河南省周口市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1页（共 19页） 2015年河南省周口市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题 5分，共 60 分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1已知集合 M= 1， 1， ，则 MN=（ ） A 1， 1 B 1 C 0 D 1， 0 2若直线 x+2=0 的倾斜角为 30，则实数 m 的值是（ ） A B C D 3已知函数 f（ x） = 下列区间中，包含 f（ x）零点的区间是（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 4） D（ 4， +） 4设 m、 n 是两条不同的直线， 、 、 是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若 ， ，则 ； 若 ， m ，则 m ； 若 m ， m ，则 ； 若 m n， n，则 m 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 5设 a=b=（ 2， c=（ ） A a c b B b c a C a b c D b a c 6三棱锥 D ， D，且 E， F 分别分别是棱 中点，则 成的角等于（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 7已知圆锥的母线长是 10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为（ ） A B 100 C D 50 8已知 ，函数 f（ x） =g（ x） = 图象可能是（ ） 第 2页（共 19页） A B C D 9在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是 1，则该点到原点的距离是（ ） A B C D 10在圆 x2+ 上，与直线 4x+3y 12=0 的距离最小的点的坐标是（ ） A（ ） B（ C（ ） D 11如图，三棱柱 ABC的所有棱长都相等，侧棱与底面垂直， M 是侧棱 中点，则二面角 M B 的大小为（ ） A 30 B 45 C 60 D 75 12定义在 R 上的偶函数 f（ x）在 0， +）上递增， ，则满足的 x 的取值范围是（ ） A（ 0， +） B CD 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，把正确答 案填在答题卷中的横线上） 13已知幂函数 y=f（ x）的图象过点（ 3， ），则 2） = 14国家规定个人稿费纳税办法是：不超过 800 元的不纳税；超过 800 元而不超过 4000 元的按超过 800 元部分的 14%纳税；超过 4000 元的按全部稿酬的 11%纳税已知某人出版一本书，共纳税 420 元时，这个人应得稿费（扣税前）为 元 15已知直线 y+2a=0 和（ 2a 1） x+ay+a=0 互相垂直，则 a= 第 3页（共 19页） 16已知正三棱锥 P 主视图和俯视图如图所 示，则此三棱锥的外接球的表面积为 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） . 17已知集合， B=x| a+2） x+2a=0， aR， A=x|a 2 x a+2 （ ）若 a=0，求 A B （ ）若 ，求 a 的取值范围 18如图所示，光线从点 A（ 2， 1）出发，到 x 轴上的点 B 后，被 x 轴反射到 y 轴上的 C 点，又被 y 轴反射，这时反射线恰好经过点 D（ 1， 2） （ 1）求直线 方程； （ 2）求线段 中垂线方程 19已知函数 f（ x） = 的定义域为 A （ 1）求集合 A； （ 2）若函数 g（ x） =（ 2 21，且 xA，求函数 g（ x）的最大最小值和对应的 x 值 20如图，在三棱柱 棱 底面 ， ， ， ，点 D 是 中点 （ ）求证： 平面 ）求证： ）求直线 平面 成的角的正切值 第 4页（共 19页） 21已知函数 f（ x） = 的定义域上的奇函数，且 f（ 2） = ，函数 g（ x）是 R 上的增函数， g（ 1） =1 且对任意 x， yR，总有 g（ x+y） =g（ x） +g（ y） （ ）求函数 f（ x）的解析式 （ ）判断函数 f（ x）在（ 1， +）上的单调性，并加以证明 （ ）若 g（ 2a） g（ a 1） +2，求实数 a 的取值范围 22已知：以点 为圆心的圆与 