高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第四章 第二节平面向量的分解及向量的坐标表示精讲课件 文.pptVIP

第二节平面向量的分解及向量的坐标表示 第四章 例1 设两个非零向量e1和e2不共线 1 如果 e1 e2 3e1 2e2 8e1 2e2 求证 a c d三点共线 2 如果 e1 e2 2e1 3e2 2e1 ke2 且a c d三点共线 求k的值 平面向量基本定理及其应用 自主解答 点评 1 平面向量基本定理的作用 能把平面上的不同向量用基底向量表示出来 其做法是 先选择一组不共线的基底 通过向量的加 减 数乘 把其他相关的向量用这一组基底表示出来 有时还利用向量相等建立方程组 解出某些相关的值 2 平面向量基本定理是建立向量坐标的基础 它保证了向量与坐标是一一对应的 即a x y 向量 点 x y 1 如图 平面内的两条相交直线op1和op2将该平面分割成四个部分 不包含边界 设 变式探究 且点p落在第 部分 则实数m n满足 a m 0 n 0b m 0 n 0c m 0 n 0d m 0 n 0 解析 由题意及平面向量基本定理易得在 中 m 0 n 0 答案 b 平面向量的坐标运算 例2 已知a 2 4 b 3 1 c 3 4 设 ab a 1 求3a b 3c 2 求满足a mb nc的实数m n 3 求m n的坐标及向量的坐标 自主解答 解析 由已知得a 5 5 b 6 3 c 1 8 1 3a b 3c 3 5 5 6 3 3 1 8 15 6 3 15 3 24 6 42 2 mb nc 6m n 3m 8n 而a 5 5 3 设m x1 y1 n x2 y2 得 x1 3 y1 4 3 24 x2 3 y2 4 12 6 点评 1 利用向量的坐标运算解题 主要是利用加 减 数乘运算法则进行 然后根据 相等的向量坐标相同 这一原则 通过方程 组 进行求解 2 向量的坐标表示 把点与数联系起来 实际上是向量的代数表示 即引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化 成为数与形结合的载体 可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算 x1 0 y1 20 x2 9 y2 2 m 0 20 n 9 2 9 18 变式探究 2 2013 金华模拟 设向量a 1 3 b 2 4 c 1 2 若表示向量4a 4b 2c 2 a c d的有向线段首尾相连能构成四边形 则向量d为 a 2 6 b 2 6 c 2 6 d 2 6 解析 设d x y 由题意知4a 4 12 4b 2c 6 20 2 a c 4 2 又4a 4b 2c 2 a c d 0 解得x 2 y 6 所以d 2 6 故选d 答案 d 利用向量相等求点的坐标 例3 已知点a 1 0 b 0 2 c 1 2 求以a b c为顶点的平行四边形的第四个顶点d的坐标 解析 设d的坐标为 x y 1 若是 abcd 则由 得 0 2 1 0 1 2 x y 即 1 2 1 x 2 y x 0 y 4 点d的坐标为 0 4 如图中的点d1 2 若是 adbc 则由 得 x y 1 0 0 2 1 2 即 x 1 y 1 4 解得x 2 y 4 点d坐标为 2 4 如图中的点d2 3 若是 abdc 则由 得 0 2 1 0 x y 1 2 即 1 2 x 1 y 2 解得x 2 y 0 点d的坐标为 2 0 如图中的点d3 综上所述 以a b c为顶点的平行四边形的第四个顶点d的坐标为 0 4 或 2 4 或 2 0 点评 只有正确理解两个向量相等的概念 才能利用向量的相等解题 两个向量相等的含义是 当两个向量的起点在原点 若这两个向量相等 则它们的终点重合 当两个向量的起点不在原点 若这两个向量相等 则它们的各自的终点坐标减去起点坐标相等 变式探究 3 已知向量集合m a a 1 2 3 4 r n a a 2 2 4 5 r 则m n a 1 1 b 1 2 2 2 c 2 2 d 解析 设a m n 则存在实数 和 使得 1 2 3 4 2 2 4 5 即 3 4 4 3 5 4 a 2 2 故选c 答案 c 共线向量的坐标运算 例4 平面内给定三个向量a 3 2 b 1 2 c 4 1 请解答下列问题 1 求满足a mb nc的实数m n 2 若 a kc 2b a 求实数k 3 若d满足 d c a b 且求d 解析 1 由题意得 3 2 m 1 2 n 4 1 m 4n 2m n 2 a kc 3 4k 2 k 2b a 5 2 a kc 2b a 2 3 4k 5 2 k 0 k 3 设d x y d c x 4 y 1 a b 2 4 由题意得 d 3 1 或d 5 3 点评 1 向量共线的充要条件的两种形式 a b b a a 0 a b x1y2 x2y1 0 其中a x1 y1 b x2 y2 2 向量共线 平行 的坐标表示实质是把向量问题转化为代数运算 它提供了通过坐标公式建立参数的方程 组 进而解方程 组 求出参数的值 来解决向量共线 平行 的方法 也为点共线 线平行问题的处理提供了简易的方法 变式探究4 1 已知向量a 1 2 b 1 0 c 3 4 若 为实数 a b c 则 2 若向量 1 3 3 t 且 则 a