高中数学 8.2双 曲 线配套课件 理 新人教A版.ppt

第二节双曲线 三年10考高考指数 掌握双曲线的定义 标准方程和双曲线的简单几何性质 1 双曲线的定义 标准方程和双曲线的几何性质是考查的重点 2 数形结合 分类讨论 方程思想以及待定系数法求双曲线方程等问题是本节重点 也是难点 3 对概念 性质 方程的考查 一般以选择题 填空题为主 解答题的常见题型为确定双曲线方程 直线与双曲线的位置关系等 其中与向量的结合 求最值及范围问题是考查的热点 本节题目属中档或难题 1 双曲线的定义 1 平面内与两个定点f1 f2的距离的 等于常数 小于 f1f2 的点的轨迹叫做双曲线 2 平面内与一个定点f和一条定直线l f不在l上 的 是常数e 的点的轨迹叫做双曲线 差的绝对值 距离的比 e 1 即时应用 判断下列点的轨迹是否为双曲线 请在括号内填写 是 或 否 1 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之差等于2的点的轨迹 2 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之差的绝对值等于3的点的轨迹 3 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之差等于4的点的轨迹 4 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之差的绝对值等于4的点的轨迹 5 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之差等于6的点的轨迹 6 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之差的绝对值等于6的点的轨迹 解析 由双曲线的定义可知 1 点的轨迹是以a b为焦点 实轴长为2的双曲线的一支 2 点的轨迹是以a b为焦点 实轴长为3的双曲线 3 点的轨迹是以b为端点方向向下的一条射线 4 点的轨迹是分别以a b为端点方向向上 下的两条射线 5 距离之差大于 ab 所以点的轨迹不存在 6 距离之差的绝对值大于 ab 所以点的轨迹不存在 答案 1 否 2 是 3 否 4 否 5 否 6 否 2 根据图形写出相应的双曲线的标准方程和几何性质 即时应用 1 思考 与椭圆标准方程相比较 在双曲线的标准方程中 a b只要求a 0 b 0 二者没有大小要求 若a b 0 a b 0 0 a b 双曲线的哪些性质受影响 提示 离心率受到影响 故当a b 0时 1 e 当a b 0时 e 当0 a b时 e 2 已知双曲线 a 0 b 0 的右焦点f 直线与其渐近线交于a b两点 且 abf为钝角三角形 则双曲线离心率的取值范围是 a b 1 c d 1 解析 选d 由题意可得 f c 0 渐近线方程为 直线 与渐近线交点a b可设为 abf为钝角三角形 f 即 a b a2 b2 c2 a2 a2 c2 2a2 2 即 1 e 故选d 3 已知双曲线9y2 m2x2 1 m 0 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 则m 解析 双曲线9y2 m2x2 1 m 0 一个顶点 0 一条渐近线3y mx 0 由条件得解得m 4 答案 4 4 已知双曲线的离心率为2 焦点是 4 0 4 0 则双曲线的标准方程为 解析 已知双曲线的离心率为2 焦点是 4 0 4 0 则c 4 a 2 b2 12 双曲线方程为答案 双曲线的定义 标准方程 方法点睛 1 双曲线上的点到两焦点的距离问题的处理思路 1 利用第一定义进行两距离之间的转化 2 利用第二定义转化为点到相应准线的距离 3 转化为与点的坐标有关的式子进行求解 2 双曲线的标准方程 1 当焦点在x轴上时 标准方程为当焦点在y轴上时 标准方程为 2 当已知双曲线的焦点不明确 其标准方程可设为为避免讨论和复杂的计算 也可设为ax2 by2 1 ab 0 3 当已知双曲线的渐近线方程bx ay 0 求双曲线方程时 可设双曲线方程为b2x2 a2y2 0 据其他条件确定 的值 4 与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程可设为据其他条件确定 的值 3 求双曲线标准方程的方法及步骤 1 定义法 根据题设条件得出或已知曲线为双曲线 可直接求出a b