高中数学 2.6指数、指数函数配套课件 理 新人教A版.ppt

第六节指数 指数函数 三年4考高考指数 1 理解分数指数幂的概念 2 掌握有理指数幂的运算性质 3 掌握指数函数的概念 图象和性质 4 能够运用指数函数的性质解决某些简单的实际问题 1 以选择题 填空题的形式考查有关幂值的求法和幂值的大小比较 2 与二次函数 方程 不等式等交汇 以综合题形式出现 1 根式的概念 1 根式的定义一般地 如果 那么x叫做a的n次方根 其中 n 1 n n 叫做根式 叫做根指数 叫做被开方数 xn a n a 2 根式的性质 当n为奇数时 当n为偶数时 负数没有偶次方根 零的任何次方根都是零 a 即时应用 判断下列说法是否正确 请在括号内打 或 1 正数的偶次方根是一个正数 2 正数的奇次方根是一个正数 3 负数的偶次方根是一个负数 4 负数的奇次方根是一个负数 解析 由n次方根的概念可知 正数的奇次方根是一个正数 负数的奇次方根是一个负数 正数的偶次方根有两个 负数没有偶次方根 故 2 4 正确 答案 1 2 3 4 2 分数指数幂 1 分数指数幂的意义 2 0的正分数指数幂等于0 0的负分数指数幂 没有意义 a 0 m n n 且n 1 正分数指数幂 负分数指数幂 a 0 m n n 且n 1 即时应用 1 思考 在正分数指数幂的根式形式中 a 0时成立吗 提示 不一定成立 当a 0时 如无意义 而有意义 因此不一定成立 2 计算 1 4 2 3 0 解析 原式 答案 3 有理数指数幂的性质 1 aras a 0 r s q 2 ar s a 0 r s q 3 ab r a 0 b 0 r q ar s ars arbr 即时应用 1 判断下列等式是否正确 请在括号内填 或 2 用分数指数幂表示下列各式 a 0 解析 1 同底数幂相乘 指数相加 故 错 因为 am n amn 3 2 6 故 错 同底数幂相除 指数相减 故 正确 2 答案 1 2 4 指数函数的图象和性质 r 0 在 上是减函数 在 上是增函数 若x 0 则01 若x 0 则f x 1 若x 0 则0 f x 1 0 1 即时应用 1 判断下列函数是否是指数函数 请在括号内填 是 或 否 y 10 x y 10 x 1 y 4x y xx y x 是常数 2 已知指数函数的图象过点m 3 8 则f 4 f 4 的值分别为 3 已知函数f x 1 2a x为r上的增函数 则实数a的取值范围是 解析 1 y 10 x符合指数函数定义 是指数函数 y 10 x 1指数是x 1而非x 不是指数函数 y 4x中系数为 1而非1 不是指数函数 y xx中底数和指数均是自变量x 不符合指数函数定义 不是指数函数 y x 中底数是自变量 不是指数函数 2 设指数函数是y ax a 0 a 1 则有8 a3 a 2 y 2x 从而f 4 24 16 f 4 2 4 3 因为f x 1 2a x为r上的增函数 所以1 2a 1 得a 0 即实数a的取值范围为a 0 答案 1 是 否 否 否 否 2 16 3 a 0 指数幂的化简及运算 方法点睛 1 根式化简求值的步骤 1 将根式化成分数指数幂的形式 2 利用分数指数幂的运算性质求解 对化简求值的结果 一般用分数指数幂的形式保留 3 一般地 进行指数幂运算时 化负指数为正指数 化根式为分数指数幂 化小数为分数运算 同时兼顾运算的顺序 2 指数式中带条件的求值或证明问题常有两种思考方法 1 将已知条件变形得到需要的值或关系式 2 将待求或证明的式子化为可用已知条件表示的式子 例1 1 计算 0 0625 0 25 2 化简 式中字母都是正数 3 已知a b 9 求下列式子的值 解题指南 1 直接根据分数指数幂的运算法则求值 2 中既有分数指数幂 又有根式 可先把根式化成分数指数幂 再根据幂的运算性质进行化简计算 在指数式的运算中 要注意运算顺序和灵活应用公式 3 先化简原式 再代入求值 规范解答 1 原式 2 原式 3 原式 a 原式 3 方法一 化负指数为正指数后解 方法二 利用运算性质解 反思 感悟 1 分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的关系 分数指数幂是根式的另一种等价写法 因此根式的运算可以先转化成分数指数幂的形式再运算 对于既含有根式 又含有分数指数幂的式子 一般把根式统一成分数指数幂的形式 这样更有利于化简运算 在运算过程中 要贯彻先化简后运算的原则 并 