数学高考压轴题大全

1 本小题满分 14 分 已知函数 1 当时 如果函数仅有一个零点 求实数的取值范围 2 当时 试比较与 的大小 3 求证 2 设函数 其中为常数 当时 判断函数在定义域上的单调性 若函数的有极值点 求的取值范围及的极值点 当且时 求证 3 在平面直角坐标系中 已知椭圆 如图所示 斜率为且不过原 点的直线 交椭圆于 两点 线段的中点为 射线交椭圆于点 交直 线于点 求的最小值 若 i 求证 直线 过定点 ii 试问点 能否关于轴对称 若能 求出 此时的外接圆方程 若不能 请说明理由 二 计算题 每空 分 共 分 4 设函数的图象在点处的切线的斜 率为 且函数为偶函数 若函数满足下列条件 对一切实数 不等式恒成立 求函数的表达式 求证 5 已知函数 1 讨论函数的单调性 2 若函数的图像在点处的切线的倾斜角为 问 在什么范围取 值时 函数在区间上总存在极值 3 求证 评卷人得分 6 已知函数 求函数在区间上的值域 是否存在实数 对任意给定的 在区间上都存在两个不同的 使得成立 若存在 求出的取值范围 若不存在 请说明理由 给出如下定义 对于函数图象上任意不同的两点 如果对 于函数图象上的点 其中总能使得 成立 则称函数具备性质 试判断函数是不是具 备性质 并说明理由 7 已知函数 若函数是定义域上的单调函数 求实数的最小值 方程有两个不同的实数解 求实数的取值范围 在函数的图象上是否存在不同两点 线段的中点的横坐 标为 有成立 若存在 请求出的值 若不存在 请说明理由 8 已知函数 讨论函数的单调性 若函数的图象在点处的切线的倾斜角为 45o 对于任意的 函数 在区间上总不是单调函数 求 m 的取值范围 求证 9 已知正方形的中心在原点 四个顶点都在函数图象上 1 若正方形的一个顶点为 求 的值 并求出此时函数的单调增区间 2 若正方形唯一确定 试求出的值 10 已知函数 曲线在点处的切线方程为 I 求 a b 的值 II 如果当 x 0 且时 求 k 的取值范围 11 设函数f x x2 b ln x 1 其中b 0 当b 时 判断函数f x 在定义域上的单调性 求函数f x 的极值点 证明对任意的正整数n 不等式 ln 都成立 12 如图 7 椭圆的离心率为 x 轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长 求 的方程 设与 y 轴的焦点为 M 过坐标原点 O 的直线与相交于点 A B 直线 MA MB 分别与 相交与 D E i 证明 MD ME ii 记 MAB MDE 的面积分别是 问 是否存在直线 l 使得 请说明理由 13 已知点是直角坐标平面内的动点 点 到直线的距离为 到点 的距离为 且 1 求动点 P 所在曲线 C 的方程 2 直线 过点 F 且与曲线 C 交于不同两点 A B 点 A 或 B 不在 x 轴上 分别过 A B 点 作直线的垂线 对应的垂足分别为 试判断点 F 与以线段为直径的圆的 位置关系 指在圆内 圆上 圆外等情况 3 记 A B 是 2 中的点 问是否存在实数 使成立 若存在 求出的值 若不存在 请说明理由 进一步思考问题 若上述问题中直线 点 曲线 C 则使等式成立的的值仍保持不变 请给出 你的判断 填写 不正确 或 正确 限于时间 这里不需要举反例 或证明 14 如图 在轴上方有一段曲线弧 其端点 在轴上 但不属于 对上任 一点及点 满足 直线 分别交直 线于 两点 1 求曲线弧的方程 2 求的最小值 用表示 3 曲线上是否存点 使为正三角形 若存在 求的取值范围 若不存在 说 明理由 15 设 是函数的两个极值点 1 若 求函数的解析式 2 若 求的最大值 3 若 且 求证 16 已知函数 求函数的单调区间 设 若对任意 不等式 恒成立 求实数的取值范围 17 已知函数 1 若曲线处的切线平行 求 a 的值 2 求的单调区间 3 设是否存在实数 a 对 均成立 若存在 求 a 的取值范围 若不存在 请说明理由 18 已知函数图象的对称中心为 且 的极小值为 1 求的解析式 2 设 若有三个零点 求实数的取值范围 3 是否存在实数 当时 使函数 在定义域 a b 