c 得出双曲线方程 2 待定系数法 先设出双曲线的标准方程 将题设条件代入方程确定相关系数 最后得出方程 提醒 用定义法求双曲线方程时 要注意焦点所在坐标轴的位置及是双曲线的两支还是一支 例1 1 已知f1 f2为双曲线c x2 y2 1的左 右焦点 点p在双曲线c上 f1pf2 60 则p到x轴的距离为 a b c d 2 与双曲线有相同的渐近线 且过点 3 的双曲线方程为 解题指南 1 解答本题可利用双曲线的第一定义列出方程求解或利用双曲线的第二定义 结合余弦定理求解 也可直接利用双曲线的焦点三角形的面积公式求解 2 先设出双曲线的方程 用待定系数法求解 规范解答 1 选b 方法一 不妨设点p在双曲线的右支上 pf1 m pf2 n 则m n 2 由余弦定理得m2 n2 2mncos60 2 即m2 n2 mn 8 解得mn 4 设p到x轴的距离为h 则 f1f2 h h 方法二 不妨设点p x0 y0 在双曲线的右支上 由双曲线的第二定义得由余弦定理得即解得所以故p到x轴的距离为 方法三 设p到x轴的距离为h f1pf2 60 由焦点三角形面积公式得 2 因为所求双曲线与有相同的渐近线 所以设所求双曲线方程为又因为双曲线过点 3 所以解得 所以所求双曲线方程为 即答案 互动探究 本例 2 中 有相同的渐近线 改为 有相同的焦点 结果如何 解析 双曲线中 c 5 焦点坐标为 5 0 5 0 又因为所求双曲线与双曲线有相同的焦点 所以可设双曲线方程为又因为双曲线过点 3 所以解得a2 23 4 舍去 或a2 23 4 所以双曲线方程为 反思 感悟 1 在两个定义中 都要注意双曲线有两支 尤其在第二定义中 定点与定直线是对应的 要注意焦点有两个 准线有两条 2 第 2 小题有相同渐近线的双曲线方程的设法只有一个参数 再需一个条件即可求解 变式备选 过双曲线x2 y2 8的左焦点f1有一条弦pq交左支于p q两点 若 pq 7 f2是双曲线的右焦点 则 pf2q的周长为 解析 因为x2 y2 8 所以2a 4 由题设及双曲线的定义得 pf2 pf1 4 qf2 qf1 4 所以 pf2 qf2 pf1 qf1 8 即 pf2 qf2 pq 8 又因为 pq 7 所以 pf2 qf2 7 8 因此 pf2q的周长为 pf2 qf2 pq 14 8 答案 14 8 双曲线的几何性质 方法点睛 1 双曲线的几何性质的关注点双曲线的几何性质从以下三点关注 1 六点 两焦点 两顶点 两虚轴端点 2 四线 两对称轴 实 虚轴 两渐近线 3 两形 中心 焦点 虚轴端点构成的三角形 双曲线上的一点 不包括顶点 与两焦点构成的三角形 2 双曲线的离心率与渐近线斜率的关系 1 已知双曲线的离心率e求渐近线方程要注意及判断焦点的位置 2 已知渐近线方程y mx m 0 求离心率时 若焦点不确定时 m 或m 因此离心率有两种可能 提醒 双曲线中a b c之间的关系为c2 a2 b2 不要和椭圆之间的关系混淆 例2 1 2011 福建高考 设圆锥曲线c的两个焦点分别为f1 f2 若曲线c上存在点p满足 pf1 f1f2 pf2 4 3 2 则曲线c的离心率等于 a 或 b 或2 c 或2 d 或 2 2010 北京高考 已知双曲线的离心率为2 焦点与椭圆的焦点相同 那么双曲线的焦点坐标为 渐近线方程为 解题指南 1 由于已知圆锥曲线的两个焦点 所以该圆锥曲线为椭圆或双曲线 再由椭圆 双曲线的定义及离心率的定义即可求解 2 由椭圆的焦点坐标得出双曲线的焦点坐标及c值 由离心率的值 可求出a 进而得出双曲线的渐近线方程 规范解答 1 选a pf1 f1f2 pf2 4 3 2 可设 pf1 4k f1f2 3k pf2 2k k 0 其中 f1f2 2c 3k 若圆锥曲线c为椭圆 则 pf1 pf2 2a 6k 若圆锥曲线c为双曲线 则 pf1 pf2 2a 2k 2 椭圆的焦点坐标为 4 0 4 0 故c 4 且满足故所以双曲线的渐近线方程为答案 4 0 4 0 互动探究 在本例 1 中 若圆锥曲线为双曲线且c 6 其他条件不变 求双曲线的焦点到其渐近线的距离 解析 因为圆锥曲线为双曲线且c 6 又因为 pf1 f1f2 pf2 4 3 2 所以 pf1 16 pf2 8 2a 16 8 8 即a 4 所以当双曲线的焦点在x轴上时 一个焦点为 6 0 一条渐近线方程为焦点到渐近线的距离为 当双曲线的焦点在y轴上时 一个焦点为 0 6 一条渐近线方程为焦点到渐近线的距离为 