高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质复习课课件 新人教A版必修4.ppt

三角函数的图象与性质及其应用 网络体系 核心速填 1 三角函数的图象 1 正弦曲线 2 余弦曲线 3 正切曲线 2 三角函数的性质 1 正弦函数 定义域为 值域为 奇函数 单调增区间 单调减区间 对称轴 对称中心 k z r 1 1 2 余弦函数 定义域为 值域为 偶函数 单调增区间 单调减区间 对称轴 对称中心 k z 3 正切函数 定义域为 值域为 奇函数 单调增区间 渐近线 对称中心 k z r 1 1 2k 2k 2k 2k x k r 3 函数y asin x 的图象及简单应用a 对函数y asin x 图象的影响 1 对y sin x x r的图象的影响 左 右 2 0 对y sin x 的图象的影响 缩短 伸长 3 a a 0 对y asin x 的图象的影响 伸长 缩短 易错提醒 1 关注三角函数的定义域 值域 1 解正弦 余弦函数值问题时 应注意正弦 余弦函数的有界性 即 1 sinx 1 1 cosx 1 2 解正切函数问题时 应注意正切函数的定义域 即 x x k k z 2 正确掌握含三角函数的复合函数的单调性 1 要求y asin x 或y acos x 其中 0 的单调区间 先研究正弦函数y sinx和余弦函数y cosx的相应单调区间 再把其中的 x 用 x 代替 解关于x的不等式即可求出所求的单调区间 但要特别关注a的正负 2 正切函数只有单调递增区间无单调递减区间 类型一三角函数的图象问题 典例1 1 2015 湖州高一检测 已知函数f x sin 2x 0 的部分图象如图所示 则 2 已知在给出的直角坐标系中画出f x 在区间 0 上的图象 2 1 列表 2 描点连线 得函数图象如图所示 延伸探究 本例1中 函数改为y sin x 0 0 其图象如图所示 试求 方法技巧 1 用 五点法 作函数y asin x 图象的步骤第一步 列表 由先求出x 再由 x 的值求出y的值 第二步 在同一坐标系中描出各点 第三步 用光滑曲线连接这些点 进而成图象 2 由图象或部分图象确定解析式y asin x 中的参数 1 a 由最大值 最小值来确定a 2 通过求周期t来确定 3 利用已知点列方程求出 变式训练 某简谐运动得到形如y asin x 的关系式 其中 振幅为4 周期为6 初相为 1 写出这个关系式 2 用五点作图法作出这个函数在一个周期内的图象 2 列表 由表可得图象如图所示 补偿训练 已知求函数f x 的定义域 并作出函数f x 在一个周期开区间上的简图 类型二三角函数图象平移 伸缩变换 典例2 1 已知a是实数 则函数f x 1 asinax的图象不可能是 2 2015 银川高一检测 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 再向右平移个单位长度 得到函数y g x 的图象 则y g x 图象的一条对称轴是 解析 1 选d 当a 0时 f x 1 故图c有可能 当且振幅小于1 图a有可能 当且振幅大于1 图b有可能 图d不可能 2 选c 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 得到的图象 再向右平移个单位长度得的图象 即由得是对称轴方程 当k 0时 x 故选c 方法技巧 函数y sinx的图象变换到y asin x 图象的两种方法 变式训练 1 2015 天水高一检测 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍 纵坐标不变 再向右平移个单位 所得函数图象的一个对称中心是 解析 选d 将函数的图象上各点横坐标伸长到原来的3倍 纵坐标不变 得到函数的图象 再向右平移个单位 得到函数的图象 是该函数图象的一个对称中心 2 若函数的图象向右平移个单位后与原函数的图象关于x轴对称 则 的最小正值为 a b 1c 2d 3 解析 选d 的图象向右平移个单位 得到其关于x轴对称函数的解析式为由题意知所以 6k 3 k z 故当k 0时 最小正值为3 补偿训练 1 如何由y sinx的图象得到的图象 2 如何由的图象得到y sinx的图象 类型三三角函数的性质 典例3 1 定义在r上的偶函数f x 满足且f 1 1 f 0 2 则f 1 f 2 f 3 f 2014 的值为 a 2b 1c 0d 2 2 2015 德州高一检测 已知函数的最小正周期为2 最小值为 2 且当时 函数取得最大值4 1 求函数f x 的解析式 2 求函数f x 的单调递增区间 3 若x 时 方程f x m 1有解 求实数m的取值范围 解析 1 选b 由f x 满足即有f x 3 f x 由f x 是定义在r上的偶函数 则f x f x 即有f x 3 f x 则f x 