上的值域恰为 a b 若存在 求出k的范围 若不存在 说明理由 19 已知函数 1 若方程在区间内有两个不相等的实根 求实数的取值范围 2 如果函数的图像与 x 轴交于两点 且 求证 其中 是的导函数 正常数满足 20 已知函数f x ax x2 xlna a 0 a 1 1 当a 1 时 求证 函数f x 在 0 上单调递增 2 若函数y f x t 1 有三个零点 求t的值 3 若存在x1 x2 1 1 使得 f x1 f x2 e 1 试求a的取值范围 21 已知函数处取得极小值 其图象过点 A 0 1 且在点 A 处切线的斜率为 1 求的解析式 设函数上的值域也是 则称区间为函数的 保值区间 证明 当不存在 保值区间 22 已知函数 1 求证函数上的单调递增 2 函数有三个零点 求 t 的值 3 对恒成立 求 a 的取值范围 23 已知函数 其中 若函数上有极值 求的取值范围 若函数有最大值 其中为无理数 约为 2 71828 求的 值 若函数有极大值 求的值 24 已知函数 1 若函数在区间上存在极值 其中 求实数的取值范围 2 如果当时 不等式恒成立 求实数的取值范围 3 求证 25 已知函数 其中R 讨论的单调性 若在其定义域内为增函数 求正实数的取值范围 设函数 当时 若 总有 成立 求实数的取值范围 26 已知函数 1 求函数的单调区间 2 设 m 0 求在 m 2m 上的最大值 3 试证明 对任意N 不等式 恒成立 27 已知函数 1 求函数的单调区间 2 设 求证 3 设 求证 28 已知二次函数对都满足且 设函 数 求的表达式 若 使成立 求实数的取值范围 设 求证 对于 恒有 29 已知函数 不等式求实数的取值范围 3 若函数 30 已知函数 若函数是定义域上的单调函数 求实数的最小值 在函数的图象上是否存在不同两点 线段的中点的横坐 标为 直线的斜率为 有成立 若存在 请求出的值 若不存在 请 说明理由 31 已知函数的图象在点 为自然对数的底数 处的切线斜率为 3 求实数的值 若 且对任意恒成立 求的最大值 当时 证明 32 已知函数在点的切线方程为 求函数的解析式 设 求证 在上恒成立 已知 求证 33 已知 1 若 函数在其定义域内是增函数 求的取值范围 2 当时 证明 函数只有一个零点 3 若的图象与轴交于两点 AB中点为 求 证 参考答案 一 综合题 1 解 1 当时 定义域是 令 得 或 2 分 当或时 当时 函数在 上单调递增 在上单调递减 4 分 的极大值是 极小值是 当时 当时 当仅有一个零点时 的取值范围是或 5 分 2 当时 定义域为 令 在上是增函数 7 分 当时 即 当时 即 当时 即 9 分 3 法一 根据 2 的结论 当时 即 令 则有 12 分 14 分 法二 当时 即时命题成立 10 分 设当时 命题成立 即 时 根据 2 的结论 当时 即 令 则有 则有 即时命题也成立 13 分 因此 由数学归纳法可知不等式成立 14 分 法三 如图 根据定积分的定义 得 11 分 12 分 又 14 分 说明 本题主要考查函数导数运算法则 利用导数求函数的极值 证明不等式等基础知识 考查分类讨论思想和数形结合思想 考查考生的计算能力及分析问题 解决问题的能力和创新 意识 2 解 1 由题意知 的定义域为 当时 函数在定义域上单调递增 2 由 得 当时 函数无极值点 时 有两个相同的解 时 时 函数在上无极值点 当时 有两个不同解 时 此时 随在定义域上的变化情况如下表 减极小值增 由此表可知 时 有惟一极小值点 ii 当时 0 0 因为直线 OD 的方程为 所以由得交 点 G 的纵坐标为 又因为 且 所以 又由 知 所以解得 所以直线 的方程为 即有 令得 y 0 与实数 k 无关 所以直线 过定点 1 0 ii 假设点 关于轴对称 则有的外接圆的圆心在 x 轴上 又在线段 AB 的中垂 线上 由 i 知点 G 所以点 B 又因为直线 过定点 1 0 所以直线 的斜率为 又因为 所以解得或 6 又因为 所以舍去 即 此时 k 1 m 1 E AB 的中垂线为 2x 2y 1 0 圆心坐标为 G 圆半径为 圆的方程为 综上所述 点 关于轴对称 