高考数学第一轮总复习 3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数课件 文 新人教A版.ppt

第三章三角函数 解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数 知识梳理 1 角的有关概念 正角 负角 零角 象限角 k 360 k 2 2 象限角与轴线角 1 象限角 2 轴线角 3 弧度的概念与相关公式在半径为r的圆中 半径长 r 4 任意角的三角函数 正弦 余弦 正切 正 正 正 正 负 负 负 负 正 负 正 负 mp om at 考点自测 1 思考 给出下列命题 三角形的内角必是第一 二象限角 第一象限角必是锐角 不相等的角终边一定不相同 若 k 720 k z 则 和 终边相同 点p tan cos 在第三象限 则角 的终边在第二象限 其中正确的是 a b c d 解析 选d 错误 90 的角可以是三角形的内角 但它不是第一 二象限角 错误 390 的角是第一象限角 但它不是锐角 错误 390 的角和30 的角不相等 但终边相同 正确 由终边相同的角的概念可知正确 正确 由已知得tan 0 cos 0 所以 为第二象限角 2 角 870 的终边所在的象限是 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 解析 选c 因为 870 2 360 150 又 150 是第三象限角 所以 870 的终边在第三象限 3 已知角 的余弦线是单位长度的有向线段 那么角 的终边在 a x轴上b y轴上c 直线y x上d 直线y x上 解析 选a 由角 的余弦线长度为1分析可知 角 的终边在x轴上 4 2014 邵阳模拟 已知点p sin cos tan 在第一象限 则在 0 2 内 的取值范围是 解析 选d 由已知得解得即或 5 弧长为3 圆心角为135 的扇形半径为 面积为 解析 弧长l 3 圆心角 由弧长公式l r得面积s lr 6 答案 46 6 角 终边上有一点p x 5 且cos x 0 则sin 解析 因为所以因为x 0 所以r 13 所以答案 考点1象限角及终边相同的角 典例1 1 已知角 的终边落在阴影所表示的范围内 包括边界 则角 的集合为 2 如果 是第三象限的角 试确定 2 的终边所在位置 解题视点 1 先写出在0 360 范围内满足条件的角 再由终边相同角的关系写出集合 2 由 的范围写出 与2 的范围 再由终边相同角的关系判断 规范解答 1 在0 360 范围内 终边落在阴影内的角为90 135 或270 315 所以终边落在阴影所表示的范围内的角 的集合为 90 k 360 135 k 360 k z 270 k 360 315 k 360 k z 90 2k 180 135 2k 180 k z 90 2k 1 180 135 2k 1 180 k z 90 n 180 135 n 180 n z 答案 90 n 180 135 n 180 n z 2 由 是第三象限的角得 2k 2k k z 所以 2k 2k k z 即 2k 2k k z 所以角 的终边在第二象限 由 2k 2k k z 得2 4k 2 3 4k k z 所以角2 的终边在第一 二象限及y轴的非负半轴 互动探究 在本例 2 的条件下 判断的终边所在的位置 解析 因为 2k 2k k z 所以 k z 当k 3n n z 时 n z 当k 3n 1 n z 时 2n 2n n z 当k 3n 2 n z 时 所以的终边在第一 三 四象限 易错警示 判断终边所在位置时注意分类讨论本例第 2 题 互动探究 由 k z 判断终边所在位置时 要注意分类讨论的原则和标准 否则易出现漏解或重解的情况 规律方法 1 表示区间角的三个步骤 1 先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界 2 按由小到大分别标出起始和终止边界对应的 360 360 范围内的角 和 写出最简区间 3 起始 终止边界对应角 再加上360 的整数倍 即得区间角集合 2 确定k k n 的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角 的范围 再写出k 或的范围 然后根据k的可能取值讨论确定k 或的终边所在位置 等分象限角的规律已知 是第m m 1 2 3 4 象限角 求是第几象限角 1 等分 将每个象限分成n等份 2 标注 从x轴正方向上第一个区域起 按逆时针方向顺次标上1 2 3 4 1 2 3 4 依次循环 直至填充所有区域 3 选区间 出现数字m的区域即为的范围 变式训练 设集合m x x 180 45 k z n x x 180 45 k z 那么 a m nb m nc n md m n 解析 选b 方法一 由于m x x 180 45 k z 45 45 135 225 n x x 180 45 k z 45 0 45 90 135 180 225 显然有m n 故选b 方法二 由于m中 x 180 45 k 90 45 45 2k 1 2k 1是奇数 而n中 x 180 45 k 45 45 k 1 45 k 1是整数 因此必有m n 故选b 加固训练 1 给出下列命题 是第二象限角 是第三象限角 400 是第四象限角 315 是第一象限角 其中正确的命题有 