青岛市胶州市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

2015年山东省青岛市胶州市高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 .来 1设全集 U=0， 1， 2， 3，集合 M=0， 1， 2， N=0， 2， 3，则 M于（ ） A 1 B 2， 3 C 0， 1， 2 D 2某时段内共有 100 辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过 60km/ ） A 38 辆 B 28 辆 C 10 辆 D 5 辆 3 600）的值是（ ） A B C D 4函数 的零点所在的区间是（ ） A（ e 4， e 2） B（ e 2， 1） C（ 1， D（ 5下列函数在（ 0， +）上单调递增的是（ ） A y=（ x 1） 2 B y=x+3） C y=21 x D y= 6已知 x 与 y 之间的一组数据 x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则 y 与 x 的线性回归方程 =必过点（ ） A（ 2， 2） B（ 4） C（ 0） D（ 1， 2） 7若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 B 等于（ ） A 7 B 15 C 31 D 63 8一高为 H、满缸水量为 鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为 h 时水的体积为 V，则函数的大致图象可能是（ ） A B C D 9函数 f（ x） =2 g（ x） = 在区间 1， 2上都是减函数，则 m 的取值范围是（ ） A 2， 3） B 2， 3 C 2， +） D（ ， 3） 10已知函数 ，若关于 x 的方程 f（ x） =k 有两个不同的根，则实数 ） A（ ， 1） B（ ， 2） C（ 1， 2） D 1， 2） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为 120 件， 80 件， 60 件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了 3 件，则 n= 12已知 ，则 = 13甲、乙两人下棋，甲获胜 的概率为 ，两人下成和棋的概率为 ，则乙不输的概率为 14若 ，则 a 的取值范围为 15已知函数 f（ x） = 的图象与函 y=g（ x）的图象关于直线 y=x 对称，令 h（ x） =g（ 1则关于 h（ x）有下列命题： h（ x）的图 象关于原点对称； h（ x）为偶函数； h（ x）的最小值为 0； h（ x）在（ 0， 1）上为增函数 其中正确命题的序号为 （将你认为正确的命题的序号都填上） 三、解答题：本大 题共 6 小题，共 75 分 明过程或演算步骤 . 16已知全集 I=0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9，集合 A=1， 2， 3， 4，集合 B=2， 3， 5，函数 y= 的定义域为 C （ ）求 AB，（ B； （ ）已知 xI，求 xC 的概率； （ ）从集合 A 中任取一个数为 m，集合 B 任取一个数为 n，求 m+n 4 的概率 17某工厂的 A、 B、 C 三个不同车间生产同一产品的数量（单位：件）如表所示质检人员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取 6 件样品进行检测 车间 A B C 数量 50 150 100 （ 1）求这 6 件样品中来自 A、 B、 C 各车间产品的数量； （ 2）若在这 6 件样品中随机抽取 2 件进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同车间的概率 18已知幂函数 f（ x） =（ 2m2+m+2） 为偶函数 （ 1）求 f（ x）的解析式； （ 2）若函数 y=f（ x） 2（ a 1） x+1 在区间（ 2， 3）上为单调函数，求实数 a 的取值范围 19某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为 40 元，出厂单价定为 60 元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 100 件时，每多订购一件， 订购的全部服装的出场单价就降低 ，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过 600 件 （ 1）设一次订购 x 件，服装的实际出厂单价为 p 元，写出函数 p=f（ x）的表达式； （ 2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？ 20已知函数 f（ x）对任意 x（ 0， +），满足 f（ ） = 3 （ ）求 f（ x）的解析式； （ ）判断并证明 f（ x）在定义域上的单调性； （ ）证明函数 f（ x）在区间（ 1， 2）内有唯一零点 21已知函数 f（ x） =1 （ a 为常数）为 R 上 的奇函数 （ ）求实数 a 的值； （ ）对 x（ 0， 1，不等式 sf（ x） 2x 1 恒成立，求实数 s 的取值范围； （ ）令 g（ x） = ，若关于 x 的方程 g（ 2x） x） =0 有唯一实数解，求实数 m 的取值范围 2015年山东省青岛市胶州市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 . 