中点求证： （ 1） 第 5 页（共 21 页） （ 2） 平面 22已知定义域为 R 的函数 f（ x） = （ a， b 是常数）是奇函数 （ 1）求函数 f（ x）的解析式； （ 2）判断函数 f（ x）的单调性，并证明你的结论； （ 3）若对于任意 都有 f（ +f（ 2x 1） 0 成立，求实数 k 的取值范围 第 6 页（共 21 页） 2015年广西桂林市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（ 12*5=60） 1已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6，集合 A=1， 2， 5， 4， 5， 6，则集合 AB=（ ） A 1， 2 B 5 C 1， 2， 3 D 3， 4， 6 【考点】 交集及其运算 【专题】 集合 【分析】 由题意全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 4， 5， 6，可以求出集合 B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算 【解答】 解： 全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 又 4， 5， 6， B=1， 2， 3， A=1， 2， 5， AB=1， 2， 故选： A 【点评】 此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题 2已知平面上两点 A（ 1， 1）， B（ 5， 9），则 |（ ） A 10 B 20 C 30 D 40 【考点】 两点间距离公式的应用 【专题】 计算题；转化思想；综合法；直线与圆 【分析】 利用两点间距离公式求解 【解答】 解： 平面上两点 A（ 1， 1）， B（ 5， 9）， | =10 故选： A 【点评】 本题考查两点间距离公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用 第 7 页（共 21 页） 3下列函数中，在（ 0， +）上为减函数的是（ ） A f（ x） =3x B C D 【考点】 函数单调性的判断与证明 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 根据函数 f（ x） =3x， f（ x） = ， f（ x） = 在（ 0， +）上为增函数，故排除利用对数函数的性质可得 在（ 0， +）上为减函数， 满足条件，从而得出结论 【解答】 解：由于函数 f（ x） =3x， f（ x） = ， f（ x） = 在（ 0， +）上为增函数，故排除 由对数函数的性质可得 在（ 0， +）上为减函数，满足条件， 故选 B 【点评】 本题主要考查函数的单调性，属于基础题 4设 f（ x） = ，则 f（ f（ 2） =（ ） A 1 B C D 【考点】 分段函数的应用；函数的值 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 直接利用分段函数，由里及外逐步求解即可 【解答】 解： f（ x） = ，则 f（ f（ 2） =f（ 2 2） =f（ ） =1 =1 = 故选： C 【点评】 本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力 5若幂函数 f（ x） =（ m 1） 0， +）上为增函数，则实数 m=（ ） A 2 B 1 C 3 D 1 或 2 【考点】 幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【专题】 函数的性质及应用 第 8 页（共 21 页） 【分析】 直接利用幂函数的定义与性质求解即可 【解答】 解：幂函数 f（ x） =（ m 1） 0， +）上为增函数， 所以 m 1=1，并且 m 0， 解得 m=2 故选： A 【点评】 本题考查幂函数的断断续续以及幂函数的定义的应用，基本知识的考查 6已知直线 x+21=0，与 2a 1） x 1=0 平行，则 a 的值是（ ） A 0 或 1 B 1 或 C 0 或 D 【考点】 两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 【专题】 计算题；分类讨论 【 分析】 先检验当 a=0 时，是否满足两直线平行，当 a0 时，两直线的斜率都存在，由 ，解得 a 的值 【解答】 解：当 a=0 时，两直线的斜率都不存在， 它们的方程分别是 x=1， x= 1，显然两直线是平行的 当 a0 时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等， 由 ，解得： a= 综上， a=0 或 ， 故选： C 【点评】 本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验 7若定义在 R 上的偶函数 f（ x）在 0， +）上是减函数，则有（ ） A f（ 3） f（ 2） f（ 1） B f（ 1） f（ 2） f（ 3） C f（ 2） f（ 1） f（ 3）D f（ 3） f（ 1） f（ 2） 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【专题】 计算题；函数的性质及应用 【分析】 利用 函数的单调性及奇偶性，即可得出结论 【解答】 解： 定义在 R 上的函数 f（ x）在 0， +）上是减函数， 第 9 页（共 21 页） f（ 3） f（ 2） f（ 1）， 函数是偶函数， f（ 3） f（ 