x 轴交于点 O， A，与 y 轴交于点 O、 B，其中 O 为原点， （ 1）求证： 面积为定值； （ 2）设直线 y= 2x+4 与圆 C 交于点 M， N，若 N，求圆 C 的方程 第 5页（共 19页） 2015年河南省周口市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 5分，共 60 分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1已知集合 M= 1， 1， ，则 MN=（ ） A 1， 1 B 1 C 0 D 1， 0 【考点】 交集及其运算 【分析】 N 为指数型不等式的解集，利用指数函数的单调性解出，再与 M 求交集求【解答】 解： 2 1 2x+1 22 1 x+1 2 2 x 1，即 N= 1， 0 又 M= 1， 1 MN= 1， 故选 B 【点评】 本题考查指数 型不等式的解集和集合的交集，属基本题 2若直线 x+2=0 的倾斜角为 30，则实数 m 的值是（ ） A B C D 【考点】 直线的倾斜角 【专题】 计算题；方程思想；定义法；直线与圆 【分析】 由直线的一般式方程求得直线的斜率，由斜率等于倾斜角的正切值列式求得 a 的值 【解答】 解： 直线 x+2=0 的倾斜角为 30， ， m= ， 故选： C 【点评】 本题考查了直线的倾斜角，考查了直线倾斜角与斜率的关系，是基础题 3已知函数 f（ x） = 下列区间中，包含 f（ x）零点的区间是（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 4） D（ 4， +） 【考点】 函数零点的判定定理 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 可得 f（ 2） =2 0， f（ 4） = 0，由零点的判定定理可得 【解答】 解： f（ x） = 第 6页（共 19页） f（ 2） =2 0， f（ 4） = 0， 满足 f（ 2） f（ 4） 0， f（ x）在区间（ 2， 4）内必有零点， 故选： C 【点评】 本题考查还是零点的判断，属基础题 4设 m、 n 是两条不同的直线， 、 、 是 三个不同的平面，给出下列四个命题： 若 ， ，则 ； 若 ， m ，则 m ； 若 m ， m ，则 ； 若 m n， n，则 m 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【专题】 空间位置关系与距离 【分析】 利用面面平行、面面垂直以及线面关系定理分别对四个命题分析解答 【解答】 解：对于 ，若 ， 根据面面平行的性质容易得到 ；故 正确； 对于 ，若 ， m ， m 与 的关系不确定；故 错误； 对于 ，若 m ， m ，可以在 找到一条直线 n 与 m 平行，所以 n ，故 ；故正确； 对于 ，若 m n， n，那么 m 与 的位置关系为 m 或者 m；故 错误； 故选 A 【点评】 本题考查了面面平行、面面垂直以及线面关系定理的运用，关键是熟练掌握应该的定理，正确运用 5设 a=b=（ 2， c=（ ） A a c b B b c a C a b c D b a c 【考点】 对数的运算性质；对数函数的单调性与特殊点；不等式比较大小 【专题】 函数的性质 及应用 【分析】 因为 a=， b=（ 2（ 2， c=，所以 c 最大，排除 A、 B；又因为 a、 b（ 0， 1），所以 a b，排除 C 【解答】 解： a=， b=（ 2（ 2， c=， c 最大，排除 A、 B；又因为 a、 b（ 0， 1），所以 a b， 故选 D 【点评】 本题考查对数函数的单调性，属基础题 6三棱锥 D ， D，且 E， F 分别分别是棱 中点，则 成的角等于（ ） 第 7页（共 19页） A 30 B 45 C 60 D 90 【考点】 异面直线及其所成的角 【专题】 计算题 【分析】 取 中点 G，连接 移到 异面 成的角，再在 ，求出此角即可 【解答】 解：取 中点 G，连接 则 是 成的角， 又 D， 直角三角形， 且 F 在直角三角形 ， 5 故选 B 【点评】 本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题 7已知圆锥的母线长是 10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为（ ） A B 100 C D 50 【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【专题】 数形结合；综合法；立体几何 【分析】 圆锥的母线为侧面展开图的半径，代入圆的面积公式即可 