高考数学 5.2等差数列及其前n项和配套课件 文 新人教A版 .ppt

第二节等差数列及其前n项和 三年19考高考指数 1 理解等差数列的概念 2 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 3 了解等差数列与一次函数的关系 4 能运用数列的等差关系解决实际问题 1 等差数列的通项公式与前n项和公式是考查重点 2 运用归纳法 累加法 倒序相加法 方程思想 函数的性质解决等差数列问题是重点 也是难点 3 题型以选择题和填空题为主 与其他知识点结合则以解答题为主 1 等差数列的定义 1 条件 一个数列从第二项起 等于同一个常数 2 公差 叫做公差 常用字母d表示 3 定义表达式 每一项与它前一项的差 常数 即时应用 判断下列数列是否为等差数列 请在括号中填写 是 或 否 1 数列0 0 0 0 0 2 数列1 1 2 2 3 3 3 数列 4 数列a 2a 3a 4a 解析 1 4 中从第二项开始 每项与前一项的差为同一常数 而 2 3 并不是同一常数 故 1 4 为等差数列 2 3 不是 答案 1 是 2 否 3 否 4 是 2 等差数列的通项公式若等差数列 an 的首项是a1 公差是d 则其通项公式为an a1 n 1 d 即时应用 1 在等差数列 an 中 a5 10 a12 31 则数列的通项公式为 2 等差数列10 7 4 的第20项为 解析 1 a5 a1 4d a12 a1 11d 解得 an a1 n 1 d 2 n 1 3 3n 5 2 由a1 10 d 7 10 3 n 20 得a20 10 20 1 3 47 答案 1 an 3n 5 2 47 3 等差中项若a a b成等差数列 则a叫做a b的等差中项 且a 即时应用 1 是a a b成等差数列的 条件 2 若等差数列 an 的前三项依次为a 2a 1 4a 2 则它的第五项为 解析 1 若可知2a a b 可推出a a b a 所以a a b成等差数列 反之 若a a b成等差数列 则故是a a b成等差数列的充要条件 2 由题意知2a 1是a与4a 2的等差中项 即解得a 0 故数列 an 的前三项依次为0 1 2 则a5 0 4 1 4 答案 1 充要 2 4 4 等差数列的前n项和公式 1 若已知等差数列 an 首项a1和末项an 则其前n项和公式sn 2 若已知首项是a1 公差是d 则其前n项和公式sn 即时应用 1 在等差数列 an 中 a1 5 an 95 n 10 则sn 2 在等差数列 an 中 a1 100 d 2 n 50 则sn 3 在等差数列 an 中 d 2 n 15 an 10 则sn 解析 1 2 50 100 49 2550 3 由an a1 n 1 d得 10 a1 15 1 2 解得a1 38 答案 1 500 2 2550 3 360 等差数列的基本运算 方法点睛 1 等差数列运算问题的一般求法等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d 然后由通项公式或前n项和公式转化为方程 组 求解 2 等差数列前n项和公式的应用方法等差数列前n项和公式有两个 如果已知项数n 首项a1和第n项an 则利用如果已知项数n 首项a1和公差d 则利用 例1 1 2011 广东高考 等差数列 an 前9项的和等于前4项的和 若a1 1 ak a4 0 则k 2 2011 湖北高考 九章算术 竹九节 问题 现有一根9节的竹子 自上而下各节的容积成等差数列 上面4节的容积共为3升 下面3节的容积共4升 则第5节的容积为 升 3 2011 福建高考 已知等差数列 an 中 a1 1 a3 3 求数列 an 的通项公式 若数列 an 的前k项和sk 35 求k的值 解题指南 1 根据s9 s4求公差d 利用ak a4 0求k 2 转化为关于a1 d的方程组 先求a1 d 再求a5 或直接转化为关于a5 d的方程组求解 3 求出公差d后直接写出an 求出sn 根据sk 35求k的值 规范解答 1 s4 s9 解得 则ak 1 k 1 k a4 1 3 由ak a4 0 得 k 10 答案 10 2 方法一 设自上第一节竹子容量为a1 依次类推 数列 an 为等差数列 又a1 a2 a3 a4 4a1 6d 3 a7 a8 a9 3a1 21d 4 解得 方法二 设自上第一节竹子容量为a1 