高中数学 9.4空间的角配套课件 理 新人教A版.ppt

第四节空间的角 三年24考高考指数 1 掌握两条直线所成角的概念 2 掌握直线和平面所成角的概念 3 掌握二面角 二面角的平面角的概念 1 两条异面直线所成的角 夹角 斜线与平面所成的角 二面角及其平面角的概念 求法是高考重点 2 题型既有选择题 填空题 也有解答题 且线面角及二面角一般作为解答题的最后一小题来考查 1 异面直线所成的角 1 定义已知两条异面直线a b 经过空间任意一点o 作直线a b 并使a a b b 我们把直线a 和b 所成的 叫做异面直线a与b所成的角 2 范围异面直线所成角的范围是 锐角 或直角 0 即时应用 1 如图 在四面体abcd中 若截面pqmn是正方形 则异面直线pm与bd所成的角为 2 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为ab ad的中点 则异面直线ef与b1c所成的角为 解析 1 由异面直线所成角的概念可知 pmq为异面直线pm与bd所成的角 故异面直线pm与bd所成的角为45 2 连结a1d a1b bd 则 a1db 60 即为异面直线ef与b1c所成的角 答案 1 45 2 60 2 直线与平面所成的角 1 定义直线和平面所成的角是直线和 所成的角 当直线和平面平行时 称直线和平面成 角 当直线和平面垂直时 称直线和平面成 角 2 范围直线和平面所成角的范围是 它在平面内的射影 0 90 0 即时应用 1 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 ab 1 ac 2 bc d e分别是ac1和bb1的中点 则直线de与平面bb1c1c所成的角为 2 在正方体abcd a1b1c1d1中 b1c与对角面dd1b1b所成角的大小是 解析 1 取ac中点f 连结df bf 则易知bf de 过f作fh bc于h 则fh 平面bcc1b1 则 fbh为所求角 在直角三角形fhb中 fh bf ac 1 所以 fbh 30 2 如图所示 连结ac交bd于o点 易证ac 平面dd1b1b 连结b1o 则 cb1o即为b1c与对角面dd1b1b所成的角 设正方体棱长为a 则b1c a co a sincb1o cb1o 30 答案 1 30 2 30 3 二面角 1 定义从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做 叫做二面角的面 2 二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 3 范围二面角的范围是 两个半平面 二面角的棱 每个半平面 0 180 即时应用 1 思考 二面角的平面角的大小与在二面角的棱上选的点的位置有关吗 提示 如图 用两个垂直于棱的平面 1 2去截一个二面角 a 由等角定理知 所截得的两个角 1和 2相等 这说明二面角的平面角与在二面角的棱上选的点的位置无关 2 如图所示 在矩形abcd中 ab 3 ad 4 pa 平面abcd pa 那么二面角a bd p的度数是 解析 如图所示 过点a作ae bd 垂足为e 连结pe 则pe bd 三垂线定理 故 pea为二面角p bd a的平面角 在rt bad中 ae 在rt pae中 tanpea pea 30 答案 30 异面直线所成的角 方法点睛 1 异面直线所成的角的求法求异面直线所成的角常用的方法是平移法 平移的方法一般有三种类型 利用图中已有的平行线平移 利用特殊点 线段的端点或中点 作平行线平移 补形平移 2 求异面直线所成的角的步骤 1 作 通过作平行线 得到相交直线 2 证 证明相交直线所成的角为异面直线所成的角 3 求 通过解三角形 求出该角 例1 1 已知s abc是正四面体 m为ab的中点 则sm与bc所成的角为 2 如图 长方体abcd a1b1c1d1中 e是bc的中点 m n分别是ae cd1的中点 ad aa1 a ab 2a 则异面直线ae和cd1所成角的余弦值为 解题指南 本题中 1 2 都是求异面直线所成的角 需要平行移动空间直线 将两异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角 规范解答 1 设正四面体的棱长为1 取ac中点为n 连结mn sn 则mn bc smn为异面直线sm与bc所成的角或其补角 且mn sm sn 由余弦定理得 cossmn smn arccos答案 arccos 2 取a1d1的中点f 连结af ef 则d1fce 从而四边形cefd1为平行四边形 ef cd1 aef为异面直线ae和cd1所成的角 在 aef中 易得af ae ef cd1 由余弦定理得cosaef 异面直线ae和cd1所成角的余弦值为答案 互动探究 本例 2 已知条件不变 求异面直线mn和ad所成的角 解析 取cd的中点k 连结mk nk m n k分别为ae cd1 cd的中点 mkad nkdd1 nmk为异面直线mn和ad所成的角 又d1d 平面abcd nk 平面abcd nk mk 在rt mkn中 mk ad a nk dd1 aa1 a tannmk 故异面直线mn和ad所成的角为arctan 反思 感悟 1 异面直线所成的角的范围是 0 把异面直线所成的角转化成相交直线所成的角 