且要注意运算的顺序 对于计算的结果 不强求统一用什么形式来表示 如果有特殊要求 要根据要求写出结果 2 在有关根式 分数指数幂的变形 求值过程中 要注意运用方程的观点处理问题 通过解方程 组 来求值 或用换元法转化为方程来求解 变式训练 1 2012 南京模拟 若a 4 b 2 则 解析 答案 2 2 化简与求值 1 2 3 解析 1 原式 2 原式 3 原式 变式备选 1 设x3 x 3 2 求x x 1的值 解析 设x x 1 t t 2或t 2 则t3 x3 3x x 1 x 2 3t t 1 t2 t 2 0 t 1 2 t 2 0 t 2 2 已知 求的值 解析 由 可得x x 1 7 故原式 指数函数的图象及应用 方法点睛 1 指数函数的结构特征判断一个函数是否是指数函数 关键是看解析式是否符合y ax a 0 a 1 这一结构形式 指数函数具有以下特征 1 底数a为大于0且不等于1的常数 不含有自变量x 2 指数位置是自变量x 且x的系数是1 3 ax的系数是1 2 指数函数图象的记忆口诀多个图形像束花 0 1 这点把它扎 撇增捺减无例外 底互倒时y轴夹 y 1为判底线 交点纵标看小大 重视数形结合法 横轴上面图象察 3 函数的图象能够直观反映函数的基本性质 1 函数图象在x轴上的射影可确定函数的定义域 2 函数图象在y轴上的射影可确定函数的值域 3 由两个函数图象的交点的横坐标可以确定方程的解 提醒 解决函数的图象问题 通常运用函数的性质来解决 即两域 定义域 值域 及性质 单调性 奇偶性 对称性 周期性 等快速判断 例2 1 若直线y 2a与函数y ax 1 a 0 且a 1 的图象有两个公共点 则a的取值范围是 2 已知函数y x 2 作出图象 由图象指出其单调区间 解题指南 1 对a进行分类讨论 画出y ax 1 a 0 且a 1 的图象 利用与动直线y 2a有2个交点求出a的取值范围 2 首先化去绝对值符号 然后将函数写成分段函数的形式 再作图象 根据图象写出函数的单调区间 规范解答 1 y ax 1 a 0 且a 1 的图象如图所示 y 2a与y ax 1 的图象有两个公共点 则0 2a 1 0 a 答案 0 a 1 0 a 1 1 2 2 由函数解析式可得y 其图象分成两部分 一部分是y x 2 x 2 的图象 由下列变换可得到 y xy x 2 向左平移2个单位长度 另一部分是y 2x 2 x 2 的图象 由下列变换可得到 y 2xy 2x 2 如图为函数y x 2 的图象 向左平移2个单位长度 由图象观察知 函数在 2 上是增函数 在 2 上是减函数 互动探究 若本例 2 题干不变 如何求该函数的最值 解析 由例题 2 的图象观察知 x 2时 函数y x 2 有最大值 最大值为1 没有最小值 反思 感悟 1 解决指数函数的相关问题时 不要只凭主观想象 要重视指数函数图象的应用 要充分借助函数图象来提高解题的效率 2 单调性是指数函数的重要性质 特别是函数图象的无限伸展性 x轴是函数图象的渐近线 当0 a 1时 x y 0 当a 1时 x y 0 当a 1时 a的值越大 图象越靠近y轴 递增的速度越快 当0 a 1时 a的值越小 图象越靠近y轴 递减的速度越快 3 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系 在y轴右侧 图象从上到下相应的底数由大变小 在y轴左侧 图象从下到上相应的底数由大变小 即无论在y轴的左侧还是右侧 底数按逆时针方向变大 变式备选 设f x 3x g x x 1 在同一坐标系中作出f x g x 的图象 2 计算f 1 与g 1 f 与g f m 与g m 的值 从中你能得到什么结论 解析 1 函数f x 与g x 的图象如图所示 2 f 1 31 3 g 1 1 3 f 3 g 3 f m 3m g m m 3m 从以上计算的结果看 两个函数当自变量取值互为相反数时 其函数值相等 即当指数函数的底数互为倒数时 它们的图象关于y轴对称 指数函数性质的应用 方法点睛 1 与指数函数有关的复合函数的性质 1 y af x 型函数的定义域与f x 的定义域相同 值域可先确定f x 的值域 再根据指数函数的单调性 可确定 2 y f ax 型函数的定义域根据 内层函数的值域是外层函数的定义域 确定 值域可通过换元的方法来解决 3 复合函数的单调性根据 同增异减 的原则来确定 2 两个不同幂指数函数的大小比较若底数相同 