高中数学 （主干知识+典例精析）2.5函数与方程课件 理 新人教B版.ppt

第五节函数与方程 三年12考高考指数 1 结合二次函数的图象 了解函数的零点与方程根的联系 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 2 根据具体函数的图象 能够用二分法求相应方程的近似解 1 函数零点个数 存在区间及方程解的确定与应用是高考的热点 2 常与函数的图象与性质交汇命题 主要考查函数与方程 转化与化归 数形结合思想 3 题型以选择题和填空题为主 若与导数综合 则以解答题形式出现 属中 高档题 1 函数的零点 1 定义一般地 如果函数y f x 在实数 处的值 即 则 叫做这个函数的零点 在坐标系中表示图象与x轴的公共点是 0 点 等于零 f 0 2 几个等价关系 即时应用 1 判断下列说法是否正确 请在括号中填写 或 f x x 1的零点是 1 0 f x x 1的零点是x 1 f x x 1的零点是1 2 函数f x x3 x的零点是 3 函数f x 的零点个数是 解析 1 由函数零点的定义可判断 2 令f x 0 即x3 x 0解得x 0 1 1 f x 的零点为 1 0 1 3 由等价关系 零点个数转化为方程的根的个数 lgx 即又转化为函数y lgx与图象交点个数 由图象得 有一个交点 答案 1 2 1 0 1 3 1 2 函数零点的存在性定理如果函数y f x 在区间 a b 上的图象不间断 并且在它的两个端点处的函数值 即 则这个函数在这个区间上 至少有一个零点 即存在一点x0 a b 使f x0 0 如果函数图象通过零点时 则称这样的零点为变号零点 如果 则称这样的零点为不变号零点 异号 f a f b 0 穿过x轴 没有穿过x轴 即时应用 1 若函数y f x 在区间 a b 上的图象为连续不断的一条曲线 判断下列命题是否正确 请在括号中填写 或 若f a f b 0 则不存在实数c a b 使得f c 0 若f a f b 0 则有可能存在实数c a b 使得f c 0 若f a f b 0 则有可能不存在实数c a b 使得f c 0 2 请思考在定理的条件下 当f x 是时 在区间 a b 内f x 有唯一的一个零点 3 已知函数f x x3 x 1仅有一个正零点 则此零点所在的最短区间为 区间端点为整数 4 函数f x mx 1在 0 1 内有零点 则实数m的取值范围是 解析 1 如图甲的情况可判断 错 正确 如图乙的情况可判断 不正确 由零点存在性定理可知 不正确 2 由零点存在性定理容易判断f x 是单调函数即可 3 由于f 0 10 f 3 23 0 f 4 59 0 故只有区间 1 2 满足 4 由f 0 f 1 1 答案 1 2 单调函数 3 1 2 4 m 1 3 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 x1 0 x2 0 x1 0 无交点 x1 x2 x1 无 x y x1 x2 x y x1 x2 x y 即时应用 1 若二次函数f x ax2 bx c中 a c 0 则其零点个数是 2 若函数f x ax2 x 1仅有一个零点 则实数a的取值范围是 解析 1 c f 0 a c a f 0 0 即a和f 0 异号 即 或 函数必有两个零点 2 当a 0时 则f x x 1 易知函数只有一个零点 当a 0时 则函数为二次函数 仅有一个零点 即 1 4a 0 a 综上 当a 0或a 时 函数只有一个零点 答案 1 2 2 a a 0或 4 二分法用二分法求函数f x 定义在区间d上 零点近似值的步骤 第一步 在d内取一个闭区间 a0 b0 d 使f a0 与f b0 异号 即f a0 f b0 0 零点位于区间 a0 b0 中 第二步 取区间 a0 b0 的中点 如图 则此中点对应的坐标为x0 a0 b0 a0 a0 b0 计算f x0 和f a0 并判断 1 如果f x0 0 则x0就是f x 的零点 计算终止 2 如果f a0 f x0 0 则零点位于区间 x0 b0 中 令a1 x0 b1 b0 第三步 取区间 a1 b1 的中点 则此中点对应的坐标为x1 a1 b1 a1 a1 b1 计算f x1 和f a1 并判断 1 如果f x1 0 则x1就是f x 的零点 计算终止 2 如果f a1 f x1 0 则零点位于区间 x1 b1 上 令a2 x1 b2 b1 继续实施上述步骤 直到区间 an bn 函数的零点总位于区间 an bn 上 当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时 这个相同的近似值就是函数y f x 的近似零点 计算终止 这时函数y f x 的近似零点满足给定的精确度 即时应用 1 已知f x x3 x2 2x 