并放到三角形中求解 如果所求的角为钝角 要通过补角转化到 0 范围内 2 结合题设条件 灵活地作出异面直线所成的角 是求异面直线所成角的破冰之举 而忽略异面直线所成角的范围 是 会而不全 的具体表现 变式备选 如图所示 在四棱锥p abcd中 底面是边长为2的菱形 dab 60 对角线ac与bd交于点o po 平面abcd pb与平面abcd所成的角为60 1 求四棱锥的体积 2 若e是pb的中点 求异面直线de与pa所成角的大小 解析 1 在四棱锥p abcd中 po 平面abcd pbo是pb与平面abcd所成的角 即 pbo 60 在rt aob中 bo ab sin30 1 又 po ob po bo tan60 底面菱形的面积s 四棱锥p abcd的体积vp abcd 2 2 取ab的中点f 连结ef df e为pb的中点 ef pa def为异面直线de与pa所成的角 或其补角 在rt aob中 ao ab cos30 op 在rt poa中 pa ef 在等边 abd和等边 pdb中 df de 由余弦定理 得cosdef 异面直线de与pa所成的角为arccos 直线与平面所成的角 方法点睛 1 求斜线与平面所成的角的步骤 1 寻找过直线上一点与平面垂直的直线 2 连结垂足和斜足得出射影 确定出所求角 3 把该角放在三角形中计算 2 求斜线与平面所成角的方法求斜线与平面所成的角 作垂线是关键 而面面垂直的性质定理是作垂线的依据 必要时 可作斜线的平行线 通过平移直线找出直线在平面内的射影 提醒 斜线与平面所成角的范围为 0 直线与平面所成角的范围为 0 例2 2011 大纲版全国卷 如图 四棱锥s abcd中 ab cd bc cd 侧面sab为等边三角形 ab bc 2 cd sd 1 1 证明 sd 平面sab 2 求ab与平面sbc所成角的大小 解题指南 第 1 问的证明的突破口是利用等边三角形sab这个条件 找出ab的中点e 连结se de 就作出了解决这个问题的关键辅助线 2 本题直接找线面角不易找出 要找到与ab平行的其他线进行转移求解 规范解答 1 取ab中点e 连结de 则四边形bcde为矩形 de cb 2 连结se 则se ab se 又sd 1 故ed2 se2 sd2 所以 dse为直角 由ab de ab se de se e 得ab 平面sde 所以ab sd sd与两条相交直线ab se都垂直 所以sd 平面sab a b c d e f g h s 2 由ab 平面sde知 平面abcd 平面sde 作sf de 垂足为f 则sf 平面abcd sf 作fg bc 垂足为g 则fg dc 1 连结sg 则sg bc 又fg bc sg fg g 故bc 平面sfg 平面sbc 平面sfg 作fh sg h为垂足 则fh 平面sbc fh 即f到平面sbc的距离为 由于ed bc 所以ed 平面sbc e到平面sbc的距离d也为设ab与平面sbc所成的角为 则sin arcsin所以ab与平面sbc所成的角为arcsin 反思 感悟 1 解决本题第 2 问的关键是借助平面sde 平面abcd 在平面sde内找到垂直于平面abcd的垂线sf 进而将直线ab与平面sbc所成的角转化为直线fg与平面sbc所成的角求解 2 直线与平面所成的角 也应考虑到直线和平面垂直 直线和平面平行或直线在平面内的情况 也就是直线和平面成90 角和0 角的情况 变式训练 如图 在正三棱柱abc a1b1c1中 ab aa1 点d是a1b1的中点 点e在a1c1上 且de ae 1 证明 平面ade 平面acc1a1 2 求直线ad和平面abc1所成角的正弦值 解析 1 由正三棱柱abc a1b1c1的性质知 aa1 平面a1b1c1 又de 平面a1b1c1 所以de aa1 而de ae aa1 ae a 所以de 平面acc1a1 又de 平面ade 故平面ade 平面acc1a1 2 如图所示 设f是ab的中点 连结df dc1 c1f 由正三棱柱abc a1b1c1的性质及d是a1b1的中点知 a1b1 c1d a1b1 df 又c1d df d 所以a1b1 平面c1df 而ab a1b1 所以ab 平面c1df 又ab 平面abc1 故平面abc1 平面c1df 过点d作dh垂直c1f于点h 则dh 平面abc1 连结ah 则 had是直线ad和平面abc1所成的角 由已知ab aa1 不妨设aa1 则ab 2 df dc1 c1f ad dh 所以sinhad 即直线ad和平面abc1所成角的正弦值为 二面角 方法点睛 求二面角的方法 例3 2011 浙江高考 如图 在三棱锥p abc中 ab ac d为bc的中点 po 平面abc 垂足o落在线段ad上 1 证明 ap bc 2 已知bc 8 po 4 ao 3 od 2 求二面角b ap c的大小 解题指南 第 1 小题只需把线线垂直转化为线面垂直 第 2 小题利用二面角的平面角的定义做出其平面角 在三角形中即可求解 规范解答 1 由ab ac d是bc的中点 得ad bc 又po 平面abc 得po bc 因为po ad o 所以bc 平面pad 故bc pa 2 如图 在平面pab内作bm pa于m 连结cm 因为bc pa bm bc b 得ap 平面bmc 所以ap cm 故 bmc为二面角b