2） f（ 1）， 故选： A 【点评】 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础 8过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ） A B C D 【考点】 球的体积和表面积 【专题】 计算题 【分析】 由题意设出球的半径，圆 M 的半径，二者与 成直角三角形，求出圆 M 的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比 【解答】 解：设球的半径为 R，圆 M 的半径 r， 由图可知， R2+ R2= S 球 =4 截面圆 M 的面积为： 则所得截面的面积与球的表面积的比为： 故选 A 【点评】 本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口 9空间四边形 对角线 ， ， M， N 分别为 中点，并且 成的角为 90，则 ） A 10 B 6 C 8 D 5 【 考点】 异面直线及其所成的角 【专题】 计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离 第 10 页（共 21 页） 【分析】 取 点 P，连结 而 0， ， ，由此能求出 【解答】 解： 空间四边形 对角线 ， ， M， N 分别为 中点，并且 成的角为 90， 取 点 P，连结 0， ， ， =5 故 选： D 【点评】 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 10已知 a 0， b 0 且 ，则函数 f（ x） =g（ x） = 图象可能是（ ） A B CD 【考点】 对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质 第 11 页（共 21 页） 【专题】 常规题型；数形结合 【分析】 由条件 化简 g（ x）的解析式，结合指数函数、对数函数的性质可得正确答案 【解答】 解： ，且 a 0， b 0 又 所以 f（ x）与 g（ x）的底数相同，单调性相同 故选 B 【点评】 本题考查指数函数与对数函数的图象，以及对数运算，属中档题 11一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 是（ ） A 64 B 72 C 80 D 112 【考点】 由三视图求面积、体积 【专题】 计算题 【分析】 由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为 4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为 3分别求体积，再相加即可 【解答】 解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为 4，体积为 43=64， 上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为 3体积 ， 故该几何体的体积是 64+8=72 故选 B 【点评】 本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式，本题是一个基础题 第 12 页（共 21 页） 12已知函数 f（ x） =4），且 0 a 1，则使 f（ x） 0 成立的 x 的取值范围是（ ） A（ ， 0） B（ 0， +） C（ ， 2 D（ 2+） 【考点】 对数函数的图像与性质 【专题】 计算题；转化思想；函数的性质及应用 【分析】 首先利用对数函数的单调性得 到 4 1，然后整理，利用指数函数的单调性求 x 范围 【解答】 解：由题意，使 f（ x） 0 成立即 4） 0，所以 4 1， 整理得 4，且 0 a 1，所以 x 故选 D 【点评】 本题考查了对数函数和指数函数的性质运用；注意底数与 1 的关系 二、填空题（ 4*5=20） . 13计算： = 【考点】 对数的运算性 质 【专题】 计算题 【分析】 利用对数的运算性质 =可得到答案 【解答】 解： +20 = +20 = +1 = 故答案为： 【点评】 本题考查对数与指数的运算性 质，属于基础题 14直线 3x+4y 5=0 到直线 3x+4y+15=0 的距离是 4 【考点】 两条平行直线间的距离 【专题】 计算题；直线与圆 【分析】 利用两条平行线间的距离公式，可得结论 第 13 页（共 21 页） 【解答】 解： 直线 3x+4y 5=0 与直线 3x+4y+15=0 平行， 利用两条平行线间的距离公式，可得 =4 故答案为： 4 【点评】 本题考查两条平行线间的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题 15在边长为 a 的等边三角形 ， D，沿 成二面角 B C 后， ，这时二面角 B C 的大小为 60 【考点】 二面角的平面角及求法 【专题】 计算题 【分析】 根据已知中 D，易得沿 成二面角 B C 后， 为二面角 B C 的平面角，解三角形 可求出二面角 B C 的大小 【解答】 解： 沿 成二面角 B C 后， 为二面角 B C 的平面角 又 D= ， 0 故答案为： 60 【点评】 本题考查的知识点是二面角的平面角的求法，解答的关键是求出二面角的平面角，将问题转化为一个解三角形问题 16如图，平面 平面 边形 正方形，四边形 矩形，且 a， G 是 中点，则 平面 成角的正弦值为 第 14 页（共 21 页） 【考点】 平面与平面垂直的性质 【专题】 空间位置关系与距离 【分析】 由面面垂直的性质证明 勾股定理证明 到 平面 而面 面 平面 作 足为 H，则 平面 平面 成的角，解 得 平面 成角的正弦值 【解答】 解： 正方形， 面 面 交于 面 又 a， AF=a， 矩形， G 是 中点， G= a， a， C=B， 平面 平面 平面 在平面 作 足为 H，则 平面 平面 成的角 在 ， = ， a， = 故答案为： 【点评】 本题考查面面垂直的判定方法，以及求线面成的角的求法，考查学生的计算能力，属于中档题 三、解答题（共 6题， 70分，解答应给出文字说明，证 明过程及演算步骤 .） 