【解答】 解： 圆锥的侧面展开图的半径为圆锥的母线， 圆锥的侧面积为 =50 故选： D 【点评】 本题考查了圆锥的结构特征，侧面积计算，属 于基础题 8已知 ，函数 f（ x） =g（ x） = 图象可能是（ ） A B C D 【考点】 对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质 【专题】 数形结合 【分析】 先求出 a、 b 的关系，将函数 g（ x）进行化简，得到函数 f（ x）与函数 g（ x）的单调性是在定义域内同增同减，再进行判定 第 8页（共 19页） 【解答】 解： 则 b= 从而 g（ x） = f（ x） = 函数 f（ x）与函数 g（ x）的单调性是在定义域内同增同 减 结合选项可知选 B， 故答案为 B 【点评】 本题主要考查了对数函数的图象，以及指数函数的图象和对数运算等有关知识，属于基础题 9在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是 1，则该点到原点的距离是（ ） A B C D 【考点】 空间点、线、面的位置 【专题】 计算题 【分析】 首先设出点的坐标，根据点到三个坐标轴的距离都是 1，写出坐标之间的关系，把三个关系式相加，点的点到原点的距离公式中要包含的形式，得到结果 【解答】 解：设这个点的坐标是（ x， y， z） 点到三个坐标轴的距 离都是 1 x2+， x2+， y2+， ， 该点到原点的距离是 = = ， 故选 A 【点评】 本题考查空间点、线、面的位置关系，考查点到坐标轴的距离，考查点到圆心的距离，是一个基础题，单独出题的机会不大 10在圆 x2+ 上，与直线 4x+3y 12=0 的距离最小的点的坐标是（ ） A（ ） B（ C（ ） D 【考点】 点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系 【分析】 在圆 x2+ 上，与直线 4x+3y 12=0 的距离最小的点，必在过圆心与直线 4x+3y 12=0 垂直的直线上，求此线与圆的交点，根据图象可以判断坐标 【解答】 解：圆的圆心（ 0， 0），过圆心与直线 4x+3y 12=0 垂直的直线方程： 3x 4y=0， 它与 x2+ 的交点坐标是（ ）， 又圆与直线 4x+3y 12=0 的距离最小， 所以所求的点的坐标（ ）图中 P 点为所求； 故选 A 第 9页（共 19页） 【点评】 本题考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，直线的截距等知识，是中档题 11如图，三棱柱 ABC的所有棱长都相等，侧棱与底面垂直， M 是侧棱 中点，则二面角 M B 的大小为（ ） A 30 B 45 C 60 D 75 【考点】 二面角的平面角及求法 【专题】 计算题 【分析】 由已知中三棱柱 ABC的所有棱长都相等，侧棱与底面垂直，易得三棱柱ABC为直三棱柱， 是以 底的等腰三角形，取 中点 D，连接 二面角的平面角的定义，可得 为二面角 M B 的平面角，解 可求出二面角 M B 的大小 【解答】 解：由已知中三棱柱 ABC的所有棱长都相等，侧 棱与底面垂直， 可得三棱柱 ABC为直三棱柱 取 中点 D，连接 则 为二面角 M B 的平面角， 在 ， M 是侧棱 中点 = 故 0 即二面角 M B 的大小为 30 故选 A 第 10页（共 19页） 【点评】 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中由二面角的平面角的定义，证得 为二面角 M B 的平面角，是解答本题的关键 12定义在 R 上的偶函数 f（ x）在 0， +）上递增， ，则满足的 x 的取值范围是（ ） A（ 0， +） B CD 【考点】 对数函数的单调性与特殊点；奇偶性与单调性的综合 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 由题意可得偶函数 f（ x）在 0， +）上递增，在（ ， 0上递减，且 f（ ）=f（ ） =0故由不等式可得 ，或 分别求得 的解集，再取并集，即得所求 【解答】 解：由题意可得偶函数 f（ x）在 0， +）上递增，在（ ， 0上递减， 且 f（ ） =f（ ） =0 故由 可得 ，或 由 可得 ， 解得 0 x 由 可得 ， 得 x 2 综上可得，不等式的解集为 x|0 x ，或 x 2， 故选 C 【点评】 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，解对数不等式，属于中档题 