山东省德州市中考数学复习 第3章 函数及其图象 第12讲 二次函数课件.ppt

第三章函数及其图象第12讲二次函数 考点梳理过关 考点1二次函数的概念 二次函数解析式的三种形式 考点2二次函数的图象和性质6年4考 1 形如y ax2 a 0 的图象和性质 2 形如y a x h 2 k a 0 的图象和性质 3 形如y ax2 bx c a 0 的图象和性质 考点3二次函数解析式的确定 考点4二次函数图象的平移 抛物线y ax2与y a x h 2 y ax2 k y a x h 2 k中a相同 则图象的 形状和 大小都相同 只是 位置不同 它们之间的平移关系如下表 考点5二次函数的应用6年6考 1 y ax2 bx c a 0 与ax2 bx c 0 a 0 的关系 2 二次函数的应用二次函数的实际应用类型 增长率问题 抛物线型问题 涉及桥拱 隧道 弹道曲线 投篮等 最大利润问题等 典型例题运用 类型1二次函数的图象与系数的关系 例1 2016 烟台中考 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 下列结论 4acb 2a b 0 其中正确的有 b a b c d b 抛物线与x轴有两个交点 0 b2 4ac 0 4ac b2 故 正确 x 1时 y 0 a b c 0 a c b 故 错误 对称轴x 1 a 0 2a b 1 b 2a 2a b 0 故 正确 变式运用 如图是二次函数y ax2 bx c图象的一部分 其对称轴为x 1 且过点 3 0 下列说法 abcy2 其中说法正确的是 二次函数的图象开口向上 a 0 二次函数的图象交y轴的负半轴于一点 c 0 对称轴是直线x 1 1 b 2a 0 abc 0 故 正确 b 2a 2a b 0 故 正确 抛物线的对称轴为x 1 且过点 3 0 抛物线与x轴另一交点为 1 0 当x 1时 y随x的增大而增大 当x 2时 y 0 即4a 2b c 0 故 错误 5 y1 关于直线x 1的对称点的坐标是 3 y1 又 当x 1时 y随x的增大而增大 3 y1 y2 故 正确 例2 2017 南雄模拟 对于抛物线y x2 2x 2下列结论 抛物线的开口向下 对称轴为直线x 1 顶点坐标为 1 3 x 1时 y随x的增大而减小 其中正确结论的个数为 c a 1b 2c 3d 4 cy x2 2x 2 x 1 2 3 a 1 0 抛物线的开口向下 正确 对称轴为直线x 1 故本选项错误 顶点坐标为 1 3 正确 x 1时 y随x的增大而减小 x 1时 y随x的增大而减小一定正确 综上所述 结论正确的是 共3个 变式运用 定义 给定关于x的函数y 对于该函数图象上任意两点 x1 y1 x2 y2 当x10 y 当x10 y1 y2 0 y1 y2 y x 1不是增函数 当00 x1 x20 是增函数 当x1 x2时 y1 y2 x1 x2 x1 x2 0 但x1x2的正负无法确定 故无法确定 是大于0还是小于0 即无法确定y1 y2 无法确定y 是否为增函数 类型2二次函数与几何图形综合 例3 2017 滨州模拟 已知一次函数y x 1与抛物线y x2 bx c交于a 0 1 b两点 b点纵坐标为10 抛物线的顶点为c 1 求b c的值 2 判断 abc的形状并说明理由 3 点d e分别为线段ab bc上任意一点 连接cd 取cd的中点f 连接af ef 当四边形adef为平行四边形时 求平行四边形adef的周长 自主解答 1 把a 0 1 代入y x2 bx c 解得c 1 将y 10代入y x 1 得x 9 b点坐标为 9 10 将b 9 10 代入y x2 bx c 得b 2 2 abc是直角三角形 理由如下 y x2 2x 1 x 3 2 2 点c的坐标为 3 2 分别作bg垂直于y轴 ch垂直于y轴 垂足分别为g h bg ag 9 bag 45 同理 cah 45 cab 90 abc是直角三角形 3 bg ag 9 ab 9 ch ah 3 ac 3 四边形adef为平行四边形 ad ef 又 f为cd中点 ce be 即ef为 dbc的中位线 ef ad bd ab 9 ef ad 3 在rt acd中 ad 3 ac 3 cd 6 af 3 平行四边形adef周长为6 6 变式运用 2016 安徽中考 如图 二次函数y ax2 bx的图象经过点a 2 4 与b 6 0 1 求a b的值 2 点c是该二次函数图象上a b两点之间的一动点 横坐标为x 2 x 6 写出四边形oacb的面积s关于点c的横坐标x的函数表达式 并求s的最大值 解 1 二次函数y ax2 bx的图象经过点a 2 4 与b 6 0 2 由 1 知 y x2 3x 如图 过点a作x轴的垂线 垂足为点d 2 0 连接cd 过点c作ce ad cf x轴 垂足分别为点e 点f c x x2 3x 则s oad od ad 2 4 4 s acd ad ce 4 x 2 2x 4 2 x 6 s bcd bd cf 4 x2 3x x2 6x 2 x 6 则s s oad s acd s bcd 4 2x 4 x2 6x x2 8x 2 x 6 