高考数学 第一章 第二节命题及其关系、充分条件课件 理.ppt

第二节命题及其关系 充分条件和必要条件 1 命题可以判断 的语句叫作命题 的命题叫作真命题 的命题叫作假命题 成立或不成立 不成立 成立 即时应用 判断下列说法是否正确 请在括号中填写 或 1 sin45 1 是假命题 2 x2 2x 1 是命题 3 3是12的约数吗 是假命题 4 x2 2x 3 0 是真命题 解析 sin45 1 能判断真假 是命题且为假命题 故 1 正确 x2 2x 1 与 x2 2x 3 0 不能判断真假 不是命题 故 2 4 错 3是12的约数吗 不是陈述句 不是命题 故 3 错 答案 1 2 3 4 2 四种命题及其关系 1 四种命题间的相互关系 若q 则p 若 p 则 q 若 q 则 p 2 原命题的真假性同它的逆命题 否命题及逆否命题的真假性之间的关系 原命题为真 它的逆命题可以为 也可以为 原命题为真 它的逆否命题一定为 原命题为真 它的否命题可以为 也可以为 3 四种命题的真假性之间的关系 两个命题互为逆否命题 它们有相同的 两个命题互为逆命题或否命题 它们的真假性 真 假 真 真 假 真假性 没有关系 即时应用 1 判断下列命题是真命题还是假命题 填 真 或 假 若x2 y2 0 则x y不全为零 的否命题 正多边形都相似 的逆命题 若m 0 则x2 x m 0有实根 的逆否命题 若是有理数 则x是无理数 的逆否命题 2 命题 若x2 1 则 1 x 1 的逆否命题是 3 命题 对实数a 若a 0 则a2 0 的否命题是 解析 1 的否命题是 若x2 y2 0 则x y全为零 是真命题 的逆命题是 相似形是正多边形 是错误的 故是假命题 的原命题是真命题 故它们的逆否命题也是真命题 2 1 x 1 的否定是 x 1或x 1 x2 1 的否定是 x2 1 故已知命题的逆否命题是 若x 1或x 1 则x2 1 3 a 0 的否定是 a 0 a2 0 的否定是 a2 0 故已知命题的否命题是 对实数a 若a 0 则a2 0 答案 1 真 假 真 真 2 若x 1或x 1 则x2 1 3 对实数a 若a 0 则a2 0 3 充分条件和必要条件 1 若p则q 为真命题指当p 时 q一定 即p 可以推出q 记作p q 并把p叫作命题q的 q叫作p的 2 如果对两个命题p和q 既有p q 又有q p 就记作 这时 p既是q的 又是q的 就叫作p是q的 简称 p是q的充分必要条件指p成立 q成立 此时 命题p和命题q称为两个互相 的命题 成立 也成立 成立 成立 充分条件 必要条件 充分条件 必要条件 充 分必要条件 充要条件 当且 仅当 等价 即时应用 1 设a 0 则 x a a 是 x a 的 条件 2 m 是 一元二次方程x2 x m 0有实数解 的 条件 3 若集合a 1 m2 b 2 4 则 m 2 是 a b 4 的 条件 解析 1 当a 0时 x a a x a 但 x a x a a 故 x a a 是 x a 的必要而不充分条件 2 1 4m 当m 时 0 方程x2 x m 0有实数解 若方程x2 x m 0有实数解 则 1 4m 0 m m 是 一元二次方程x2 x m 0有实数解 的充分而不必要条件 3 m 2 a b 4 但a b 4 m 2 故 m 2 是 a b 4 的充分而不必要条件 答案 1 必要而不充分 2 充分而不必要 3 充分而不必要 热点考向1四种命题及其关系 方法点睛 1 四种命题关系的判断在判断四种命题之间的关系时 首先要注意分清命题的条件与结论 再比较每个命题的条件与结论之间的关系 要注意四种命题关系的相对性 一旦一个命题被定为原命题 也就相应有了它的 逆命题 否命题 逆否命题 2 命题的等价性掌握原命题和逆否命题 否命题和逆命题的等价性 当一个命题直接判断真假不容易进行时 可以转而判断其逆否命题的真假 提醒 在四种命题中 