数学知识在若干金融问题中的应用.docx

Vol.32 No.2 Journal of Kaifeng Institute of Education Jun.20 2012 doi:10.3969/j.issn.1008-9640.2012.02.039数学知识在若干金融问题中的应用孙蓓（开封市教育局基础教育教研室 ，河 南 开 封 475000）摘 要：金融数学是运用数学理论和方法，研究金融运行规律的一门新兴边缘学科 。 本文对金融数学的基本概念、产生发展的历史做了简要阐述。 重点论述支撑金融数学的主要理论框架 ，以及数学知识在金融问 题中的应用，在此基础上分析目前存在的问题，并对金融数学的未来进行展望。关键词：金融数学；证券投资组合；资产定价；期权定价中图分类号：O22文献标识码：A文章编号：1008-9640（2012）02-0113-03引言从事金融数学一定要受过金融方面正规的学术性训练。 尽管金融学由于自身的独特性而从经济学中独 立出来， 但它毕竟是作为经济学的应用分支学科发 展起来的， 因此金融数学也以经济原理和技术为基 础和背景。 金融数学的理论基础当然还包括现代数 学理论和统计学理论， 其重要内容是数学或统计建 模， 也就是从复杂的金融环境中筛选出关键因素以 分辨出相关因素与无关因素， 然后从一系列的假设 条件出发，推导出各种关系，最后得出结论并给予解 释。 可见，金融数学是金融学、数学、统计学、经济学 等的交叉学科，属于应用科学。2 金融数学的理论框架金融数学作为一门边缘学科， 其最显著的特征 就是有效地运用数学方法发现和论证金融经济运行 的一些规律。 具体来讲， 金融数学主要运用随机分 析 、随 机 控 制 、数 学 规 划 、微 分 对 策 、非 线 性 分 析 、数 理统计、泛函分析、鞅理论、倒向随机微分方程 、分形 几何等现代数学工具 研究以下几个主要方面的问 题：（1）如何组合投资证券能获得最大收益或者减少 投资风险；（2）不完备金融市场有价证券（如期货、期权等衍生工具） 的资本资产定价模型及最优投资和消费理论；（3）利率的期限结构和利率衍生产品的定 价理论等；（4）不完备金融市场的风险管理和风险控 制理论。也有人在证券价格分析中引进了新型的非线性 分析工具，如分形几何、混沌学、小波分析、模式识别 等。 在证券选择和股票种类的预测中有人应用神经金融数学是一门新兴的边缘学科， 是数学与金融学的交叉。在 20 世纪后期金融学越来越多地表现 出与数学的交融： 一方面运用适当的数学方法分析 和解决金融问题；另一方面，金融中不断涌现的现实 问题也向数学和统计学提出了理论上有价值的研究 方向。 这样一种现实使得金融与数学逐渐形成一个 新的交叉领域， 并逐渐发展成为一门新学科金 融数学。 大量应用现代数学工具是现代金融数学理 论的最大特点。随着金融市场的发展，金融学越来越 与数学紧密相连， 而且现代金融学的发展也推动了 数学的某些分支的发展，同时，数学理论和方法为金 融学的发展提供了有力的工具。1 金融数学简介广义来说，金融数学是指应用数学理论和方法 ， 研究金融经济运行规律的一门新兴学科 。狭义来讲， 金融数学的主要研究内容是关于在不确定条件下的 证券组合选择和资产定价理论，而套利、最优和均衡 则是这一理论中最重要的三个概念。金融数学从某种金融或者经济假设出发 ， 用抽 象的数学方法，建立金融机理的数学模型。金融数学 的主要构成是数学概念和方法 （或者其他自然科学 方 法 ）在 金 融 学 、特 别是在金融理论中的各种应用 ， 其目的是用数学的语言来表达、 推理和论证金融学 原理。金融数学是金融学的一个分支， 因此金融数学 首先要以金融理论为背景和基础， 这倒并不意味着收 稿 日 期 ：2012-04-01作 者 简 介 ：孙 蓓 （1979 ），河 南 开 封 人 ，开封教育局基础教育教研室副主任 ，中 学 一 级 教 师 。 研 究 方 向 ：数 学 教 育 。113网络方法、人工智能方法，在期货市场创新的仿真研究中有人运用模拟退火法和遗传算法等 。