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，把正确答案填在答题卷中的横线上） 13已知幂函数 y=f（ x）的图象过点（ 3， ），则 2） = 【考点】 幂函数的概念、解析式、定义域、值域；对数的运算性质 【专题】 函数的性质及应用 【 分析】 根据幂函数的定义，利用待定系数法进行求解 【解答】 解：设幂函数 f（ x） = 函数的图象过点（ 3， ）， 第 11页（共 19页） f（ 3） =3= =3 ， 解得 = ，则 f（ x） = = ， 则 f（ 2） = ， 则 2） = = = ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查幂函数的解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键 14国家规定个人稿费纳税办法是：不超过 800 元的不纳税；超过 800 元而不超过 4000 元的按超过 800 元部分的 14%纳税；超过 4000 元的按全部稿酬的 11%纳税已知某人 出版一本书，共纳税 420 元时，这个人应得稿费（扣税前）为 3800 元 【考点】 分段函数的应用 【专题】 应用题 【分析】 分析知，纳税额与稿费的关系可以用一个分段函数来描述，求出函数的解析式再根据函数的解析式由纳税额为 420 元建立方程求出稿酬即可 【解答】 解：由题意，纳税额与稿费函数关系为 由于此人纳税 420 元，令（ x 800） 20，解得 x=3800 元 令 20，得 x= 故可得这个人应得稿费（扣税前）为 3800 元 故答案为： 3800 【点评】 本题考查分段 函数的应用，求解的关键是正确理解所给的实际问题建立起符合实际的函数的模型，本题考查建立函数模型的能力 15已知直线 y+2a=0 和（ 2a 1） x+ay+a=0 互相垂直，则 a= 0 或 1 【考点】 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 【专题】 分类讨论 【分析】 当 a=0 时，其中有一条直线的斜率不存在，经检验满足条件，当 a0 时，两直线的斜率都存在， 由斜率之积等于 1，可求 a 【解答】 解：当 a=0 时，两直线分别为 y=0，和 x=0，满足垂直这个条件， 当 a0 时，两直线的斜率分别为 a 和 ，由斜率之积等于 1 得： a = 1， 解得 a=1 综上， a=0 或 a=1 故答案为 0 或 1 第 12页（共 19页） 【点评】 本题考查两条直线垂直的条件，注意当直线的斜率不存在时，要单独检验，体现了分类讨论的数学思想，属于 基础题 16已知正三棱锥 P 主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为 【考点】 球的体积和表面积；球内接多面体 【专题】 空间位置关系与距离 【分析】 根据三视图判断正三棱锥的侧棱长与底面正三角形的边长，借助直观图求出外接球的半径，代入球的表面积公式计算 【解答】 解：由正视图与侧视图知，正三棱锥的侧棱长为 4，底面正三角形的边长为 2 ，如图： 其中 ， 2 =2， =2 ， 设其外接球的球心为 0，半径为 R，则： A=R， R+ =2 R= ， 外接球的表面积 S=4 = 故答案为： 【点评】 本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三棱锥的结构特征求出外接球的半径是解答本题的关键 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） . 17已知集合， B=x|（ a+2） x+2a=0， aR， A=x|a 2 x a+2 （ ）若 a=0，求 A B （ ）若 ，求 a 的取值范围 【考点】 交、并、补集的混合运算；并集及其运算 第 13页（共 19页） 【专题】 计算题；集合思想；定义法；集合 【分析】 （ ）把 a=0 代入 A 中不等式确定出 A，代入 B 中方程求出解确定出 B，求出 A （ ）根据题意表示出 ，求出 a 的范围即可 【解答】 解：（ ）当 a=0 时，可得 A=x| 2 x 2， B=x|2x=0=0， 2， A B=x| 2 x2； （ ）由题意得： B=x| a+2） x+2a=0=x|（ x 2）（ x a） =0=a， 2， A=x|a 2 x a+2， x|xa 2 或 xa+2， a ， 2 2a 2 或 2a+2， 解得： a0 或 a4， 则 a 的范围是 a|a0 或 a4 【点评】 此题考查了交、并、补集的混合运算，以及并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 18如图所示，光线从点 