是以3为周期的函数 由f 1 1 f 0 2 即f 2 1 f 3 2 由f 4 f 1 1 即有f 1 1 则f 1 f 2 f 3 f 2014 1 1 2 f 1 0 671 1 1 2 1 因为f x 的最小正周期为2 得又解得由题意即因为所以 2 当即时 函数f x 单调递增 3 方程因为实数m的取值范围是 方法技巧 1 三角函数的两条性质 1 周期性 函数y asin x 和y acos x 的最小正周期为 y tan x 的最小正周期为 2 奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为y asin x或y atan x 而偶函数一般可化为y acos x b的形式 2 求三角函数值域 最值 的方法 1 利用sinx cosx的有界性 2 从y asin x k的形式逐步分析 x 的范围 根据正弦函数单调性写出函数的值域 3 换元法 把sinx或cosx看作一个整体 可化为求函数在区间上的值域 最值 问题 提醒 利用换元法求三角函数的值域时 一定要注意三角函数自身的取值范围 否则会出现错误 3 求三角函数的单调区间求形如y asin x 或y acos x a 0 0 的函数的单调区间可以通过解不等式方法去解答 即把 x 视为一个 整体 分别与正弦函数y sinx 余弦函数y cosx的单调递增 减 区间对应解出x 即得所求的单调递增 减 区间 变式训练 求函数的定义域 值域 指出它的周期性 奇偶性 单调性 解析 由得所以所求定义域为值域为r 周期t 是非奇非偶函数 在区间 k z 上是增函数 补偿训练 2014 泰州高一检测 已知函数的部分图象如图所示 1 求a 的值 2 求f x 的单调增区间 3 求f x 在区间上的最大值和最小值 解析 1 由图象知a 1 由图象得函数的最小正周期为则由 2 由 1 得 因为所以所以所以f x 的单调增区间为 3 因为所以当即时 f x 取得最大值1 当f x 取得最小值 拓展类型数形结合思想的应用 典型例题 1 2015 瑞安高二检测 函数的图象与函数y 2sin x 2 x 4 的图象所有交点的横坐标之和等于 a 2b 3c 4d 6 2 2015 天水高一检测 对于函数给出下列四个命题 该函数是以 为最小正周期的周期函数 当且仅当x k k z 时 该函数取得最小值 1 该函数的图象关于对称 当且仅当时 0 f x 其中正确命题的序号是 请将所有正确命题的序号都填上 解析 1 选c 作出的图象与y 2sin x 2 x 4 的图象如图 共四个交点 且四个交点横坐标关于x 1对称 所以所有交点横坐标之和等于4 2 作出函数f x 的图象如图所示 由图象可知f x 为周期函数 t 2 正确 当时 取最小值 1 故 错误 都是该图象的对称轴 故 正确 当时 f x 图象在x轴上方且f x max 故0 f x 故 正确 答案 延伸探究 本例2的函数改为判断下列说法是否正确 是周期函数 最小正周期为2 有最大值1和最小值 1 有对称轴 有对称中心 在上单调递减 解析 作出函数f x 的图象 实线即为f x 的图象 由图象可知 f x 为周期函数 t 2 所以 正确 函数f x 的最大值为1 最小值为 所以 错误 函数的对称轴为k z 所以 正确 由图象可知 函数无对称中心 所以 错误 在上单调递减 所以 正确 方法技巧 对数形结合的认识 1 数形结合是重要的数学思想 它能把代数关系与几何图形的直观形象有机结合起来 将抽象的思维方式转化为直观的思维方式 从而使问题变得简单明了 2 数形结合常用于解方程 解不等式 求函数的值域 判断图象交点的个数 求参数范围等题目中 变式训练 已知函数若a b c互不相等 且f a f b f c 则a b c的取值范围是 a 1 2024 b 1 2015 c 2 2015 d 2 2015 解析 选c 函数的图象如图所示 不妨令a b c 由正弦曲线的对称性可知 a b 1 而1 c 2014 所以2 a b c 2015 故选c 补偿训练 函数的图象与直线y k有且仅有两个不同的交点 则k的取值范围是 解题指南 处理绝对值符号 可得分段函数 利用数形结合的方法进行判断 解析 函数的图象 如图 与直线y k有且仅有两个不同的交点 则1 k 3 答案 1 k 3 类型四分类讨论思想的应用 典例4 2015 合肥高一检测 已知是否存在常数a b q 使得f x 的值域为 若存在 求出a b的值 若不存在 说明理由 解析 存在a 1 b 1满足要求 因为所以若存在这样的有理数a b 则 1 当a 0时 无解 2 当a 0时 解得a 1 b 1 即存在a 1 b 1满足要求 方法技巧 对分类讨论的认识以及运用 1 认识 在解答某些数学问题时 有时会遇到多种情况 需要对各种情况加以分类 并逐类求解 然后综合得解 这就是分类讨论法 分类讨论法是一种逻辑方法 是一种重要的数