高中数学 第四章 定积分 4.1.1 定积分背景——面积和路程问题课件3 北师大版选修22.ppt

一道残阳铺水中 半江瑟瑟半江红 举世瞩目的长江三峡大坝 截面图形如图所示 其最上面的段是一段抛物线 中间是一条直线段 下面是段圆弧 建造这样的大坝自然要根据它的图像尽可能准确的计算它的面积 我们想一想 能否求出该截面面积 举世瞩目的长江三峡大坝 截面图形如图所示 其最上面的段是一段抛物线 中间是一条直线段 下面是段圆弧 建造这样的大坝自然要根据它的图像尽可能准确的计算它的面积 我们想一想 能否求出该截面面积 定积分的概念 1 1 定积分的背景 面积和路程问题 曹冲称象的故事 为零化整 为整积零 1 大象的重量等价成一堆小石子的重量 2 将小石子的重量称出来 得到的小石子重量和就是大象的重量 化归与转化的思想 分成4份 分成4份 分成8份 分成8份 分成16份 分成16份 分成32份 分的份数越多 拼成的图形越接近长方形 r 无限分割 以直代曲 为零化整 为整积零 我们有没有一步到位的算出圆面积的精确解呢 分割 当分割份数较少 当分割份数较少时 这时 我们如何减少误差 提高精确度的呢 为零化整 为整积零 无限分割 以直代曲 o x y y f x 一 求曲边梯形的面积 x a x b 1 将曲边梯形切割成n份 2 将这n个部分的面积加起来 为零化整 为整积零 一 求曲边梯形的面积 问题1 求直线x 0 x 1 y 0和曲线y x2所围成的曲边三角形的面积s 分组讨论 1 如何分割曲边梯形更方便面积和的计算 2 分割以后 又用什么图形的面积作为近似解更方便计算 1 化整为零 将原图形分割成许多小曲边梯形 2 以直代曲 对任意一个小曲边梯形 将不易计算的 曲边 问题转化为容易计算的 直边 问题 将曲边梯形面积问题转化为长方形的面积问题来解决 2 用什么图形的面积作为原面积的近似解更方便计算 那怎样作出长方形呢 用大于曲边梯形的面积来近似代替 过剩估计 方案1 3 求和 用小于曲边梯形的面积来近似代替 不足估计 3 求和 练一练 如果将区间 0 1 五等分 你能不能求出该曲边三角形面积的过剩估计s1和不足估计s2呢 继续分割 当曲边梯形分割的越细 我们就会得到更加精确的估计值 过剩估计和不足估计都会越接近曲边梯形的面积 1 分割 2 近似代替 3 求和 4 取极限值 定积分 分割 累积 定值 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 刘徽 魏晋时期的数学家刘徽的割圆术 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 刘徽 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 刘徽 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 刘徽 古希腊数学家阿基米德 分割 将球面任意分割成一些 小球面片 它们的面积分别用表示 则球的表面积 分割 将球面任意分割成一些 小球面片 它们的面积分别用表示 则球的表面积 o si 化整为零无限分 分割 不变代变得微分 近似 积零为整微分和 求和 和式极限是积分 极限 课堂小结 假