则第九节容量为a9 且数列 an 为等差数列 a1 a2 a3 a4 3 a7 a8 a9 4 即4a5 10d 3 3a5 9d 4 联立 解得a5 答案 3 设等差数列 an 的公差为d 由a1 1 a3 3可得1 2d 3 解得d 2 从而an 1 n 1 2 3 2n 由 知an 3 2n 由sk 35得2k k2 35 即k2 2k 35 0 解得k 7或k 5 又k n 故k 7 互动探究 本例第 3 题中 若将 a1 1 a3 3 改为 a1 31 s10 s22 试求 sn 这个数列的前多少项的和最大 并求出这个最大值 解析 s10 a1 a2 a10 s22 a1 a2 a22 又s10 s22 a11 a12 a22 0 即a11 a22 2a1 31d 0 又a1 31 d 2 方法一 由 知sn 32n n2 当n 16时 sn有最大值 sn的最大值是256 方法二 由sn 32n n2 n 32 n 欲使sn有最大值 应有1 n 32 从而当且仅当n 32 n 即n 16时 sn有最大值256 反思 感悟 1 等差数列的通项公式及前n项和公式 共涉及五个量a1 an d n sn 知其中三个就能求另外两个 体现了用方程解决问题的思想 2 数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用 而a1和d是等差数列的两个基本量 用它们表示已知和未知是常用方法 变式备选 在等差数列 an 中 1 已知a15 33 a45 153 求a66 2 已知s8 48 s12 168 求a1和d 3 已知a6 10 s5 5 求a8和s8 解析 1 方法一 设首项为a1 公差为d 依题意条件得 解方程组得 a66 23 66 1 4 237 方法二 由得由an am n m d 得a66 a45 66 45 4 237 2 解方程组得 3 a6 10 s5 5 解方程组得 a8 a1 7d 5 7 3 16 s8 8a1 28d 8 5 28 3 44 等差数列的判定 方法点睛 等差数列的判定方法 1 定义法 对于n 2的任意自然数 验证an an 1为同一常数 2 等差中项法 验证2an 1 an an 2 n 3 n n 成立 3 通项公式法 验证an pn q 4 前n项和公式法 验证sn an2 bn 提醒 等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法 而对于通项公式和前n项和的公式的方法主要适合在选择题中简单判断 例2 已知数列 an 中 n 2 n n 数列 bn 满足 n n 1 求证 数列 bn 是等差数列 2 求数列 an 中的最大项和最小项 并说明理由 解题指南 利用定义法证明数列 bn 是等差数列 先求bn 再求an 最后利用函数的单调性求最大项和最小项 规范解答 1 n 2 n n 又 数列 bn 是以为首项 以1为公差的等差数列 2 由 1 知则设 则f x 在区间 和 上为减函数 当n 3时 an取得最小值 1 当n 4时 an取得最大值3 反思 感悟 本例中在用定义法证明 bn 是等差数列时 不管用bn 1 bn还是用bn bn 1需要考虑运算中是否包含了b2 b1这一运算 这是容易被忽视的问题 变式训练 1 已知数列 an 中 a1 1 an 1 an an 1 an 则数列 an 的通项公式为 解析 an 1 an an 1 an 数列是公差为 1的等差数列 且 答案 an 2 已知数列 an 的前n项和为sn 且满足an 2sn sn 1 0 n 2 a1 求证 是等差数列 证明 an sn sn 1 且an 2sn sn 1 0 n 2 sn sn 1 2sn sn 1 0 n 2 又sn 0 又 数列是以2为首项 2为公差的等差数列 等差数列的性质及应用 方法点睛 等差数列的常见性质 1 若m n p q 2k m n p q k n 则am an ap aq 2ak 2 若 an bn 都是等差数列 k m r 数列 kan mbn 仍为等差数列 3 sm s2m sm s3m s2m仍为等差数列 m n 4 am an m n d d m n m n n 5 项数为偶数2n的等差数列 an s2n n a1 a2n n an an 1 s偶 s奇 nd 6 项数为奇数 2n 1 的等差数列 an s2n 1 2n 1 an 1 例3 1 