1设全集 U=0， 1， 2， 3，集合 M=0， 1， 2， N=0， 2， 3，则 M 于（ ） A 1 B 2， 3 C 0， 1， 2 D 【考点】 交、并、补集的混合运算 【专题】 集合 【分析】 直接利用交集和补集的运算得答案 【解答】 解： 全集 U=0， 1， 2， 3， N=0， 2， 3， 1， 又 M=0， 1， 2， 则 M1 故选： A 【点评】 本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题 2某时段内共有 100 辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过 60km/ ） A 38 辆 B 28 辆 C 10 辆 D 5 辆 【考点】 用样本的频率分布估计总体分布 【专题】 计算题 【分析】 根据频率分步直方图看出时速超过 60km/h 的汽车的频率比组距的值，用这个值乘以组距，得到这个范围中的频率，用频率当概率，乘以 100，得到时速超过 60km/h 的汽车数量 【解答】 解：根据频率分步直方图可知时速超过 60km/h 的概率是 10（ = 共有 100 辆车， 时速超过 60km/h 的汽车数量为 00=38（辆） 故选 A 【点评】 本题考查用样本的频率估计总体分布，频数、频率和样本 容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中 3 600）的值是（ ） A B C D 【考点】 运用诱导公式化简求值 【专题】 三角函数的求值 【分析】 原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果 【解答】 解： 600） = 720+120） =180 60） = ， 故选： C 【点评】 此题考查了运用诱导公式化简求值， 熟练掌握诱导公式是解本题的关键 4函数 的零点所在的区间是（ ） A（ e 4， e 2） B（ e 2， 1） C（ 1， D（ 【考点】 二分法求方程的近似解 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 先判断 f（ e 4）， f（ e 2）， f（ 1）， f（ f（ 符号，再根据函数零点的判定定理，即可求得结论 【解答】 解： f（ e 4） = 4+ 0， f（ e 2） = 2+ 0， f（ 1） = 0， f（ =2+ 0， f（ 4+ 0， f（ e 2） f（ 1） 0， 且函数 在区间（ e 2， 1）上是连续的， 故函数 的零点所 在的区间为（ e 2， 1）， 故选： B 【点评】 本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反 5下列函数在（ 0， +）上单调递增的是（ ） A y=（ x 1） 2 B y=x+3） C y=21 x D y= 【考点】 函数单调性的判断与证明 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 结合选项中所涉及到的函数，从函数的定义域和其图象上进行逐个排除即可得到答案 【解答】 解：对于 选项 A： y=（ x 1） 2 该函数在（ ， 1上单调递减，在区间（ 1， +）上单调递增不合题意， 对于选项 B： y=x+3）， 该函数在区间（ 0， +）上单调递增合题意， 对于选项 C： y=21 x， 该函数在（ ， +）上单调递减，不合题意， 对于选项 D： y=（ x 1） 2 该函数在（ ， 1）上单调递减，在区间（ 1， +）上单调递减，不合题意， 故选： B 【点评】 本题重点考查了函数的单调性、及其判断，函数的图象等知识，属于中档题 6已知 x 与 y 之间的一组数据 x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则 y 与 x 的线性回归方程 =必过点（ ） A（ 2， 2） B（ 4） C（ 0） D （ 1， 2） 【考点】 线性回归方程 【专题】 计算题；概率与统计 【分析】 先分别计算平均数，可得样本中心点，利用线性回归方程必过样本中心点，即可得到结论 【解答】 解：由题意， = （ 0+1+2+3） = = （ 1+3+5+7） =4 x 与 y 组成的线性回归方程必过点（ 4） 故选： B 【点评】 本题考查线性回归方程，解题的关键是利用线性回归方程必过样本中心点 7若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 B 等于（ ） A 7 B 15 C 31 D 63 【考点】 程序框图；设计程序框图解决实际问题 【专题】 图表型 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算 B 值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案 【解答】 