则可利用指数函数单调性比较 若底数不同 则或者考虑插入适当的中间量 如0 1等 进行分段比较 或者利用指数函数的底数对图象的影响 即在y轴右侧 底数越大 图象越高的特性来比较 提醒 指数函数的底数a 0且a 1 这是隐含条件 指数函数y ax的单调性与底数a有关 当底数a与1的大小关系不确定时应注意分a 1和0 a 1两种情况讨论 例3 已知函数f x 1 若f x 2 求x的值 2 判断x 0时 f x 的单调性 3 若3tf 2t mf t 0对于t 1 恒成立 求m的取值范围 解题指南 1 讨论x 0和x 0两种情况分别求解 2 根据复合函数的单调性判断 3 等价转化为m 32t 1在t 1 上恒成立 再用单调性求m的范围 规范解答 1 当x 0时 f x 3x 3x 0 f x 2无解 当x 0时 f x 令 2 3x 2 2 3x 1 0 3x 1 3x 0 3x 1 舍去 3x 1 x log3 1 2 当x 0时 f x y 3x在 0 上单调递增 y 在 0 上单调递减 f x 在 0 上单调递增 3 t 1 f t 0 3tf 2t mf t 0化为3t 32t m 0 即3t 3t m 0 即m 32t 1 令g t 32t 1 则g t 在 1 上递减 g t max g 4 所求实数m的取值范围是 4 反思 感悟 1 单调性是指数函数最重要的一个性质 运用此性质可以求与指数函数有关的函数的值域 单调区间等问题 求有关指数函数的值域时 要注意af x 0 2 利用指数函数的单调性可比较两个幂的大小 当幂的底数 指数都不同时 可选择中间量进行比较 如比较a 与b 的大小 可以选a 或b 作为中间量 有时也可以把 1 作为中间量来比较大小 变式训练 已知定义域为r的函数f x 为奇函数 1 求a的值 2 判断并证明该函数在定义域r上的单调性 3 若对任意的t r 不等式f t2 2t f 2t2 k 0恒成立 求实数k的取值范围 解析 1 f x 为在r上的奇函数 f x f x 0恒成立 解得a 1 2 f x f x 在r上单调递减 任取x1 x2 r且x1 x2 则f x1 f x2 x1 x2 x2 x1 0 1 f x1 f x2 0 f x1 f x2 f x 在r上单调递减 3 f x 为r上的奇函数 由f t2 2t f 2t2 k 0 得f t2 2t f 2t2 k f 2t2 k 得t2 2t 2t2 k k 3t2 2t在r上恒成立 又 3t2 2t的最小值为 k 易错误区 指数函数图象的应用误区 典例 2011 四川高考 函数y x 1的图象关于直线y x对称的图象大致是 解题指南 先作出f x x 1的图象 再作关于直线y x对称的图象 或先求出f x x 1的反函数的解析式 再作反函数的图象 规范解答 选a 方法一 先由f x x的图象向上平移一个单位 作出f x x 1的图象 再作直线y x对称的图象 方法二 反函数的解析式为 由的图象向右平移1个单位 即得所需图象 故选a 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2012 杭州模拟 函数y a x a 1 的图象是 解析 选b y 当x 0时 与指数函数y ax a 1 的图象相同 当x 0时 y a x与y ax的图象关于y轴对称 由此判断b正确 2 2011 山东高考 若点 a 9 在函数y 3x的图象上 则的值为 a 0 b c 1 d 解析 选d 点 a 9 在函数y 3x的图象上 所以3a 9 a 2 所以 3 2012 唐山模拟 设函数f x 定义在实数集上 它的图象关于直线x 1对称 且当x 1时 f x 3x 1 则有 a f f f b f f f c f f f d f f f 解析 选b 由题当x 1时f x 3x 1是单调递增函数 又它的图象关于直线x 1对称 所以当x 1时 函数f x 是单调递减函数 且因为所以f f f 即f f f 4 2012 衡水模拟 已知函数f x 2x 1 a b c 且f a f c f b 则下列结论中 一定成立的是 填上序号即可 a 0 b 0 c 0 a 0 b 0 c 0 2 a 2c 2a 2c 2 解析 作出函数f x 2x 1 的图象如图中实线所示 又a b c 且f a f c f b 结合图象知f a 1 a 0 c 0 0 2a 1 f a 2a 1 1 2a f c 1 0 c 1 1 2c 2 f c