高中数学 231 直线与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2.ppt

2 3直线 平面垂直的判定及其性质 2 3 1直线与平面垂直的判定 一 阅读教材p64 66回答1 如果一条直线l和一个平面 内的 我们就说直线l和平面 互相垂直 记作 直线l叫做平面 的 平面 叫做直线l的 直线与平面垂直时 它们唯一的公共点叫做 2 过一点一条直线与已知平面垂直 过一点一个平面与已知直线垂直 任意一条直线都垂直 l 垂线 垂面 垂足 有且仅有 有且仅有 3 直线与平面垂直的判定方法 1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面 那么另一条 用符号表示为 2 判定定理 如果一条直线和一个平面内的直线都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 用符号表示为 也垂直于这个平面 a b a b 两条相交 a b a c b c a b c a 4 一条直线pa与平面 相交但不垂直 那么这条直线叫做这个平面的 交点a叫做 过斜线上除斜足外的任一点p作平面 的垂线po 则ao叫做 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做 一条直线垂直于平面 它们所成的角为 一直线平行于平面或在平面内 它们所成的角为 斜线 斜足 斜线在平面 上的射影 这条直线和这个平面所成的角 直角 0 二 解答下列各题1 教室内有一直尺 无论怎样放置 在地面总有直线与直尺所在的直线 a 平行b 垂直c 相交d 异面 答案 b 2 直线a 平面 直线b 则a与b的位置关系是 3 如果一条直线垂直于一个平面内的 1 三角形的两条边 2 梯形的两条边 3 圆的两条直径 请问这条直线是否与平面垂直 说明你的理由 答案 1 3 垂直 2 不一定垂直 a b 解析 三角形的两边及圆的两条直径总相交 由线面垂直的判定定理知 这条直线垂直于这个平面 但梯形的两条边可能相交也可能不相交 故直线和平面不一定垂直 4 过一点p与已知直线l垂直的直线有几条 这些直线的分布有何特征 答案 无数条 都在过点p与l垂直的平面内 5 如图 拿一张矩形的纸对折后略微展开 竖立在桌面上 说明折痕与桌面的位置关系 答案 折痕与桌面垂直 本节学习重点 线面垂直的判定 本节学习难点 线面垂直的证明 特别是通过计算证明垂直关系 1 线面垂直的判定 用定义 证l和 内任意一条直线垂直 用定理 证l和 内 两条相交 直线都垂直 我们可把定理简化为 线线垂直 线面垂直 利用平行线 若a 证l a即可知l 2 由线面垂直定义 l a 则l a 3 a是平面 外一点 ab b为垂足 则线段ab叫做点a到平面 的垂线段 垂线段的长叫做点a到平面 的距离 点b是a在平面 内的正投影 简称射影 设p是三角形abc所在平面 外一点 o是p在 内的射影 1 若pa pb pc 则o为 abc的外心 特别地当 c 90 时 o为斜边ab的中点 2 若pa pb pc两两垂直 则o为 abc的垂心 3 若p到 abc三边距离相等 则o为 abc的内心 例1 在平面 内有直角 bcd ab 平面 求证 cd 平面abc 在正方体a1b1c1d1 abcd中 e f分别是棱ab bc的中点 o是底面abcd的中心 求证 ef 平面bb1o 分析 利用两条平行直线中的一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于这个平面 本题可先证ac 平面bb1o 再证ef ac即可 解析 如右图 连结ac bd 则o为ac bd的交点 abcd为正方形 ac bo又 bb1 平面abcd ac 平面abcd ac bb1 bo bb1 b ac 平面bb1o 又 ef是 abc的中位线 ef ac ef 平面bb1o 例2 在正方体abcd a1b1c1d1中 1 求直线a1c与平面abcd所成的角的正切 2 求直线a1b与平面bdd1b1所成的角 分析 求线面角的关键是找出直线在平面内的射影 为此须找出过直线上一点的平面的垂线 2 中过a1作平面bdd1b1的垂线 该垂线必与b1d1 bb1垂直 由正方体的特性知 直线a1c1满足要求 答案 d 解析 aa1 平面a1b1c1d1 ac1a1为直线ac1与平面a1b1c1d1所成角 aa1 1 ab bc 2 ac1 3 例3 如何检验钻床的钻头是否垂直于工作台面 解析 可把角尺的一边放在工作台面上 再看角尺的另一边与钻头是否密合 然后再把角尺换一个方向 不是原来的反方向 照样再检查一次 如果两次检查中 钻头与角尺的边都能密合 那么就可以断定钻头与工作台面是垂直的 这就是直线和平面垂直的判定定理1的应用 有一根旗杆ab高12m 它的顶端a挂着两条长13m的绳子 拉紧绳子 