A（ 2， 1）出发，到 x 轴上的点 B 后，被 x 轴反射到 y 轴上的 C 点，又被 y 轴反射，这时反射线恰好经过点 D（ 1， 2） （ 1）求直线 方程； （ 2）求线段 中垂线方程 【考点】 与直线关于点、直线对称的直线方程 【专题】 直线与圆 【分析】 （ 1）求出点 A（ 2， 1）关于 x 轴的对称点 A（ 2， 1），点 D（ 1， 2）关于 y 轴的对称点 D（ 1， 2），然后由直线方程的两点式求得直线 方程； （ 2）由（ 1）求得 B， C 的坐标，进一步求得 中点坐标，再求出直线 斜率，得到 中垂线的斜率，代入直线方程点斜式得答案 【解答】 解：（ 1）点 A（ 2， 1）关于 x 轴的对称点为 A（ 2， 1）， 点 D（ 1， 2）关于 y 轴的对称点为 D（ 1， 2）， 根据反射原理， A， B， C， D四点共线 直线 方程为 ，即 x+y 1=0； （ 2）由（ 1）得 B（ 1， 0）， C（ 0， 1） 中点坐标为（ ）， 1 线段 中垂线方程为 ，即 x y=0 第 14页（共 19页） 【点评】 本题考查了点关于直线的对称点的求法，考查了直线方程的两点式与点斜式，是基础题 19已知函数 f（ x） = 的定义域为 A （ 1）求集合 A； （ 2）若函数 g（ x） =（ 2 21，且 xA，求函数 g（ x）的最大最小值和对应的 x 值 【考点】 函数的最值及其几何意义；函数的定义域及其求法 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 （ 1）要使函数有意义，必须 4x 1 0， 4x 1） 0， 16 2x0，解不等式可得集合 A； （ 2）令 t（ 1t2），即有函数 y=（ 2 21=2t 1，配方由二次函数的最值求法，即可得到最值 【解答】 解：（ 1）由题意可得 ， 即为 ，解得 x4， 即集合 A= ， 4； （ 2）令 t（ 1t2）， 即有函数 y=（ 2 21=2t 1 =（ t 1） 2 2， 当 t=1，即 x=2 时，取得最小值 2； 当 t= 1 即 x= 时，取得最大值 2 【点评】 本题考查函数的定义域的求法，注意偶次根式被开方式非负和对数的真数大于 0，同时考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和对数函数的单调性，属于中档题 20如图，在三棱柱 棱 底面 ， ， ， ，点 D 是 中点 （ ）求证： 平面 ）求证： ）求直线 平面 成的角的正切值 第 15页（共 19页） 【考点】 直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定 【专题】 数形结合；综合法；空间位置关系与距离 【分析】 （ ）设 1C=O，由三角形的中位线性质可得 而利用线面平行的判定定理证明 平面 （ ）利用勾股定理证明 明 底面 得 由线面垂直的判定定理证得 平面 从而证得 （ ）得 到 直线 1成的角，解三角形即可 【解答】 解：（ ）如图： 设 1C=O，则 O 为 接 D 为 中点， 又 面 面 平面 （ ） 又 底面 底面 又 ， 平面 而 面 （ ）由（ ）得 平面 直线 斜线 平面 直线 平面 在 ， ， ， = ， 直线 平面 成的角的正切值为 【点评】 本题考查证明线线垂直、线面垂直、线面平行的方法，空间中直线与直线间的位置关系，属于中档题 第 16页（共 19页） 21已知函数 f（ x） = 的定义域上的奇函数，且 f（ 2） = ，函数 g（ x）是 R 上的增函数， g（ 1） =1 且对任意 x， yR，总有 g（ x+y） =g（ x） +g（ y） （ ）求函数 f（ x）的解析式 （ ）判断函数 f（ x）在（ 1， +）上的单调性，并加以证明 （ ）若 g（ 2a） g（ a 1） +2，求实数 a 的取值范围 【考点】 奇偶性与单调性的综合；函数解析式的求解及常用方法 【专题】 综合题；方程思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 （ ）由题意可得 f（ x） = f（ x），可得 n，利用 f（ 2） = ，求出 m，即可求函数 f（ x）的解析式 （ ）利用导数判断证明判断函数 f（ x）在（ 1， +）上的单调性； （ ）确定 g（ x）为奇函数， g（ 2） =g（ 1） +g（ 1） =2， g（ 2a） g（ a 1） +2，化为 g（ 2a） g（ a+1），利用函数 g（ x）是 R 上的增函数，可得不等式，解不等式即可得到 a 的范围 【解答】 解：（ ）由定义域为 R 的函数 f（ x） = 是奇函数， 可得 = ，即 n+3x=