综上所述， 金融数学领域的几个重要理论框架 是 ：现代证券组合理论 ，资本资产定价模型 ，套 利 定 价 理 论 ，套 期 保 值 理 论 ，期 权 定 价 理 论 ，利 率 期 限 结 构理论等。np1iQ1ii=1100% （以报告期发行量为 Q 权数）E=0inp Q0i 0ii=1或np1iQ1ii=1常用数学知识在金融问题中的应用3E=100% （以报告期发行量为 Q 权数）1in31数学方法在金融投资风险与收益中的应用风 险 被 认 为 是 由 于 利 率 、汇 率 、商 品 价 格 、股 票 价格的波动而导致的收益偏离期望值或平均值的可 能性。因此，风险度量成为金融工程的一个主要组成 部分，常用的度量金融风险的数学方法可以分为 ：确 定性数学方法和不确定性数学方法。p Q0i 1ii=1通过计算这些金融投资中一些常见金融投资风险分析指标，可以评估和控制金融交易活动，并为进 一步选择合适的金融投资组合做准备 。312不确定性数学方法从金融投资风险的定义可知， 各种不确定因素 的影响是产生风险的原因。所以，只用确定性数学方 法是不足以准确地 描述这些因素及其相互关系的 。 在这样的情况下，不确定性数学方法如概率论、数理 统计、 随机过程等就必然地要在防范金融投资风险 的研究工作中发挥作用。不确定性数学在控制金融投资风险方面最基本 的应用就是把金融投资过程的可能损失或收益率抽 象为随机变量， 然后用数学期望和方差或标准差来 度量可能损失或收益率的平均值和波动性 。 假如金 融投资涉及两种或更多的金融商品， 则必须引入随 机向量及其协方差和相关系数来进行度量 。 相关的 数学方法为：记随机变量为 X，并设 X 有 N 个 历 史 数 据 。 利 用这些数据并以频率近似代替概率 ，可 求 得 X 的 概 率分布：p（x1），p（x2），p（xn）np（x1）1（其中 nN）i=1记数学期望为 E（X）n311确定性数学方法这种方法通过对金融投资风险的各种构成因索和评估指标的研究分析， 把这些因素和指标抽象成 为确定性的数学变量， 并进一步把它们之间的相互 关系抽象成为数学计算公式、 数学函数式或数学模 型，然后通过数学演算得出数值结果。根据这些计算 结果，人们可以度量和评估金融投资风险，调整和控 制金融交易活动，以达到防范金融投资风险的目的。 债 券 收 益 率 、 债 券 价 格 、 股票价格和股票指数 是投资风险分析的常用指标 ， 常用的数学计算方 法 如 下 ：（1）假设新发债券到期 收 益 率 为 S，票 面 年 利 率 为 r，面 额 为 M，发 行 价 格 为 N，返 还 期 限 为 T，则 新发债券到期收益率为：r+ M-N TS=100%N（2） 设 债 券 面 值 为 C，R 为 投 资 收 益 率 ，N 为 债券期限，I 为息票利率，F 为每次所付利息则债券的价格 M 为：（F=IC），E（X）=x p（x ）nCF+11M=i=1（1+R）N（1+R）Kk=1记标准差为 （X）（X）= 姨E X-E X （3）设 股 票 价 格 为 M，预期股利收入为 Q，市 场利 息 率 为 r，股 票 票 面 价 值 为 p，股 利 率 为 c，则 股 票 价格 M 为：2记随机向量为（X，Y），并设有 N 组历史数据（x1，y1），i=1，2，N记协方差为 cov（X，Y）cov（X，Y）=E 姨X-E X 姨Y-E Y 姨记相关系数为 xyM= Q = pc rr（4） 设 p0i 为基期股价 ，Q0i 为基期发行 量 ，p1i 为 报告期股价 ，Q1i 为报告期发行量 ，i=1，2， ，n 表示 共有 n 期历史数据。 则加权股票指数 E 为：xy= cov（X，Y） （X）（Y）在金融投资组合中风险的度量就是预期收益的 方差，在 n 种证券组成的投资组合中，记投资组合的114预 期 收 益 为 R，投 资 风 险 为 2，法可得：nR=wiRi i=1则由上述不确定方 的预期倾向于投机的影响。另外，金融市场数学模型建立在新古典经济学理论框架之中， 是以市场均衡 模式和线性数理方法为基础的； 但金融市场实际上 均衡是短暂的，不均衡是绝对的。 