高中数学 （主干知识+典例精析）2.2函数的单调性与最值课件 理 新人教B版.ppt

第二节函数的单调性与最值 三年9考高考指数 1 理解函数的单调性 最大值 最小值及其几何意义 2 会利用函数的图象理解和研究函数的性质 1 确定函数单调性 单调区间及应用函数单调性求值域 最值 比较或求函数值大小 是高考的热点及重点 2 常与函数的图象及其他性质交汇命题 3 题型多以选择题 填空题形式出现 若与导数交汇则以解答题形式出现 1 增函数 减函数一般地 设函数f x 的定义域为a 区间m a 如果任意x1 x2 m 且 x x2 x1 0 则有 1 f x 在区间m上是增函数 2 f x 在区间m上是减函数 y f x2 f x1 0 y f x2 f x1 0 即时应用 1 如果函数f x 在 a b 上是增函数 对于任意的x1 x2 a b x1 x2 判断下列结论的真假 在括号内填 真 或 假 x1 x2 f x1 f x2 0 f a f x1 f x2 f b 2 已知函数f x 为r上的减函数 若mf n 若f x 1 得 x 1或x 1 3 由y ax在 0 上是减函数 知a 0 由在 0 上是减函数 知b 0 y ax2 bx的对称轴又 y ax2 bx的开口向下 y ax2 bx在 0 上是减函数 答案 1 真 真 假 真 2 x x 1或x 1 3 减 2 单调性 单调区间若函数y f x 在区间m上是 或 则称函数y f x 在这一区间具有单调性 区间m叫做y f x 的单调区间 增函数 减函数 即时应用 1 定义在区间 5 5 上的函数y f x 的图象如图 则函数在区间 上是减函数 在区间 上是增函数 2 函数的单调减区间为 3 函数y f x 的图象如图所示 那么函数f x 的定义域是 最大值是 最小值是 4 函数在 2 4 上的最小值是 最大值是 解析 1 由函数图象可知函数y f x 在区间 5 2 1 3 上是减函数 在区间 2 1 3 5 上是增函数 2 画出函数的图象可知 其单调减区间为 0 0 3 由图象可知 函数的定义域为 3 0 2 3 最大值为5 最小值为1 4 因为在 2 4 上为单调增函数 所以f 2 f x f 4 所以 答案 1 5 2 1 3 2 1 3 5 2 0 和 0 3 3 0 2 3 51 4 确定函数的单调性或单调区间 方法点睛 确定函数单调性及单调区间的常用方法及流程 1 能画出图象的函数 用图象法 其思维流程为 作图象 看升降 归纳单调性 区间 2 由基本初等函数通过加减运算或复合运算构成的函数 用转化法 其思维流程为 3 能求导的用导数法 其思维流程为 增 增 增转化减 减 减单调性 区间 同增异减 求导 判断f x 正 负 单调性 区间 4 能作差变形的用定义法 其思维流程为 提醒 确定函数的单调性 区间 一定要注意定义域优先原则 取值 作差 变形 定号 单调性 区间 例1 1 2011 江苏高考 函数f x log5 2x 1 的单调增区间是 2 判断函数在 1 上的单调性 解题指南 1 转化为基本初等函数的单调性去判断 2 可用定义法或导数法 规范解答 1 函数f x 的定义域为 令t 2x 1 t 0 因为y log5t在t 0 上为增函数 t 2x 1在 上为增函数 所以函数f x log5 2x 1 的单调增区间为 答案 2 方法一 定义法 设x1 x2 1 则 x1 x2 1 x2 x10 x2 1 0 即y1 y2 0 y1 y2 在 1 上是减函数 方法二 导数法 在 1 上 y 0 故在 1 上为减函数 互动探究 若将本例 1 中函数变为f x x2 4x 3 本例 2 中函数变为区间变为 1 1 则结果又如何 解析 1 先作出函数y x2 4x 3的图象 把x轴下方的部分翻折到上方 可得函数f x x2 4x 3 的图象 如图所示 由图可知 函数的增区间为 1 2 3 2 方法一 设x1 x2 1 1 且x10 因此 当a 0时 f x2 f x1 0 即f x1 0时为减函数 当a 0时为增函数 方法二 因为 当a 0时 f x 0 故f x 在 1 1 上 当a 0时为减函数 当a 0时为增函数 反思 感悟 判断 或证明 函数单调性 区间 一定要先确定定义域 然后根据所给函数的结构特征及要求选择合适的方法求解 当同增 减 区间不连续时 一般不能用并集符号连接 函数单调性的应用 方法点睛 应用函数的单调性可求解的类型 1 由x1 x2的大小 可比较f x1 与f x2 的大小 2 知f x1 与f x2 的大小关系 可得x1与x2的大小关系 3 求解析式中参数的值或取值范围 4 求函数的最大值 最小值 5 得到图象的升 降情况 画出函数图象的大致形状 例2 1 2012 抚顺模拟 已知函数f x 在 0 上是增函数 g x f x 若g lgx g 1 则x的取值范围是 a 0 10 b 10 c 10 d 0 10 2 已知函数y f x 是偶函数 y f x 2 在 0 2 上是单调减函数 试比较f 1 f 0 f 2 的大小 解题指南 1 g x 是偶函数且在 0 上是减函数 则由g lgx g 1 可得 1 lgx 1 2 根据函数f x 的性质先得到y f x 在 0 2 上的单调性或 2 2 上的图象 进而借助于单调性或图象比较出函数值的大小 规范解答 1 选c f x 在 0 上是增函数 且g x f x g x 在r上是偶函数 且在 0 上是减函数 由g lgx g 1 g 1 g 1 得 1 lgx 1 x 10 2 方法一 因为y f x 2 的图象可由y f x 的图象向右平移2个单位而得到 而y f x 为偶函数 其图象关于直线x 0对称 函数y f x 2 的图象关于直线x 2对称 又y f x 