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： A B 是否继续循环 循环前 1 1/ 第一圈 2 3 是 第二圈 3 7 是 第三圈 4 15 是 第三圈 5 31 是 第四圈 6 63 否 则输出的结果为 63 故选 D 【点评】 本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法 8一高为 H、满缸水量为 鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为 h 时水的体积为 V，则函数的大致图象可能是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【专题】 数形结合 【分析】 水深 h 越大，水的体积 v 就越大，故函数 v=f（ h）是个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的 【解答】 解：由图得水深 h 越大，水的体积 v 就越大，故函数 v=f（ h）是个增函数 据四个选项提供的信息， 当 hO， H，我们可将水 “流出 ”设想成 “流入 ”， 这样每当 h 增加一个单位增量 h 时， 根据鱼缸形状可知，函数 V 的变化，开始其增量越来越大，但经过中截面后则增量越来越小， 故 V 关于 h 的函数图象是先凹后凸的，曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小， 故选 B 【点评】 本题考查了函数 图象的变化特征，函数的单调性的实际应用，体现了数形结合的数学思想和逆向思维 9函数 f（ x） =2 g（ x） = 在区间 1， 2上都是减函数，则 m 的取值范围是（ ） A 2， 3） B 2， 3 C 2， +） D（ ， 3） 【考点】 函数单调性的性质 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 结合二次函数的图象和性质可得若函数 f（ x）在区间 1， 2上都是减函数，则 m2，结合反比例函数的图象和性质可得：若函数 g（ x）在区间 1， 2上是减函数，则 3 m 0，进而得到答案 【解答】 解： f（ x） =2图象是开口向上，且以直线 x=m 为对称轴的抛物线， 故 f（ x） =2（ ， m上为减函数， 若函数 f（ x）在区间 1， 2上都是减函数，则 m2， 又 g（ x） = = +m， 若函数 g（ x）在区间 1， 2上是减函数，则 3 m 0，则 m 3， 故 m 的取值范围是 2， 3）， 故选： A 【点评】 本题考查的知识点是函数单调性的性质，熟练掌握二次函数和反比例函数的图象和性质是解答的关键 10已知函数 ，若关于 x 的方程 f（ x） =k 有两个不同的根，则实数 ） A（ ， 1） B（ ， 2） C（ 1， 2） D 1， 2） 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 原问题等价于于函数 f（ x）与函数 y=k 的图象有两个不同的交点，在同一个坐标系中作出两个函数的图象可得答案 【解答】 解：关于 x 的方程 f（ x） =k 有两个不同的实根， 等价于函数 f（ x）与函数 y=k 的图象有两个不同的交点， 作出函数的图象如下： 由图可知实数 k 的取值范围是（ 1， 2） 故选： C 【点评】 本题考查根的存在性和个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为 120 件， 80 件， 60 件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了 3 件，则 n= 13 【考点】 分层抽样方法 【专题】 概率与统计 【分析】 由题意根据分层抽样的定义和方法，每个个体被抽到的概率相等，由 = ，解得 n 的值 【解答】 解：依题意，有 = ，解得 n=13， 故答案为： 13 【点评】 本题主要考查分层抽样的定义和方法，注意每个个体被抽到的概率相等，属于基础题 12已知 ，则 = 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值 【解答】 解： ，则 = = = ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题 13甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为 ，两 人下成和棋的概率为 ，则乙不输的概率为 【考点】 互斥事件的概率加法公 式；相互独立事件的概率乘法公式 【专题】 概率与统计 【分析】 设 A 表示 “甲胜 ”， B 表示 “和棋 ”， C 表示 “乙胜 ”，则 P（ A） = ， P（ B） = ， P（ C） =1 = ，由此能求出乙不输的概率 【解答】 解：设 A 表示 “甲胜 ”， B 表示 “和棋 ”， C 表示 “乙胜 ”， 则 P（ A） = ， P（ B） = ， P（ C） =1 = ， 乙不输的概率为： P=P（ B C） =P（ B） +P（ C） = = 故答案为： 【点评】 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用 14若 ，则 a 的取值范围为 