反思 感悟 1 第一小题首先是讨论曲线的类型 然后再根据相应曲线的定义 求出离心率的值 2 第二小题解题的关键是求出a b c的值 然后求解 变式备选 已知双曲线的右焦点为 0 则该双曲线的渐近线方程为 解析 本题考查双曲线的几何性质 由题意可知 双曲线的半焦距c 实半轴a 3 虚半轴 b2 4 于是双曲线方程为令得渐近线方程为y x 答案 y x 与双曲线有关的综合问题 方法点睛 1 直线与双曲线的位置关系判断直线l与双曲线e的位置关系时 通常将直线l的方程ax by c 0 a b不同时为0 代入双曲线e的方程f x y 0 消去y 也可以消去x 得到一个关于变量x 或变量y 的一元方程 即消去y后得ax2 bx c 0 1 2 相交 直线与双曲线的渐近线平行 两者相交 1 相切 0 相离 2 解决与双曲线有关的参数的取值范围或最值问题的常用方法 1 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时 可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式 组 通过解不等式 组 求得参数的取值范围 2 当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时 则可先建立目标函数 进而转化为求解函数的值域 提醒 解决直线与双曲线相交问题时 若涉及到弦的中点或斜率 一般用点差法求解 例3 2012 合肥模拟 已知双曲线与直线l x y 1相交于两个不同的点a b 1 求双曲线c的离心率e的取值范围 2 设直线l与y轴交点为p 且求a的值 解题指南 1 将直线方程代入双曲线方程消去y 整理成关于x的一元二次方程 得a的范围 利用a的取值范围求解 2 设出a b的坐标 利用 1 中一元二次方程的根与系数的关系求解 规范解答 1 由双曲线c与直线相交于两个不同的点 知方程组有两个不同的解 消去y并整理得 1 a2 x2 2a2x 2a2 0 解得0 a 且a 1 双曲线的离心率 0 a 且a 1 e 且e 2 即离心率e的取值范围为 2 设a x1 y1 b x2 y2 p 0 1 得由于x1 x2是方程 的两个根 即消去x2 得解得 反思 感悟 双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系 解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程 然后把直线方程和双曲线方程联立组成方程组 消元后转化成关于x 或y 的一元二次方程 利用根与系数的关系 整体代入的思想解题 设直线与双曲线交于a x1 y1 b x2 y2 两点 直线的斜率为k 则 ab x1 x2 变式训练 已知定点a 0 7 b 0 7 c 12 2 以c为一个焦点作过a b的椭圆 求另一焦点p的轨迹方程 解析 设p x y 为轨迹上任意一点 a b两点在以c p为焦点的椭圆上 pa ca 2a pb cb 2a 其中a表示椭圆的长半轴长 pa ca pb cb pa pb cb ca 由双曲线的定义知 p点在以a b为焦点 2为实轴长的双曲线的下半支上 点p的轨迹方程是 易错误区 双曲线几何性质的解题误区 典例 2011 山东高考 已知双曲线的两条渐近线均和圆c x2 y2 6x 5 0相切 且双曲线的右焦点为圆c的圆心 则该双曲线的方程为 a b c d 解题指南 先求出圆c的圆心坐标 半径 再写出渐近线方程 由圆心到渐近线的距离等于半径即可得到a b的关系 再由双曲线的右焦点为圆c的圆心知c值 即可求出结果 规范解答 选a 双曲线的渐近线方程为bx ay 0和bx ay 0 圆心为 3 0 半径r 2 由圆心到渐近线的距离为圆的半径得 即4a2 5b2 又因为双曲线的右焦点为圆c的圆心 所以c 3 即9 a2 b2 所以 a2 5 b2 4 所以该双曲线的方程为 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 安徽高考 双曲线2x2 y2 8的实轴长是 a 2 b c 4 d 解析 选c 将双曲线2x2 y2 8化成标准方程为则a2 4 所以实轴长2a 4 2 2011 新课标全国卷 设直线l过双曲线c的一个焦点 且与c的一条对称轴垂直 l与c交于a b两点 ab 为c的实轴长的2倍 则c的离心率为 a b c 2 d 3 解析 选