s关于x的函数表达式为s x2 8x 2 x 6 将其用顶点式表示为s x 4 2 16 当x 4时 四边形oacb的面积s取最大值 最大值为16 类型3二次函数的实际应用 例4 2017 济宁中考 某商店经销一种学生用双肩包 已知这种双肩包的成本价为每个30元 市场调查发现 这种双肩包每天的销售量y 个 与销售单价x 元 有如下关系 y x 60 30 x 60 设这种双肩包每天的销售利润为w元 1 求w与x之间的函数关系式 2 这种双肩包销售单价定为多少元时 每天的销售利润最大 最大利润是多少元 3 如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元 该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润 销售单价应定为多少元 解 1 根据题意 得w x 30 y x 30 x 60 x2 90 x 1800 w与x之间的函数关系式为w x2 90 x 1800 30 x 60 2 根据题意 得w x2 90 x 1800 x 45 2 225 148 x2 50不符合题意 舍去 答 该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润 销售单价应定为40元 变式运用 2018 原创 为了节省材料 某水产养殖户利用水库的岸堤为一边 用总长为a米 a为大于21的常数 的围网在水库中围成了如图所示的 两块矩形区域 已知岸堤的可用长度不超过21米 设ab的长为x米 矩形区域abcd的面积为y平方米 1 求y与x之间的函数关系 并直接写出自变量x的取值范围 用含a的式子表示 2 若a 30 求y的最大值 并求出此时x的值 3 若a 48 请求出y的最大值 解 1 设ab的长为x米 则bc的长为 a 3x 米 根据题意 得y x a 3x 3x2 ax 由a 3x 21 得x 由a 3x 0 得x x 2 当a 30时 y 3x2 30 x 3 x 5 2 75 3 x 10 当x 5时 y取得最大值为75 3 当a 48时 y 3x2 48x 3 x 8 2 192 当x 8时 y取得最大值为192 六年真题全练 命题点1二次函数的图象和性质 1 2017 德州 链接第10讲六年真题全练第1题 2 2016 德州 10 3分 下列函数中 满足y的值随x的值增大而增大的是 b a y 2xb y 3x 1c y d y x2 b函数y 2x与y 3x 1是一次函数 当k 0 y随x的增大而增大 所以y 3x 1符合 函数y 在每一象限内y随x增大而减小 不符合题意 y x2是二次函数 在对称轴的两侧增减性不同 不符合题意 2 2015 德州 如图 平面直角坐标系中 a点坐标为 2 2 点p m n 在直线y x 2上运动 设 apo的面积为s 则下面能够反映s与m的函数关系的图象是 b b p m n 在直线y x 2上运动 当点p的坐标为 1 1 时 点p在线段oa上 此时 apo不存在 m 1 直线y x 2垂直平分oa oa确定 当m1时 等腰 apo底边上的高随m的增大逐渐增大 s也是m的一次函数 s逐渐增大 3 2013 德州 函数y x2 bx c与y x的图象如图所示 有以下结论 b2 4c 0 b c 1 0 3b c 6 0 当1 x 3时 x2 b 1 x c 0 其中正确的个数是 b a 1b 2c 3d 4 b 函数y x2 bx c与x轴无交点 b2 4c 0 故 错误 当x 1时 y 1 b c 1 故 错误 当x 3时 y 9 3b c 3 3b c 6 0 故 正确 当1 x 3时 二次函数值小于一次函数值 x2 bx c x x2 b 1 x c 0 故 正确 4 2014 德州 如图 抛物线y x2在第一象限内经过的整数点 横坐标 纵坐标都为整数的点 依次为a1 a2 a3 an 将抛物线y x2沿直线l y x向上平移 得一系列抛物线 且满足下列条件 抛物线的顶点m1 m2 m3 mn 都在直线l y x上 抛物线依次经过点a1 a2 a3 an 则顶点m2014的坐标为 4027 4027 40274027m1 a1 a1 是抛物线y1 x a1 2 a1的顶点 抛物线y x2与抛物线y1 x a1 2 a1相交于点a1 得x2 x a1 2 a1 2a1x a1 2 a1 即x a1 1 x为整数 a1 1 m1 1 1 m2 a2 a2 是抛物线y2 x a2 2 a2 x2 2a2x a2的顶点 抛物线y x2与y2相交于点a2 x2 x2 2a2x a2 2a2x a2 即x a2 1 x为整数 a2 3 m2 3 3 m3 a3 a3 是抛物线y3 x a3 2 a3 x2 2a3x a3的顶点 抛物线y x2与y3相交于点a3 x2 x2 2a3x a3 2a3x a3 即x a3 1 x为整数 a3 5 m3 5 5 由以上规律可推出m2014的横坐标为2014 2 1 4027 m2014的坐标为 4027 4027 猜押预测 抛物线y ax2 bx c的图象如图所示 则一次函数y ax b与反比例函数y x c 在同一平面直角坐标系内的图象大致为 