0 a1 【考点】 指数函数的图象与性质 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 讨论 a 的取值范围，利用指数恒等式和对数的基 本运算公式进行计算即可 【解答】 解：若 0 a 1，则等式 ，等价为 ，此时等式恒成立 若 a=1，则等式 ，等价为 ，此时等式恒成立 若 a 1，则等式 ，等价为 ，解得 a=1，此时等式不成立 综上： 0 a1， 故答案为： 0 a1 【点评】 本题主要考查指数方程的解法，根据对数的运算性质和指数恒等式是解决本题的关键，注意要对 a 进行分类讨论 15已知函数 f（ x） = 的图象与函 y=g（ x）的图象关于直线 y=x 对称，令 h（ x） =g（ 1则关于 h（ x）有下列命题： h（ x）的图象关于原点对称； h（ x）为偶函数； h（ x）的最小值为 0； h（ x）在（ 0， 1）上为增函数 其中正确命题的序号为 （将你认为正确的命题的序号都填上） 【考点】 指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 先根据函数 f（ x） = 的图象与函数 g（ x）的图象关于直线 y=x 对称，求出函数 g（ x）的解析式，然后根据奇偶性的定义进行判定，根据复合函数的单调性进行判定可求出函数的最值，从而得到正确选项 【解答】 解： 函数 f（ x） = 的图象与函数 g（ x）的图象关于直线 y=x 对称， g（ x） = h（ x） =g（ 1 = ， x（ 1， 1） 而 h（ x） = =h（ x） 则 h（ x）是偶函数，故 不正确， 正确 该函数在（ 1， 0）上单调递减，在（ 0， 1）上单调递增 h（ x）有最小值为 0，无最大值 故选项 正确， 故答案为： 【点评】 本题主要考查了反函数，以及函数的奇偶性、单调性和最值 ，同时考查了奇偶函数图象的对称性，属于中档题 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 明过程或演算步骤 . 16已知全集 I=0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9，集合 A=1， 2， 3， 4，集合 B=2， 3， 5，函数 y= 的定义域为 C （ ）求 AB，（ B； （ ）已知 xI，求 xC 的概率； （ ）从集合 A 中任取一个数为 m，集合 B 任取一个数为 n，求 m+n 4 的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；交、并、补集的混合运算 【专题】 计算题 ；转化思想；综合法；概率与统计 【分析】 （ ）由交集定义能求出 AB，利用补集定义和交集定义能求出 A） B （ ）由函数定义域求出集合 C，由此能求出 xI， xC 的概率 （ ）从集合 A 任取一个数为 m，利用列举法求出集合 B 任取一个数为 n 的基本事件个数，由此能求出 m+n 4 的概率 【解答】 （本小题满分 12 分） 解：（ ） 集合 A=1， 2， 3， 4，集合 B=2， 3， 5， 由已知 AB=2， 3， 全集 I=0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， A） B=0， 2， 3， 5， 6， 7， 8， 9 （ 4 分） （ ） 函数 y= 的定义域为 C， C=x| =x|5x 6， （ 6 分） xI， xC 的概率 p= （ 8 分） （ ）从集合 A 任取一个数为 m， 集合 B 任取一个数为 n 的基本事件有 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，共 12 种 （ 10 分） 其中 m+n 4 共有 9 种， p= （ 12 分） 【点评】 本题考查交集、并无数的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用 17某工厂的 A、 B、 C 三个不同车间生产同一产品的数量（单位：件）如表所示质检人员用分 层抽样的方法从这些产品中共抽取 6 件样品进行检测 车间 A B C 数量 50 150 100 （ 1）求这 6 件样品中来自 A、 B、 C 各车间产品的数量； （ 2）若在这 6 件样品中随机抽取 2 件进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同车间的概率 【 考点】 古典概型及其概率计算公式 【专题】 概率与统计 【分析】 （ 1）求出样本容量与总体中的个体数的比，然后求解 A、 B、 C 各车间产品的数量 （ 2）设 6 件来自 A、 B、 C 三个车间的样品分别为： A； 出从 6 件样品中抽取的这 2 件产品构成的所有基本 事件记事件 D： “抽取的这 2 件产品来自相同车间 ”，写出事件 后求解这 2 件产品来自相同车间的概率 【解答】 （本小题满分 12 分） 解：（ 1）因为样本容量与总体中的个体数的比是 ，（ 2 分） 所以 A 车间产品被选取的件数为 ，（ 3 分） B 车间产品被选取的件数为 ，（ 4 分） C 车间产品被选取的件数为 （ 5 分） （ 2）设 6 件来自 A、 B、 C 三个车间的样品分别为： A； 则从 6 件样品中抽取的这 2 件产品构成的所有基本事件为：（ A， （ A， （ A， （ A， ，（ A， （ （ （ （ （ （ （ （ 1），（ （ 共 15 个（ 8 分） 每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的记事件 D： “抽取的这 2 件产品来自相同车间 ”，则事件 D 包含的基本事件有：（ （ （ （ 共 4个（ 10 分） 所以 ，即这 2 件产品来自相同车间的概率为 （ 12 分） 【点评】 本题考查古典概型概率的应用，等可能事件 的概率的求法，基本知识的考查 18已知幂函数 f（ x） =（ 2m2+m+2） 为偶函数 （ 1）求 f（ x）的解析式； （ 2）若函数 y=f（ x） 2（ a 1） x+1 在区间（ 2， 3）上为单调函数，求实数 a 的取值范围 【考点】 函数奇偶性的性质；函数单调性的性质 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 （ 1）根据幂函数的性质即可求 f（ x）的解析式； （ 2）根据函数 y=f（ x） 2（ a 1） x+1 在区间（ 2， 3）上为单调函数，利用二次函数对称轴和区间之间的关系即可，求实数 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1） 由 f（ x）为幂函数知 2m2+m+2=1， 即 2m 1=0， 得 m=1 或 m= ， 当 m=1 时， f（ x） =合题意； 当 m= 时， f（ x） = ，为非奇非偶函数，不合题意，舍去 f（ x） = （ 2）由（ 1）得 y=f（ x） 2（ a 1） x+1=2（ a 1） x+1， 即函数的对称轴为 x=a 1， 由题意知函数在（ 2， 3）上为单调函数， 对称轴 a 12 或 a 13， 即 a3 或 a4 【点评】 本题主要考查幂函数的图象和性质，以及二次函数的单调性与对称轴之间的关系，要求熟练掌握幂函数 和二次函数的图象和性质 19某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为 40 元，出厂单价定为 60 元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 100 件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低 ，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过 600 件 （ 1）设一次订购 x 件，服装的实际出厂单价为 p 元，写出函数 p=f（ x）的表达式； （ 2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最 大？其最大利润是多少？ 【考点】 函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值 【专题】 应用题 【分析】 （ 1）根 据题意，函数为分段函数，当 0 x100 时， p=60；当 100 x600 时， p=60（ x 100） 2 （ 2）设利润为 y 元，则当 0 x100 时， y=60x 40x=20x；当 100 x600 时， y=（ 62 x40x=22x 别求出各段上的最大值，比较即可得到结论 【解答】 解：（ 1）当 0 x100 时， p=60； 当 100 x600 时， p=60（ x 100） 2 p= （ 2）设利润为 y 元，则 当 0 x100 时， y=60x 40x=20x； 当 100 x600 时， y=（ 62 x 40x=22x y= 当 0 x100 时， y=20x 是单调增函数，当 x=100 时， y 最大，此时 y=20100=2 000； 当 100 x600 时， y=22x x 550） 2+6 050， 当 x=550 时， y 最大，此时 y=6 050 显然 6050 2000 所以当一次订购 550 件时，利润最大，最大利润为 6050 元 【点评】 本题考查分段函数，考查函数的最值，解题的关键是 正确写出分段函数的解析式，属于中档题 20已知函数 f（ x）对任意 x（ 0， +），满足 f（ ） = 3 （ ）求 f（ x）的解析式； （ ）判断并证明 f（ x）在定义域上的单调性； （ ）证明函数 f（ x）在区间（ 1， 2）内有唯一零点 【考点】 函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质 【专题】 证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 （ ）可令 ，从而得出 x= ，这便可得到 f（ t） =2t+3， t 换上 x 便可得出 f（ x）的解析式； （ ）容易判断 f（ x）在定义域（ 0， +）上单调递增，根据增函数的定义，设任意的 0，然后作差，根据对数函数的单调性证明 f（ f（ 可得出 f（ x）在（ 0， +）上单调递增； （ ）容易求出 f（ 1） 0， f（ 2） 0，而 f（ x）在（ 0， +）上又是单调函数，从而得出 f（ x）在区间（ 1， 2）内有唯一零点 【解答】 解：（ ）令 ， ，则： ； f（ x）的解析式为 f（ x） =2x+3， x（ 0， +）； （ ） f（ x）为定义域（ 0，