再者，通过数学模 型或定量分析方法 所得到的结论是半经验半理性 ， 等等。这些问题的存在，使数学模型理论计算与实际 价格产生偏差，虽对历史数据拟合较好，但对未来预 测并没有很高的成功率。可以预见， 数学在金融领域的应用应在现有理 论框架基础上，丰富理论研究的方法和结果，使数学 模型能够更好地解释现实。除此之外，还应当从金融 市 场 整 体 出 发 ，从 基 本 面 、技 术 面 、信息面等各方面 考虑，进行定性和定量相结合的分析，才有可能使建 立起来的数学模型尽可能 反映金融市场系统的本 质，起到优化作用。随着金融领域的不断发展， 数学在金融中的应 用也越来越广泛。同时，数学知识的研究已经成为金 融学研究中的主要领域。 数学正在不断推动着金融 实践的发展。因此，数学在金融市场中具有广泛的应 用前景。nnn2=w2 2 +wiw i ijij i ji=1i=1 j=1其 中 ： wi 为 第 i 种证券在投资组合中 的 权 重 ，Ri 为 第 i 种证券的预期收益 ；i 与 j 是 第 i 种 证 券 和第 j 种证券的标准差；ij 为 第 i 种 证 券 和 第 j 种证券的相关系数 ， 范 围-1,1。从上面的分析计算可以看出， 增加证券投资组合数目以及选择负相关的证券组合可以降低投资风 险。32数学方法在金融预测和决策中的应用在金融活动中，有许多不确定的因素存在，如何 对未来的金融变量如储蓄存款余额、保贴率、通胀率 等进行预测，将关系到决策者能否做出正确的决断 。 金融预测中常用的数学方法有最小二乘法 、 一次和 二次移动平均法、一次和二次及三次指数平滑法、修 正 指 数 曲 线 法 、生 长 曲 线 预 测 法 、一元线性回归法 、 三 点 法 、马尔可夫预测法 、卡 尔 曼 滤 波 法 、两 步 预 测 法等。金融决策中常用的数学方法有极值选优 决 策 法、线性规划决策法、期望值法、边际分析法、无差异 曲线法、最大产量组合法、最小成本组合法等。4总结在金融数学迅速发展的同时，也存在一些问题， 如金融市场数学模 型是以理性预期的假设为前提 ， 认为市场参与者（机构或个人）能够理智地利用和处 理一切可利用的信息，除随机因素外，人们有完全的 预见。 但实际上，金融市场的预期是非理性的，短期参考文献1 李 向 科 ， 戚 发 全 金 融 数 学 M北 京 ： 中 国 人 民 大 学 出 版 社 ，20042 宋 威 金 融 数 学 模 型 M广 州 ： 华 南 理 工 大 学 出 版 社 ，19993张 永 林 数 理 金 融 分 析 ：基础原理与方法 M 北 京 ： 经 济 科 学 出 版 社 ，20074吴 硕 思数 学方法在金融投资风险分析中的应用 J华 侨 大 学 学 报 （哲学社会科学版 ），1998，（1）：26-335 胡 永 珍 金 融 数 学 J 内蒙古师大学报 （ 自 然 科 学 汉 文 版 ），2000，（1）：20-25（责任编辑：王玉玲）Application of Mathematics in FinanceSUN Bei（Staff Room， Basic Education， Kaifeng Bureau of Education， Kaifeng 475000， Henan， China）Abstract： Financial Mathematics is a new interdisciplinary that uses mathematical theory and methodsto research the operating law of finance This article describes the origin and basic concept of Financial Mathematics， including its development briefly It focuses on main theoretical framework that prop up Financial Mathematics and how to utilize mathematical knowledge to sol