此时的外接圆的方程为 二 计算题 4 解 由已知得 1 分 由为偶函数 得为偶函数 显然有 2 分 又 所以 即 3 分 又因为对一切实数恒成立 即对一切实数 不等式恒成立 4 分 显然 当时 不符合题意 5 分 当时 应满足 注意到 解得 7 分 所以 8 分 证明 因为 所以 9 分 要证不等式成立 即证 10 分 因为 12 分 所以 所以成立 14 分 5 解 1 1 分 当时 的单调增区间为 减区间为 2 分 当时 的单调增区间为 减区间为 3 分 当时 不是单调函数 4 分 2 因为函数的图像在点处的切线的倾斜角为 所以 所以 6 分 7 分 要使函数在区间上总存在极值 所以只需 ks5u 9 分 解得 10 分 令此时 所以 由 知在上单调递增 当时 即 对一切成立 12 分 则有 14 分 6 解 在区间上单调递增 在区间 上单调递减 且 的值域为 3 分 令 则由 可得 原问题等价于 对任意的 在上总有两个不同的实根 故在不可能是单调函数 5 分 当时 s 在区间上递减 不合题意 当时 在区间上单调递增 不合题意 当时 在区间上单调递减 不合题意 当即时 在区间上单调递减 在区间上单递增 由上可得 此时必有的最小值小于等于 0 而由 可得 则 综上 满足条件的不存在 8 分 设函数具备性质 即在点处的切线斜率等于 不妨设 则 而在点处的切线 斜率为 故有 10 分 即 令 则上式化为 12 分 令 则由可得在上单调递 增 故 即方程无解 所以函数不具备性质 14 分 7 解 1 分 若函数在上递增 则对恒成立 即对 恒成立 而当时 若函数在上递减 则对恒成立 即对 恒成立 这是不可能的 综上 的最小值为 1 4 分 解 1 由 令 得 0 的根为 1 所以 当时 则单调递增 当时 则单调递减 所以在处取到最大值 又 所以要使与有两个不同的交点 则 有 8 分 假设存在 不妨设 9 分 若则 即 即 12 分 令 则 0 在上增函数 式不成立 与假设矛盾 因此 满足条件的不存在 15 分 8 9 因为 所以 因此 所以函数的图象在点处的切线方程为 2 分 由得 由 得 4 分 因为 所以 由题意知在上有解 因为 设 因为 则只要解得 所以b的取值范围 8 分 不妨设 因为函数在区间上是增函数 所以 函数图象的对称轴为 且 当时 函数在区间上是减函数 所以 所以等价于 即 等价于在区间上是增函数 等价于在区间上恒成立 等价于在区间上恒成立 所以 又 所以 10 分 当时 函数在区间上是减函数 在上为增函数 当时 等价于 等价于在区间上是增函数 等价于在区间上恒成立 等价于在区间上恒成立 所以 又 所以 12 分 当时 等价于 等价于在区间上是增函数 等价于在区间上恒成立 等价于在区间上恒成立 所以 故 14 分 当时 由图象的对称性知 只要对于 同时成立 那么对于 则存在 使恒成立 或存在 使恒成立 因此 综上 b的取值范围是 16 分 10 解 由于直线的斜率为 且过点 故即 解得 由 知 所以 考虑函数 则 i 设 由知 当时 而 故 当时 可得 当 x 1 时 h x 0 从而当 x 0 且 x1 时 f x 0 即 f x ii 设 0 k0 故 x 0 而 h 1 0 故当 x 1 时 h x 0 可得h x 0 而 h 1 0 故当 x 1 时 h x 0 可得 h x 1 与 0 x1 时 需证 即 即需证 1 设 则 由 x 1 得 所以在 1 上为减函数 又因 g 1 0 所以 当 x 1 时 g x 0 即 1 式成立 同理 0 x 1 时 需证 2 而由 0 x 1 得 所以在 0 1 上为增函数 又因 g 1 0 所以 当 0 x 1 时 g x 0 即 2 式成立 综上所证 知要证不等式成立 点评 抓住基本思路 去分母化简问题 不可死算 11 I 函数的定义域为 令 则在上递增 在上递减 当时 在上恒成立 即当时 函数在定义域上单调递增 II 分以下几种情形讨论 1 由 I 知当时函数无极值点 2 当时 时 时 时 函数在上无极值点 3 当时 解得两个不同解 当时 此时在上有唯一的极小值点 当时 在都大于 0 在上小于 0 此时有一个极大值点和一个极小值点 