2012 杭州模拟 已知 an 为等差数列 sn是 an 的前n项和 若a3 a4 a8 9 则s9 a 24 b 27 c 15 d 54 2 2011 辽宁高考 sn为等差数列 an 的前n项和 s2 s6 a4 1 则a5 3 设等差数列 an 的前n项和为sn 已知前6项和为36 最后6项的和为180 sn 324 n 6 求数列 an 的项数及a9 a10 解题指南 1 设出a1 d 利用条件求出a5 再求出s9 2 根据s2 s6 先求a4 a5的值 再求a5 3 根据前6项与最后6项的和求出a1 an 再求n及a9 a10 规范解答 1 选b 设首项为a1 公差为d 则a3 a4 a8 3a1 12d 9 a1 4d 3 即a5 3 2 s2 s6 s6 s2 a3 a4 a5 a6 0 2 a4 a5 0 即a4 a5 0 a5 a4 1 答案 1 3 由题意知a1 a2 a6 36 an an 1 an 2 an 5 180 得 a1 an a2 an 1 a6 an 5 6 a1 an 216 a1 an 36 又 18n 324 n 18 a1 a18 36 a9 a10 a1 a18 36 互动探究 若本例中第 2 题条件不变 求此等差数列的前多少项的和最大 并求出最大值 解析 在本例中第 2 题已求解出a5 1 又a4 1 得公差d 2 此等差数列的前4项和 即s4最大 且s4 1 3 5 7 16 反思 感悟 1 在等差数列 an 中 若m n p q 2k 则am an ap aq 2ak是常用的性质 在应用此性质时 一定要观察好每一项的下标规律 不要犯a2 a5 a7的错误 2 本例第 3 题也可先求a1 d 再求a9 a10 但不如用性质简单 满分指导 等差数列主观题的规范解答 典例 14分 2012 广州模拟 已知等差数列 an 满足 a3 7 a5 a7 26 an 的前n项和为sn 1 求an及sn 2 令 n n 求数列 bn 的前n项和tn 解题指南 1 分析题意 可列方程组求解 2 将an代入bn后 表示出bn是解题关键 规范解答 1 设等差数列 an 的公差为d 因为a3 7 a5 a7 26 所以有 解得a1 3 d 2 4分所以an 3 2 n 1 2n 1 6分 2 由 1 知an 2n 1 所以 10分所以13分即数列 bn 的前n项和14分 阅卷人点拨 通过阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2012 杭州模拟 公差不为零的等差数列 an 中 a1 a2 a5 13 且a1 a2 a5成等比数列 则数列 an 的公差等于 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 选b 设公差为d 则a1 a2 a5 3a1 5d 13 a1 d 2 a1 a1 4d 解得d 2 2 2011 大纲版全国卷 设sn为等差数列 an 的前n项和 若a1 1 公差d 2 sk 2 sk 24 则k a 8 b 7 c 6 d 5 解析 选d sk 2 sk ak 2 ak 1 2 2k 1 2 24 k 5 3 2011 陕西高考 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树 每人植一棵 相邻两棵树相距10米 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边 现将树坑从1到20依次编号 为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小 树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为 解析 选d 和 10 1 2 19 2 3800 10 1 2 8 2 1 2 11 2 2040 10 1 2 9 2 10 1 2 10 2 2000 10 1 2 9 2 10 1 2 10 2 2000 比较各个路程和可知d符合题意 一题多解 根据图形的对称性 树苗放在两端的树坑旁边 所得路程总和相同 取得一个最值 所以从两端的树坑向中间移动时 所得路程总和的变化相同 最后移到第10个和第11个树坑旁时 所得的路程总和达到另一个最值 所以计算两个路程和进行比较即可 树苗放在第一个树坑旁 则有路程总和是10