2 f 1 f 2 0 用二分法求f x 在 1 2 内的零点时 第一步是 2 用 二分法 求方程x3 2x 5 0在区间 2 3 内的实根 取区间中点为x0 2 5 那么下一个有根的区间是 解析 1 根据二分法求函数零点近似值的步骤 已知f 1 f 2 0 f 3 0 所以下一个有根的区间是 2 2 5 答案 1 求区间 1 2 的中点为 2 2 2 5 确定函数零点所在的区间 方法点睛 确定函数f x 零点所在区间的方法 1 解方程法 当对应方程f x 0易解时 可先解方程 再看求得的根是否落在给定区间上 2 利用函数零点的存在性定理 首先看函数y f x 在区间 a b 上的图象是否连续 再看是否有f a f b 0 若有 则函数y f x 在区间 a b 内必有零点 3 数形结合法 通过画函数图象 观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 例1 1 2012 豫南九校模拟 函数的零点所在的区间为 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 2 2012 汕头模拟 函数f x ln x 2 的零点所在的大致区间是 a 1 2 b 2 3 c 3 4 d 4 5 解题指南 1 根据函数零点的存在性定理 只需验证选项中区间端点值是否异号即可作出判断 2 根据所给区间把不在定义域中的区间去掉 然后把所给区间的两个端点的函数值求出 再判断 规范解答 1 选b f 0 0 2 0 4 0 f 1 1 2 13 1 0 f 2 2 2 23 7 0 f 1 f 2 0 故函数f x x 2 x3的零点所在的区间为 1 2 2 选c 由题意知函数f x 的定义域为 x x 2 排除a f 3 0 f 5 ln3 0 f 3 f 4 0 函数f x 的零点在 3 4 之间 故选c 互动探究 把本例 1 的函数改为方程log3x x 3 其他不变 判断其解所在的区间 解析 构造函数 转化为求函数的零点所在的区间 令f x log3x x 3 则f 2 log32 2 3 log30 又因为函数f x 在 0 上是连续且单调的函数 所以方程log3x x 3的解所在的区间为 2 3 反思 感悟 1 判断函数零点所在的区间 当方程f x 0无法解出或函数y f x 的图象不易作出时 常用函数零点存在的判定定理判断 2 判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题 变式备选 1 函数f x ex x 2的零点所在的一个区间是 a 2 1 b 1 0 c 0 1 d 1 2 解析 选c 因为f 0 10 所以零点在区间 0 1 上 故选c 2 2012 蚌埠模拟 对于任意实数a b 当b 0时 定义运算a b 则满足方程2 x 2 x的实数x所在的区间为 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 解析 选b 由题意知 2 x log2x 2x 2 x x2 2x 4 log2x 2x x2 2x 4 设f x log2x 2x x2 2x 4 f 1 log21 21 12 2 1 4 10 f x 的零点所在的一个区间为 1 2 故方程的解在 1 2 内 判断函数零点个数 方法点睛 判断函数零点个数的方法 1 解方程法 令f x 0 如果能求出解 则有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理法 利用定理不仅要求函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象与性质 如单调性 奇偶性 周期性 对称性 才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质 3 数形结合法 转化为两个函数的图象的交点个数问题 先画出两个函数的图象 看其交点的个数 其中交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点 提醒 函数零点不是点而是函数图象与x轴交点的横坐标 例2 2011 陕西高考 函数f x 在 0 内 a 没有零点 b 有且仅有一个零点 c 有且仅有两个零点 d 有无穷多个零点 解题指南 解决本题可转化为两函数y 和y cosx在 0 的交点个数或根据零点存在性定理及函数的性质进行判断 规范解答 选b 方法一 数形结合法 令f x cosx 0 则 cosx 设函数y 和y cosx 它们在 0 的图象如图所示 显然两函数的图象的交点有且只有一个 所以函数f x cosx在 0 内有且仅有一个零点 方法二 当x 时 1 cosx 1 所以f x cosx 0 当x 0 时 f x