ap c的平面角 在rt adb中 ab2 ad2 bd2 41 得ab 在rt pod中 pd2 po2 od2 在rt pdb中 pb2 pd2 bd2 所以pb2 po2 od2 bd2 36 得pb 6 在rt poa中 pa2 ao2 op2 25 得pa 5 又cosbpa 从而sinbpa 所以bm pbsinbpa 同理cm 因为bm2 mc2 bc2 所以 bmc 90 即二面角b ap c的大小为90 反思 感悟 1 求二面角的关键是找出二面角的平面角 然后把其平面角放在三角形中 解三角形求得 2 利用定义作二面角的平面角时 关键是找对棱上的特殊点 变式训练 如图 在正三棱柱abc a1b1c1中 d e g分别是ab bb1 ac1的中点 ab bb1 2 1 在棱b1c1上是否存在点f使gf de 如果存在 试确定它的位置 如果不存在 请说明理由 2 求截面deg与底面abc所成锐二面角的正切值 解析 1 存在点f且为b1c1的中点 连结ab1 d e g分别是ab bb1 ac1的中点 de ab1 gf 2 延长fe与cb的延长线交于m 连结dm 则dm为截面与底面所成二面角的棱 取bc的中点n 连结fn 则fnbb1 befn b为mn的中点 由题设得bm bn be bd 1 且 dbm 120 作bh dm于h 则 bdm bmd 30 连结eh 又be 底面abc 由三垂线定理可知dm eh ehb为截面与底面所成的锐二面角 在rt ebh中 be 1 bh bd tanehb 2 变式备选 如图 在四面体a boc中 oc oa oc ob aob 120 且oa ob oc 1 1 设p为ac的中点 q在ab上且ab 3aq 证明 pq oa 2 求二面角o ac b的平面角的余弦值 解析 1 在平面oab内过o点作on oa交ab于n 连结nc 在等腰 aob中 aob 120 oab oba 30 在rt aon中 oan 30 on an 在 onb中 nob 120 90 30 nbo nb on an 又ab 3aq q为an的中点 在 can中 p q分别为ac an的中点 cn pq 由on oa oc oa知 oa 平面onc 又nc 平面onc oa nc 由cn pq知 pq oa 2 连结pn po 由oc oa oc ob知 oc 平面oab 又on 平面oab oc on 由on oa知 on 平面aoc op是np在平面aoc内的射影 在等腰直角 aoc中 p为ac的中点 ac op 由三垂线定理知 ac np 因此 opn为二面角o ac b的平面角 在等腰直角 aoc中 oc oa 1 op 在rt aon中 on oatan30 在rt pon中 pn cosopn 满分指导 空间角问题的规范解答 典例 12分 2011 重庆高考 如图 在四面体abcd中 平面abc 平面acd ab bc ad cd cad 30 1 若ad 2 ab 2bc 求四面体abcd的体积 2 若二面角c ab d为60 求异面直线ad与bc所成角的余弦值 解题指南 1 借助平面abc 平面dac可求作四面体abcd的高 从而求得体积 2 借助问题 1 中的辅助线及三角形中位线寻找分别与ad bc平行的直线 将其转化到某一三角形中求解即可 规范解答 1 如图 设f为ac的中点 由于ad cd 所以df ac 故由平面abc 平面acd 知df 平面abc 即df是四面体abcd的面abc上的高 且df adsin30 1 af adcos30 2分在rt abc中 因ac 2af 2ab 2bc 由勾股定理易知bc ab 3分 a b c d e f g h 故四面体abcd的体积v 5分 2 如上图 设g h分别为边cd bd的中点 连结fg hg 则fg ad gh bc 从而 fgh是异面直线ad与bc所成的角或其补角 7分设e为边ab的中点 连结df ef 则ef bc 由ab bc 知ef ab 又由 1 有df 平面abc 故由三垂线定理知de ab 所以 def为二面角c ab d的平面角 由题设知 def 60 9分设ad a 则df ad sincad 在rt def中 ef df cotdef 从而gh bc ef 10分因rt ade rt bde 故bd ad a 从而 在rt bdf中 fh bd 又fg ad 从而在 fgh中 因fg fh 由余弦定理得cosfgh 因此 异面直线ad与bc所成角的余弦值为 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2011 辽宁高考 如图 四棱锥s abcd的底面为正方形 sd 底面abcd 则下列结论中不正确的是 a ac sb b ab 平面scd c sa与平面sbd所成的角等于sc与平面sbd所成的角 d ab与sc所成的角等于dc与sa所成的角 解析 选d 2 2012 柳州模拟 如图所示 l a b a b到l的距离分别是a和b ab与 所成的角分别是 和 ab在 内的射影分别是m和n 若a b 则 a m n b m n c m n d m n 解析 选d 如图所示 ab与 所成的角为 abc ab与 所成的角为 bad sin sin abc sin sin bad a b sin sin 又 0 ab