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 选c 是第三象限角 故 错误 从而是第三象限角 故 正确 400 360 40 从而 正确 315 360 45 从而 正确 2 若 k 180 45 k z 则 在 a 第一或第三象限b 第一或第二象限c 第二或第四象限d 第三或第四象限 解析 选a 当k 2n n z 时 2n 180 45 n z 在第一象限 当k 2n 1 n z 时 2n 180 225 n z 在第三象限 3 如图所示 则终边在图中所示直线上的角的集合为 解析 由题干图易知 在0 360 范围内 终边在直线y x上的角有两个 即135 和315 因此 终边在直线y x上的角的集合为s 135 k 360 k z 315 k 360 k z 135 n 180 n z 答案 135 n 180 n z 考点2弧度制及应用 典例2 1 2014 长沙模拟 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2 那么这个圆心角所对的弧长是 a 2b sin2c d 2sin1 2 已知扇形的周长是6 面积是2 则扇形的圆心角的弧度数是 a 1b 4c 1或4d 2或4 解题视点 1 利用弦心距 半径 弦长的一半构成的直角三角形求解 2 构造弧长和半径的方程组求解 规范解答 1 选c 如图 aob 2弧度 过o点作oc ab于c 并延长oc交弧ab于d 则 aod bod 1弧度 且ac ab 1 在rt aoc中 即从而弧ab的长为 2 选c 设此扇形的半径为r 弧长为l 则解得或从而或 规律方法 弧度制下有关弧长 扇形面积问题的解题策略 1 明确弧度制下弧长公式l r 扇形的面积公式是s 其中l是扇形的弧长 是扇形的圆心角 2 求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角 半径 弧长三个量中的任意两个量 提醒 运用弧度制下有关弧长 扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制 变式训练 2014 随州模拟 一个半径为r的扇形 它的周长为4r 则这个扇形所含弓形的面积是 解析 选d 设圆心角为 由题知2r r 4r 得 2 所以s弓 s扇 s 2r r r2 sin2 r2 r2 sin2 r2 1 sin2 r2 1 sin1 cos1 加固训练 1 2014 哈尔滨模拟 已知扇形的面积为 半径为1 则该扇形的圆心角的弧度数是 解析 选b s扇 所以 2 一条铁路在转弯处成圆弧形 圆弧的半径为2km 一列火车用每小时30km的速度通过 求火车10s转过的弧度数 解析 因为圆弧半径为r 2km 2000m 速度v 30km h m s 所以10s走过的弧长为m 火车10s转过的弧度数 考点3三角函数的定义及三角函数线的应用 考情 任意角的三角函数 正弦 余弦 正切 的定义属于理解内容 在高考中以选择题 填空题的形式出现 考查利用定义求三角函数值或已知三角函数值求坐标等问题 高频考点通关 典例3 1 2014 厦门模拟 若三角形的两内角 满足sin cos 0 则此三角形必为 a 锐角三角形b 钝角三角形c 直角三角形d 以上三种情况都有可能 2 2014 东莞模拟 若角 的终边经过点p m m 0 且sin 则cos 的值为 解题视点 1 根据三角形中角的范围 先判断sin 的符号 再判断cos 的符号 从而可解 2 根据三角函数的定义利用sin 求出m后再求解 规范解答 1 选b 三角形的两内角 的终边一定落在第一 二象限或y轴的非负半轴上 所以sin 0 又因为sin cos 0 所以cos 0 故角 为钝角 此三角形为钝角三角形 2 由题意得 所以因为m 0 所以当m 时 r 点p的坐标为 所以 当m 时 r 点p的坐标为 所以cos 答案 通关锦囊 关注题型 通关题组 1 2014 郴州模拟 已知角 的终边与单位圆的交点则tan 解析 选b 由 op 2 x2 1 得x tan 2 2014 黄石模拟 点a sin2014 cos2014 在直角坐标平面上位于 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 解析 选c 由2014 360 5 180 34 可知 2014 角的终边在第三象限 所以sin2014 0 cos2014 0 即点a位于第三象限 3 2011 新课标全国卷 已知角 的顶点与原点重合 始边与x轴的正半轴重合 终边在直线y 2x上 则cos2 解析 选b 由题意知 tan 2 即sin 2cos 将其代入sin2 cos2 1中可得cos2 故cos2 2cos2 1 加固训练 1 2014 海口模拟 已知 在单位圆中角 的正弦线 余弦线 正切线分别是mp om at 则它们的大小关系是 a mp om atb at mp omc at om mpd mp at om 解析 选b 如图 由图可知at mp om 2 2014 厦门模拟 如图所示 角的终边与单位圆 圆心在原点 半径为1的圆 交于第二象限的点a cos 则cos sin 解析 由题意得cos2 2 1 所以cos2 又cos 0 所以cos 又sin 所以cos sin 答案 3 2014 南京模拟 函数的定义域为 解析 因为2cosx 1 0 所以cosx 由三角函数线画出x满足条件