b b由抛物线可知 a 0 b 0 c 0 一次函数y ax b的图象经过第一 三 四象限 反比例函数y 的图象在第二 四象限 命题点2二次函数的实际应用 5 2017 德州 随着新农村的建设和旧城的改造 我们的家园越来越美丽 小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池 在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管 它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高 水柱落地处离池中心3米 1 请你建立适当的平面直角坐标系 并求出水柱抛物线的函数解析式 2 求出水柱的最大高度的多少 解 1 如图所示 以水管与地面交点为原点 原点与水柱落地点所在直线为x轴 水管所在直线为y轴 建立平面直角坐标系 设抛物线的解析式为y a x 1 2 h 0 x 3 代入 0 2 和 3 0 抛物线的解析式为y x 1 2 0 x 3 即y x2 x 2 0 x 3 2 y x2 x 2 0 x 3 当x 1时 y 即水柱的最大高度为米 命题点3二次函数的综合应用 6 2016 德州 已知m n是一元二次方程x2 4x 3 0的两个实数根 且 m n 抛物线y x2 bx c的图象经过点a m 0 b 0 n 如图所示 1 求这个抛物线的解析式 2 设 1 中的抛物线与x轴的另一个交点为c 抛物线的顶点为d 试求出点c d的坐标 并判断 bcd的形状 3 点p是直线bc上的一个动点 点p不与点b和点c重合 过点p作x轴的垂线 交抛物线于点m 点q在直线bc上 距离点p为个单位长度 设点p的横坐标为t pmq的面积为s 求出s与t之间的函数关系式 解 1 解方程x2 4x 3 0 得x1 1 x2 3 m n是一元二次方程x2 4x 3 0的两个实数根 且 m n m 1 n 3 把点a 1 0 b 0 3 代入y x2 bx c中 这个抛物线的解析式为y x2 2x 3 2 令y 0 则x2 2x 3 0 解得x1 1 x2 3 点c的坐标为 3 0 y x2 2x 3 x 1 2 4 顶点d 1 4 如图1 过点d作de y轴于点e ob oc 3 be de 1 boc和 bed都是等腰直角三角形 obc dbe 45 cbd 90 bcd是直角三角形 3 由点b 0 3 点c 3 0 得直线bc的解析式为y x 3 点p的横坐标为t pm x轴 点m的横坐标为t 又 点p在直线bc上 点m在抛物线上 p t t 3 m t t2 2t 3 过点q作qf pm于点f 则 pqf为等腰直角三角形 pq qf 1 如图2 当点p在点m上方时 即0 t 3时 pm t 3 t2 2t 3 t2 3t s pm qf t2 3t 1 t2 t 如图3 当点p在点m下方时 即t3时 pm t2 2t 3 t 3 t2 3t s pm qf t2 3t 1 t2 t 综上 7 2015 德州 已知抛物线y mx2 4x 2m与x轴交于点a 0 b 0 且 2 1 求抛物线的解析式 2 抛物线的对称轴为l 与y轴的交点为c 顶点为d 点c关于l的对称点为e 是否存在x轴上的点m y轴上的点n 使四边形dnme的周长最小 若存在 请画出图形 保留作图痕迹 并求出周长的最小值 若不存在 请说明理由 3 若点p在抛物线上 点q在x轴上 当以点d e p q为顶点的四边形是平行四边形时 求点p的坐标 解 1 由题意可得 是方程 mx2 4x 2m 0的两根 由根与系数的关系可得 2 2 即 解得m 1 故抛物线的解析式为y x2 4x 2 2 存在x轴上的点m y轴上的点n 使得四边形dnme的周长最小 y x2 4x 2 x 2 2 6 抛物线的对称轴l为x 2 顶点d的坐标为 2 6 又 抛物线与y轴交点c的坐标为 0 2 点e与点c关于l对称 点e的坐标为 4 2 作点d关于y轴的对称点d 点e关于x轴的对称点e 则d 的坐标为 2 6 e 坐标为 4 2 连接d e 交x轴于点m 交y轴于点n 此时 四边形dnme的周长最小为d e de 如图1所示 延长e e d d交于一点f 在rt d e f中 d f 6 e f 8 则d e 设对称轴l与ce交于点g 在rt dge中 dg 4 eg 2 四边形dnme的周长最小值为10 2 3 如图2 p为抛物线上的点 过点p作ph x轴 垂足为h 若以点d e p q为顶点的四边形为平行四边形 则 phq dge ph dg 4 y 4 当y 4时 x2 4x 2 4 解得x1 2 x2 2 当y 4时 x2 4x 2 4 解得x3 2 x4 2 无法得出以de为对角线的平行四边形 故点p的坐标为 2 4 2 4 2 4 2 4 8 2014 德州 如图 在平面直角坐标系中 已知点a的坐标是 4 0 并且oa oc 4ob 动点p在过a b c三点的抛物线上 1 求抛物线的解析式 2 是否存在点p 使得 acp是以ac为直角边的直角三角形 若存在 求出所有符合条件的点p的坐标 若不存在 说明理由 3 过动点p作pe垂直于