2 在 0 2 上单调递减 函数y f x 2 在 2 4 上单调递增 因此 y f x 在 0 2 上单调递增 又f 1 f 1 0f 1 f 0 方法二 由方法一可得函数y f x 在 2 2 上图象的大致形状为由图象知f 2 f 1 f 0 互动探究 在本例 1 中 若函数f x 在 0 上是减函数 其他条件不变 试求x的取值范围 解析 f x 在 0 上是减函数 且g x f x g x 在r上为偶函数 且在 0 上是增函数 由g lgx g 1 g 1 g 1 得lgx 1或lgx10或010或0 x 反思 感悟 1 当已知函数的单调性 解含有 f 号的不等式时 首先要根据函数的性质 转化为如 f g x f h x 的形式 再利用单调性 转化为具体不等式求解 但要注意函数的定义域 2 比较函数值的大小时 若自变量的值不在同一个单调区间内 要利用其函数性质 转化到同一个单调区间上进行比较 对于选择 填空题能数形结合的尽量用图象法求解 变式备选 2012 德州模拟 已知函数f x 是定义在r上的单调函数 满足f 3 2 且对任意的实数a r有f a f a 0恒成立 1 试判断f x 在r上的单调性 并说明理由 2 解关于x的不等式其中m r且m 0 解析 1 f x 是r上的减函数 理由如下 由题意知f x 在r上是奇函数 f 0 0 又 f x 在r上是单调函数 由f 3 2 f 0 f 3 所以f x 为r上的减函数 2 由得1时 x x 0或 当00 求函数的最值 方法点睛 求函数最值的常用方法 1 单调性法 先确定函数的单调性 再由单调性求最值 2 图象法 先作出函数的图象 再观察其最高点 最低点 求出最值 3 基本不等式法 先对解析式变形 使之具备 一正二定三相等 的条件后用基本不等式求出最值 4 导数法 先求导 然后求出在给定区间上的极值 最后结合端点值 求出最值 5 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数 再用相应的方法求最值 例3 1 已知函数则f x 在 上的最大值为 最小值为 2 函数 x 0 的最大值为 3 2012 沈阳模拟 用min a b c 表示a b c三个数中的最小值 设f x min 2x x 2 10 x x 0 则f x 的最大值为 解题指南 1 可用单调性法 2 选用换元法 转化为二次函数求解最值 3 画出图象求解 规范解答 1 在 上为减函数 f x min f 2 f x max 2 令则当t 时 3 由题意知函数f x 是三个函数y1 2x y2 x 2 y3 10 x中的最小者 作出三个函数在同一直角坐标系下的图象 如图实线部分为f x 的图象 可知a 4 6 为函数f x 图象的最高点 则f x max 6 答案 互动探究 若将本例 2 中函数变为则y的最大值为多少 解析 令则当时 反思 感悟 求函数最值的几个注意点 1 求函数的最值与求函数的值域很多情况下是同一事情 其方法也基本一样 2 数形结合是解题的一个非常重要的思想 3 二次函数在闭区间上求最值时往往需要考虑根据区间与对称轴的相对位置进行分类讨论 4 恒成立问题往往可转化为最值问题 如f x 0恒成立 即f x 的最小值大于0成立 变式备选 已知函数 1 当时 求函数f x 的最小值 2 若对任意x 1 f x 0恒成立 试求实数a的取值范围 解析 1 当时 f x 在区间 1 上为增函数 f x 在区间 1 上的最小值为 2 方法一 在区间 1 上 恒成立 x2 2x a 0恒成立 设y x2 2x a x 1 y x2 2x a x 1 2 a 1在 1 上递增 当x 1时 ymin 3 a 当且仅当ymin 3 a 0时 函数f x 0恒成立 故a 3 方法二 当a 0时 函数f x 的值恒为正 当a0时 函数f x 0恒成立 故a 3 易错误区 分段函数单调性解题误区 典例 2010 江苏高考 已知函数则满足不等式f 1 x2 f 2x 的x的取值范围是 解题指南 可结合函数的图象以及f 1 x2 f 2x 的条件 得出1 x2与2x之间的大小关系 进而求得x的取值范围 也可分1 x2 0 1 x2 0讨论求解 规范解答 方法一 画出的图象 由图象可知 若f 1 x2 f 2x 则即得 方法二 当x 1时 1 x2 0 则f 0 1 f 2 1 无解 当 10 f 1 x2 f 2x 化为 1 x2 2 1 1 恒成立 当00 原不等式化为 1 x2 2 1 2x 2 1 即 x 1 2 2 当1 x2 0时无解 综上知 答案 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 新课标全国卷 下列函数中 既是偶函数又在 0 上单调递增的函数是 a y x3 b y x 1 c y x2 1 d y 2 x 解析 选b 函数y x3是奇函数 故可排除a 当x 0时 y x 1 x 1 是增函数 y x2 1在 0 上是减函数 y 2 x 2 x 为减函数 2 2012 泰安模拟 在下列四个函数中 满足性质 对于区间 1 2 上的任意x1 x2 x1 x2 f x2 f x1 x2 x1 恒成立 的只有 a f x b f x x c f x 2x d f x x2 解析 选a 当f x 时 x1 x2 1 2 f x2 f x1 x2 x1 故选a 3 2012 潍坊模拟 设奇函数f x 在 1 1 上是增函数 且f 1 1 若函数f x t2 2at 1对所有的x 1 1 都成立 则当a 1 1 时 t的取值范围是 a 2 t 2 b t 2或t 0或t 2 c d t 或t 0或t 解析 选b 由题意知f x max f 1 f 1 1 则t2 2at 1 1