并把它的下端放在地面上的两点c d 和旗杆脚b不在同一条直线上 若这两点和旗杆脚b的距离都是5m 则旗杆就和地面垂直 为什么 解析 在 abc和 abd中 ab 12m bc bd 5m ac ad 13m ab2 bc2 122 52 132 ac2 ab2 bd2 122 52 132 ad2 abc abd 90 ab bc ab bd b c d三点不共线 ab 平面bcd 即旗杆和地面垂直 例4 在正方体abcd a1b1c1d1中 e是bb1的中点 o是底面正方形abcd的中心 求证 oe 平面acd1 分析 根据线面垂直的判定方法 要证明oe 平面acd1 只要在平面acd1内找两条相交直线与oe垂直 证明 证法1 连结b1d a1d bd 在 b1bd中 e o分别是b1b和db的中点 eo b1d b1a1 平面aa1d1d b1a1 ad1又 ad1 a1d b1a1 a1d a1 ad1 面a1b1cd ad1 b1d同理可证 b1d d1c 又 ad1 cd1 d1 ad1 d1c 平面acd1 b1d 平面acd1 又 b1d eo eo 平面acd1 证法2 连结ae ce d1o 设正方体db1的棱长为a 易证ae ce ao oc oe ac 在正方体中易求出 点评 要证 线面垂直 可找 线线垂直 而要证 线线垂直 也可找 线面垂直 它们之间可以相互转化这是立体几何证明垂直关系时常用的转化方法 证法2用的是计算证明方法 在立体几何的垂直关系证明中有时通过勾股定理计算证明很方便 例5 如图 在底面为直角梯形的四棱锥p abcd中 ad bc abc 90 pa 平面abcd pa 3 ad 2 ab 2 bc 6 求证 bd 平面pac 解析 pa 平面abcd bd 平面abcd bd pa bad和 abc都是rt abd 30 bac 60 aeb 90 即bd ac 又pa ac a bd 平面pac 如图 已知abcd a1b1c1d1是棱长为3的正方体 点e在aa1上 点f在cc1上 且ae fc1 1 1 求证 e b f d1四点共面 2 若点g在bc上 bg 点m在bb1上 gm bf 垂足为h 求证 em 平面bcc1b1 解析 1 如图 在dd1上取点n 使dn 1 则ae綊dn 四边形adne为平行四边形 ne綊ad 又ad綊bc ne綊bc 四边形bcne是平行四边形 be綊cn 又 cf nd1 2且cf nd1 四边形cfd1n是平行四边形 cn綊fd1 be綊fd1 e b f d1四点共面 2 如图 gm bf 所以 bgm cfb bm bg tan bgm bg tan cfb因为ae綊bm 所以abme为平行四边形 从而ab em 又ab 平面bcc1b1 所以em 平面bcc1b1 例6 过一点和已知平面垂直的直线只有一条 解析 已知 平面 与一点p 求证 过点p与 垂直的直线只有一条 证明 不论点p在 内或在 外 设pa 垂足为p 或a 如果除直线pa外 过点p还有一条直线pb 设pa与pb确定的平面为 且 a 于是在平面 内过点p有两条直线pa pb垂直于直线a 这是不可能的 过点p与 垂直的直线只有一条 1 已知 直线l 平面 垂足a 直线ap l 求证ap在平面 内 2 已知直线a不在平面 内 且与平面 的一条垂线b垂直 求证 a 解析 1 设ap与l确定的平面为 如果ap不在 内 则可设 与 相交于直线am l am l am 又已知ap l 于是在平面 内 过点a有两条直线垂直于l 这是不可能的 所以ap一定在 内 2 设b b 在b上任取异于b的一点a 过a作直线c a a b c b 两相交直线b与c确定一个平面 与 有公共点b 故必有经过点b的一条交线d b d b d c d都在 内且与 内直线b垂直 c d 又a c a d 又a d a 例7 如图a b 点p在a b所确定的平面外 pa a于a ab b于b 求证 pb b 解析 pa a a b pa b又ab b 且pa ab a b 平面pab又pb 平面pab pb b 一 选择题1 如图 pa 平面abc abc中 bc ac 则图中直角三角形的个数是 a 4b 3c 2d 1 答案 a 解析 pa 平面abc pab pac 90 pa bc又bc ac bc 平面pac bcp bca 90 故选a 2 若一条直线l上有两个点到平面 的距离相等 则l与 的关系是 a 平行b 相交c 垂直d 不确定 答案 d 解析 当l 时 直线l上所有点到 的距离都相等 当l与 相交 包括垂直 时 对于l上任一点p 在平面另一侧的直线上总存在一点p 有p p 到平面的距离相等 不确定 3 设m l是两条不同的直线 是一个平面 则下列命题正确的是 a 若l m m 则l b 若l l m 则m c 若l m 则l md 若l m 则l m 答案 b 解析 两平行线中一条垂直于一个平面