sinx 0 所以函数f x cosx是增函数 又因为f 0 1 f 0 所以f x cosx在x 0 上有且只有一个零点 反思 感悟 在判断函数y f x 零点个数时 若方程f x 0易解 则用解方程法求解 否则若可转化为两熟悉函数图象交点 用图象法求解 但图象画的太粗糙易出现失误 若图象不易画则可利用零点存在的判定定理及函数的性质综合求解 变式训练 函数y sinx lgx的零点个数为 a 0 b 1 c 2 d 3 解析 选d 令函数y sinx lgx 0即sinx lgx 设y1 sinx y2 lgx 这两个函数的图象的交点个数就是函数的零点的个数 y2 lgx过 1 0 点和 10 1 点 与y1 sinx的交点个数是3 函数的零点的个数是3 故选d 变式备选 1 判断函数f x log2 x 2 x 1 x 3 是否存在零点 解析 方法一 在同一平面直角坐标系中画出函数y log2 x 2 与函数y x的图象 观察知 两函数在 1 3 上有一个交点 即函数f x log2 x 2 x 1 x 3 存在零点 方法二 显然函数f x log2 x 2 x在 1 3 上是连续不断的 f 1 log2 1 2 1 1 0 f 3 log2 3 2 3 log25 3 0 f x log2 x 2 x 1 x 3 存在零点 2 判断函数f x x3 x2 4x在 1 1 上零点的个数 并说明理由 解析 显然函数f x x3 x2 4x在 1 1 上是连续不断的 f 1 1 3 1 2 4 1 0 f 1 13 12 4 1 0 又 f x 2x2 2x 4 2 x 2 当 1 x 1时 0 f x f x x3 x2 4x在 1 1 上是单调递增函数 f x 在 1 1 上只有一个零点 由函数零点的存在情况求参数的取值 方法点睛 已知函数有零点 方程有根 求参数取值常用的方法和思路 1 直接法 直接求解方程得到方程的根 再通过解不等式确定参数范围 2 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数值域问题加以解决 3 数形结合法 先对解析式变形 在同一平面直角坐标系中 画出函数的图象 然后观察求解 例3 2012 临沂模拟 已知函数f x x2 2ex m 1 g x x x 0 1 若g x m有零点 求m的取值范围 2 确定m的取值范围 使得g x f x 0有两个相异实根 解题指南 解答 1 可用基本不等式求出最值或数形结合法求解 2 转化为两个函数f x 与g x 有两个交点 从而数形结合求解 规范解答 1 方法一 g x x 2e 等号成立的条件是x e 故g x 的值域是 2e 因此 只需m 2e 则g x m就有零点 方法二 作出g x x x 0 的大致图象如图 可知若使g x m有零点 则只需m 2e e 2 若g x f x 0有两个相异的实根 即g x 与f x 的图象有两个不同的交点 作出g x x x 0 的大致图象 2e e f x x2 2ex m 1 x e 2 m 1 e2 其图象的对称轴为x e 开口向下 最大值为m 1 e2 故当m 1 e2 2e 即m e2 2e 1时 g x 与f x 有两个交点 即g x f x 0有两个相异实根 m的取值范围是 e2 2e 1 反思 感悟 有些二次 高次 分式 指数 对数及三角式 含绝对值方程根的存在问题 常转化为求函数值域或两熟悉函数图象交点问题求解 变式训练 2012 长沙模拟 已知函数f x ax3 bx2 c 3a 2b x d a 0 的图象如图所示 1 求c d的值 2 若x0 5 方程f x 8a有三个不同的根 求实数a的取值范围 解析 函数f x 的导函数为f x 3ax2 2bx c 3a 2b 1 由题干图可知 函数f x 的图象过点 0 3 且f 1 0 得 2 依题意f x ax3 bx2 3a 2b x 3 a 0 f x 3ax2 2bx 3a 2b 由图知f 5 0 得b 9a 若方程f x 8a有三个不同的根 当且仅当满足f 5 8a f 1 由 得 25a 3 8a 7a 3 解得 a 3 所以 当 a 3时 方程f x 8a有三个不同的根 创新探究 函数零点命题的新考向 典例 2011 山东高考 已知函数f x logax x b a 0 且a 1 当2 a 3 b 4时 函数f x 的零点x0 n n 1 n n 则n 解题指南 由条件易知函数f x 在 0 上为增函数 然后 根据a b满足的条件及对数的运算性质探究出f x 零点所在的区间 从而对照x0 n n 1 n n 确定出n的值 规范解答 23 b0 f 3 0 即f 2 f 3 0由x0 n n 1 n n 知n 2 答案 2 阅卷人点拨 通过对本题的深入研究 我们得到以下创新点拨及备考建议 1 2011 新课标全国卷