综上可知 时 在上有唯一的极小值点 时 有一个极大值点和一个极小值点 时 函数在上无极值点 III 当时 令则 在上恒正 在上单调递增 当时 恒有 即当时 有 对任意正整数 取得 12 13 解 1 设动点为 1 分 依据题意 有 化简得 3 分 因此 动点 P 所在曲线 C 的方程是 4 分 2 点 F 在以 MN 为直径的圆的外部 理由 由题意可知 当过点 F 的直线 的斜率为 0 时 不 合题意 故可设直线 如图所 示 5 分 联立方程组 可化为 则点的坐标满足 7 分 又 可得点 点与圆的位置关系 可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断 也可以计算点与直径形成 的张角是锐角 直角 钝角来加以判断 因 则 9 分 于是 为锐角 即点 F 在以 MN 为直径的圆的外部 10 分 3 依据 2 可算出 则 14 分 所以 即存在实数使得结论成立 15 分 对进一步思考问题的判断 正确 18 分 14 解 1 由椭圆的定义 曲线是以 为焦点的半椭圆 1 分 的方程为 3 分 注 不写区间 扣 1 分 2 解法 1 由 1 知 曲线的方程为 设 则有 即 4 分 又 从而直线的方程为 AP BP 5 分 令得 的纵坐标分别为 7 分 将 代入 得 当且仅当 即时 取等号 即的最小值是 9 分 解法 2 设 则由三点共线 得 同理 由三点共线得 5 分 由 得 由 代入上式 即 7 分 当且仅当 即时 取等号 即的最小值是 9 分 3 设 依题设 直线 轴 若为正三角形 则必有 10 分 从而直线的斜率存在 分别设为 由 2 的解法 1 知 11 分 于是有 而 矛盾 13 分 不存在点 使为正三角形 14 分 注 如上各题若有其它解法 请评卷老师酌情给分 15 解 1 是函数的两个极值点 解得 4 分 2 是函数的两个极值点 是方程的两根 对一切恒成立 由得 令 则 当时 在 0 4 内是增函数 当时 在 4 6 内是减函数 当时 有极大值为 96 在上的最大值是 96 的最大值是 8 分 3 是方程的两根 12 分 16 解 I 的定义域是 1 分 2 分 由及 得 由及得 故函数的单调递增区间是 单调递减区间是 4 分 II 若对任意 不等式恒成立 问题等价于 5 分 由 I 可知 在上 是函数极小值点 这个极小值是唯一的极值点 故也是最小值点 所以 6 分 当时 当时 当时 8 分 问题等价于 或 或 11 分 解得 或 或 即 所以实数的取值范围是 12 分 17 18 解 1 4 分 2 7 分 3 当时 在上单调减 9 分 11 分 且 在上不单调时 14 分 综上得 15 分 19 解 1 1 分 当时 单调递增 当时 单调 递减 3 分 当 x 1 时 有极大值 也是最大值 即为 1 但无最小值 故的单调递增区间为 单调递减区间为 最大值为 1 但无最小值 方程化为 3 分 由上知 在区间上的最大值为 1 故在区间上有两个不等实根需满足 实数 m 的取值范围为 6 分 2 又有两个实根 两式相减 得 8 分 于是 9 分 要证 只需证 只需证 令 化为 只证即可 11 分 0 t 1 t 10 u t 在 0 1 上单调递增 u t u 1 0 u t 0 从而上也单调递增 所以 9 分 3 由 2 知 当 令则所以 叠加得 则 所以 14 分 25 解 的定义域为 且 1 分 当时 在上单调递增 2 分 当时 由 得 由 得 故在上单调递减 在上单调递增 4 分 的定义域为 5 分 因为在其定义域内为增函数 所以 而 当且仅当时取等号 所以 6 分 当时 由得或 当时 当时 所以在上 8 分 而 总有成立 等价于 在上的最大值不小于在上的最大值 而在上的最大值为 所以有 10 分 所以实数的取值范围是 12 分 26 27 解 1 定义域为 由 2 分 令 故的增区间 减区间 5 分 2 即证 令由 令 得 且 在在 所以 故当时 有得证 10 分 3 由 2 得 即 所以则 14 分 28 解 设 于是 所以 又 则 所以 3 分 当m 0 时 由对数函数性质 f x 的值域为 R 4 分 当m 0