高考数学总复习 第三章 第7讲 抽象函数配套课件 文.ppt

第7讲抽象函数 函数 数 数 1 已知f x y f x y 2f x f y 且f x 0 则f x 是 a 奇函数c 非奇非偶函数 b 偶函数d 不确定 解析 令x y 0 则2f 0 2 f 0 2 因f x 0 所以f 0 1 令x 0 则f y f y 2f y f y f y 故选b b 2 函数f x 满足f x f x 2 13 若f 1 2 则f 99 3 若f x 是定义在r上的奇函数 它的最小正周期为t a c 4 已知定义在r上的函数f x 是偶函数 对x r都有 f 2 x f 2 x 当f 3 2时 f 2013 的值为 2 5 已知函数f x 的定义域为r 并且对任意正数x y都有f xy f x f y 则 1 f 1 0 考点1正比例函数型抽象函数 例1 设函数f x 对任意x y r 都有f x y f x f y 且当x 0时 f x 0 f 1 2 1 求证 f x 是奇函数 2 试问在 3 x 3时 f x 是否有最值 如果有 求出最 值 如果没有 说出理由 1 证明 令x y 0 则有f 0 2f 0 f 0 0 令y x 则有f 0 f x f x 即f x f x f x 是奇函数 因此f 3 为函数的最小值 f 3 为函数的最大值 f 3 f 1 f 2 3f 1 6 f 3 f 3 6 函数的最大值为6 最小值为 6 2 解 任取x10 f x2 x1 0 f x1 f x2 y f x 在r上为减函数 方法与技巧 1 正比例函数型抽象函数的一般步骤为f 0 0 f x 是奇函数 f x y f x f y 单调性 2 小技巧判断单调性 设x10 f x2 x1 0 f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 f x1 得到函数单调递减 互动探究 1 已知定义在r上的函数f x 满足f x y f x f y 则 d 下列错误的是 a f 0 0 d f x f x 0 考点2对数函数型抽象函数 1 求证 f x 是偶函数 2 求证 f x 在 0 上是增函数 3 解不等式f 2x2 1 2 例2 已知函数f x 的定义域为 x x r 且x 0 对定义域内的任意x1 x2 都有f x1 x2 f x1 f x2 且当x 1时f x 0 f 2 1 1 证明 对定义域内的任意x1 x2都有f x1 x2 f x1 f x2 令x1 x x2 1 则有f x f x f 1 又令x1 x2 1 得2f 1 f 1 再令x1 x2 1 得f 1 0 从而f 1 0 于是有f x f x 所以f x 是偶函数 2 证明 设0 x1 x2 方法与技巧 证明抽象函数的单调性通常是用单调性的定义结合比较法 作差法 作商法 函数的单调性是比较大小的常用方法 运用不等式性质时应从结论出发 寻找解题的切入点 互动探究 当f x lgx时 上述结论中正确结论的序号是 2 对于函数f x 定义域中任意x1 x2 x1 x2 有如下结论 f x1 x2 f x1 f x2 f x1 x2 f x1 f x2 考点3指数函数型抽象函数 例3 定义在r上的函数y f x f 0 0 当x 0时 f x 1 且对任意的a b r 有f a b f a f b 1 求证 f 0 1 2 求证 对任意的x r 恒有f x 0 3 求证 f x 是r上的增函数 4 若f x f 2x x2 1 求x的取值范围 1 证明 令a b 0 则f 0 f2 0 又f 0 0 f 0 1 2 证明 当x 0时 x 0 f 0 f x f x 1 又x 0时 f x 1 0 x r时 恒有f x 0 3 证明 设x1 x2 则x2 x1 0 f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 x2 x1 0 f x2 x1 1 f x2 f x1 f x 是r上的增函数 4 解 由f x f 2x x2 1 f 0 1得f 3x x2 f 0 又f x 是r上的增函数 3x x2 0 0 x 3 x的取值范围是 x 0 x 3 方法与技巧 1 指数函数型抽象函数的一般步骤为 2 小技巧判断单调性 设x1 x2 x1 x2 0 则f x1 x2 1 f x1 f x2 x1 x2 f x2 f x1 x2 f x2 得到函数是增函数 互动探究 当f x 2x时 上述结论中正确结论的序号是 3 对于函数f x 定义域中任意的x1 x2 x1 x2 有如下结论 f x1 x2 f x1 f x2 f x1 x2 f x1 f x2 思想与方法 转化与化归思想解信息给予题 例题 对定义在 0 1 上 并且同时满足以下两个条件的函 数f x 称为g函数 成立 1 试问函数g x 是否为g函数 请说明理由 2 若函数h x 是g函数 求实数b组成的集合 已知函数g x x2与h x 2x b是定义在 0 1 上的函数 对任意的x 0 1 总有f x 0 解 1 当x 0 1 时 总有g x x2