高考数学一轮总复习 第9章 平面解析几何 第二节 圆的方程及点、线、圆的位置关系课件 文 新人教A版.ppt

第二节圆的方程及点 线 圆的位置关系 知识点一圆的方程 1 圆的定义及其方程 定点 定长 圆心 半径 d2 e2 4f 0 2 点与圆的位置关系 1 理论依据 与的距离与半径的大小关系 2 三个结论 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 点m x0 y0 r2 点在圆上 r2 点在圆外 r2 点在圆内 x0 a 2 y0 b 2 x0 a 2 y0 b 2 x0 a 2 y0 b 2 点 圆心 一个易错点 忽略二元二次方程表示圆的条件而致误 1 方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示圆 则a的取值范围是 2 一个必要转化 和圆有关的距离问题 注意将圆上动点到定点 定直线的距离转化为圆心到它们的距离 已知直线l x y 4 0与圆c x 1 2 y 1 2 2 则圆c上各点到l的距离的最小值为 知识点二直线与圆 圆与圆的位置关系 1 直线与圆的位置关系 设直线l ax by c 0 a2 b2 0 圆 x a 2 y b 2 r2 r 0 d为圆心 a b 到直线l的距离 联立直线和圆的方程 消元后得到的一元二次方程的判别式为 2 圆与圆的位置关系 d r1 r2 无解 d r1 r2 r1 r2 d r1 r2 两组不同的实数解 两个基本图形 直线与圆相交 相切的构图 3 直线与圆相交 弦心距 半弦长 半径构成直角三角形 直线y 2x 1被圆x2 y2 1截得的弦长为 4 直线与圆相切 圆心与切点连线与切线互相垂直 过点 0 1 且与圆 x 2 2 y2 1相切的直线方程是 答案y 1和4x 3y 3 0 一个易错点 两圆相切时 注意是内切还是外切 5 已知圆c1 x a 2 y 2 2 4与圆c2 x b 2 y 2 2 1相切 则 a b 2 解析圆c1圆心坐标为 a 2 半径r1 2 圆c2圆心坐标为 b 2 半径r2 1 则圆心距为 a b 两圆外切时 a b 2 1 3 两圆内切时 a b 2 1 1 所以 a b 2 9或1 答案9或1 四条常用性质 6 圆心在过切点且垂直切线的直线上 圆心在任一弦的中垂线上 两圆内切或外切时 切点与两圆圆心三点共线 两圆方程相减得公共弦所在直线方程 已知点m 1 0 是圆c x2 y2 4x 2y 0内的一点 那么过点m的最短弦所在直线的方程是 答案x y 1 0 圆的方程突破方略 求圆的方程的几种方法 1 直接法 根据圆的几何性质 直接求出圆心坐标和半径 进而写出方程 2 待定系数法 若已知条件与圆心 a b 和半径r有关 则设圆的标准方程 根据已知条件列出关于a b r的方程组 从而求出a b r的值 若已知条件没有明确给出圆心或半径 则选择圆的一般方程 依据已知条件列出关于d e f的方程组 进而求出d e f的值 例1 1 过点a 2 4 b 3 1 两点 并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程为 2 经过点a 2 4 且与直线l x 3y 26 0相切于点b 8 6 的圆的方程为 因此 所求圆的方程为x2 y2 2x 4y 8 0或x2 y2 6x 8y 0 2 法一设圆心坐标为c a b 依题意得 点评 解决此类问题的关键是设出圆的方程利用待定系数法求解 或利用圆的几何性质求出圆心及半径 直线与圆的位置关系求解方略 求过圆外一点 x0 y0 的圆的切线方程 1 几何方法 当斜率存在时 设为k 切线方程为y y0 k x x0 即kx y y0 kx0 0 由圆心到直线的距离等于半径 即可得出切线方程 2 代数方法 设切线方程为y y0 k x x0 即y kx kx0 y0 代入圆的方程 得一个关于x的一元二次方程 由 0 求得k 切线方程即可求出 注 若以上方法只求出一条切线 则说明过圆外一点 x0 y0 的圆的切线不存在 应补充上x x0 圆的弦长的求法 答案a 点评 解决 2 题的关键是利用弦心距 半径 半弦长构成的直角三角形求解 或将直线方程与圆的方程联立利用弦长公式求解 圆与圆位置关系的判定及应用 圆与圆的位置关系突破方略 1 两圆位置关系的判断常用几何法 即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系 一般不采用代数法 2 若两圆相交 则两圆公共弦所在直线方程可由两圆的方程作差求得 并且两圆的连心线垂直平分公共弦 例3 2016 四川资阳模拟 已知圆c1 x 2 2 y 3 2 1 圆c2 x 3 2 y 4 2 9 m n分别是圆c1 c2的动点 p为x轴上的动点 则 pm pn 的最小值为 解析如图圆c1关于x轴的对称圆的圆心坐标a 2 3 半径为1 圆c2的圆心 坐标 3 4 半径为3 pm pn 的最小值为圆a与圆c2的圆心距减去两个圆的半径和 答案a 点评 解决本题关键是 pm pn 最小值几何意义的分析 与圆有关的轨迹问题 示例 已知圆x2 y2 4上一定点a 2 0 b 1 1 为圆内一点 p q为圆上的动点 1 求线段ap中点的轨迹方程 2 若 pbq 90 求线段pq中点的轨迹方程 解 1 设ap的中点为m x y 由中点坐标公式可知 p点坐标为 2x 2 2y 因为p点在圆x2 y2 4上 所以 2x 2 2 2y 2 4 故线段ap中点的轨迹方程为 x 1 2 y2 1 2 设pq的中点为n x y 在rt pbq中 pn bn 设o为坐标原点 连接on 则on pq 所以 op 2 on 2 pn 2 on 2 bn 2 所以x2 y2 x 1 2 y 1 2 4 故线段pq中点的轨迹方程为x2 y2 x y 1 0 方法点