17求下列函数的定义域： 第 15 页（共 21 页） （ 1） f（ x） =（ 2） f（ x） = 【考点】 函数的概念及其构成要素 【专题】 函数思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】 根据函数成立的条件即可求出函数的定义域 【解答】 解：（ 1）要使函数有意义，则 3x 2 0，即 x ， 即函数的定义域为（ ， +） （ 2）要使函数有意义，则 4 2x0， 即 2x4，得 x2， 即函数的定义域为（ ， 2 【点评】 本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础 18在平面直角坐标系 ，已知 顶点坐标为 A（ 2， 4）， B（ 1， 2）， C（ 2， 3） （ 1）求直线 方程； （ 2）求边 高 在的直线方程 【考点】 待定系数法求直线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系 【专题】 直线与圆 【分析】 （ 1）利用两点式求直线 程； （ 2）由（ 1）可求 斜率，利用点斜式求 程 【解答】 解：（ 1）因为 B（ 1， 2）， C（ 2， 3） 所以直线 方程： 整理得 5x+3y+1=0； （ 2）因为边 高 以 斜率为 ，又 A（ 2， 4），所以 方程为 y 4= （ x 2），整理得所求方程： 3x 5y+14=0 【点评】 本题考查了直线方程的确定；用到了两点式、点 斜式求直线方程 19已知函数 f（ x） = 第 16 页（共 21 页） （ 1）在下表中画出该函数的草图； （ 2）求函数 y=f（ x）的值域、单调增区间及零点 【考点】 对数函数图象与性质的综合应用 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 （ 1）根据函数的解析式画出函数的图象 （ 2）结合函数的图象求出的值域、单调增区间及零点 【解答】 解：（ 1）函数草图，如图所示： f（ x） =1（ x 1）过点（ 0， 1），（ 1， 0）， 显然 f（ x） =1（ x 1）与 都过点（ 1， 0）， 且 过点（ 2， 1） （ 2） y=f（ x）的值域为 R， y=f（ x）的单调增区间： 0， 1， y=f（ x）的零点为 1， 【点评】 本题主要考查函数的图象和性质的综合应用，分段函数的应用，属于基础题 第 17 页（共 21 页） 20某投资公司计划投资 A、 B 两种金融产品，根据市场调查与预测， A 产品的利润 y 与投资量 关系如图 1， B 产品的利润 y 与投资量 x 的算术平方根成正比例，其关系如图 2，（注：利润与投资量单位：万元） （ 1）分别将 A、 B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式； （ 2）该公司已有 10 万元资金，并全部投入 A、 B 两种产品中，问：怎样分配这 10 万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？ 【考点】 函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值 【专题】 应用题 【分析】 （ 1）由于 A 产品的利润 y 与投资量 x 成正 比例， B 产品的利润 y 与投资量 x 的算术平方根成正比例，故可设函数关系式，利用图象中的特殊点，可求函数解析式； （ 2）设 A 产品投入 x 万元，则 B 产品投入 10 x 万元，设企业利润为 y 万元利用（ 1）由此可建立函数，采用换元法，转化为二次函数利用配方法求函数的最值 【解答】 解：（ 1）设投资为 x 万元， A 产品的利润为 f（ x）万元， B 产品的利润为 g（ x）万元 由题意设 f（ x） =由图知 ， 又 g（ 4） = 从而 ， （ 2）设 A 产品投入 x 万元，则 B 产品投入 10 x 万元，设企业利润为 y 万元 （ 0x10） 令 ，则 = 当 t=2 时， ，此时 x=10 4=6 答：当 A 产品投入 6 万元，则 B 产品投入 4 万元时， 该企业获得最大利润，利润为 元 第 18 页（共 21 页） 【点评】 本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查正比例函数模型，关键是将实际问题转化为数学问题 21如图，在直三棱柱 ， D 是 中点求证： （ 1） （ 2） 平面 【考点】 直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系 【专题】 证明题 【分析】 （ 1）利用线面垂直的判定定理先证明 平面 面 可证得 （ 2）取 交点为 O，连 三角形 中位线， 面 用线面平行的判定定理 即可得证 【解答】 证明：（ 1）在 直三棱柱 ， 平面 又 ， 平面 （ 2）设 交点为 O，连接 平行四边形，则 O 为 点，又 D 是 三角形 又 面 面 平面 第 19 页（共 21 页） 【点评】 本题考查直线与平面的平行与垂直，着重考查直线与平面平行的判定定理 与直线与