真命题的个数一定为偶数个 例1 1 2012 湖南高考 命题 若 则tan 1 的逆否命题是 a 若 则tan 1 b 若 则tan 1 c 若tan 1 则 d 若tan 1 则 2 2012 福州模拟 下列命题 若a21 则ax2 2ax a 3 0的解集为r 的逆否命题 若 x 0 为有理数 则x为无理数 的逆否命题 其中正确的命题是 只填序号 规范解答 1 选c 原命题的逆否命题是 若tan 1 则 故选c 2 的否命题为 若a2 b2 则a b 是假命题 的逆命题为 若两个三角形面积相等 则这两个三角形全等 显然是假命题 对于 当a 1时 2a 2 4a a 3 12a 0 为真命题 故其逆否命题为真命题 对于 x 0 为真命题 故其逆否命题为真命题 答案 互动探究 本例 1 条件不变 请判断逆命题的真假 解析 由命题 若 则tan 1 知逆命题为 若tan 1 则 由三角函数知识易知逆命题为假命题 变式备选 写出 若x 2或x 3 则x2 5x 6 0 的逆命题 否命题 逆否命题及命题的否定 并判断其真假 解析 逆命题 若x2 5x 6 0 则x 2或x 3 是真命题 否命题 若x 2且x 3 则x2 5x 6 0 是真命题 逆否命题 若x2 5x 6 0 则x 2且x 3 是真命题 命题的否定 若x 2或x 3 则x2 5x 6 0 是假命题 热点考向2充分条件与必要条件的判定 方法点睛 充分 必要条件的判断方法 1 命题判断法先判断p q与q p是否成立 然后再确定p是q的什么条件 2 集合判断法从集合的观点看 建立命题p q相应的集合 p a x p x 成立 q b x q x 成立 那么 若a b 则p是q的充分条件 若ab 则p是q的充分而不必要条件 若b a 则p是q的必要条件 若ba 则p是q的必要而不充分条件 若a b且b a 即a b 则p是q的充要条件 若ab且ba 则p既不是q的充分条件 也不是q的必要条件 即p是q的既不充分又不必要条件 例2 1 2011 福建高考 若a r 则 a 2 是 a 1 a 2 0 的 a 充分而不必要条件 b 必要而不充分条件 c 充要条件 d 既不充分又不必要条件 2 2012 陕西高考 设a b r i是虚数单位 则 ab 0 是 复数为纯虚数 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件 规范解答 1 选a 由 a 1 a 2 0得a 1或a 2 所以a 2 a 1 a 2 0 但 a 1 a 2 0a 2 故a 2是 a 1 a 2 0的充分而不必要条件 2 选b 若a 0 b 0 即ab 0 则是实数 故不是充分条件 若复数为纯虚数 则 a bi 所以a 0且b 0 所以ab 0 是必要条件 变式备选 指出下列命题中 p是q的什么条件 在 充分而不必要条件 必要而不充分条件 充要条件 既不充分又不必要条件 中选出一种作答 1 在 abc中 p a b q sina sinb 2 对于实数x y p x y 8 q x 2或y 6 3 非空集合a b中 p x a b q x b 4 已知x y r p x 1 2 y 2 2 0 q x 1 y 2 0 解析 1 在 abc中 a b sina sinb 反之 若sina sinb 因为a与b不可能互补 因为三角形三个内角和为180 所以只有a b 故p是q的充要条件 2 易知 p x y 8 q x 2且y 6 显然q p 但pq 即q是p的充分而不必要条件 根据原命题和逆否命题的等价性知 p是q的充分而不必要条件 3 显然x a b不一定有x b 但x b一定有x a b 所以p是q的必要而不充分条件 4 p x 1且y 2 q x 1或y 2 所以p q 但qp 故p是q的充分而不必要条件 热点考向3充分条件 必要条件的应用 方法点睛 充分条件 必要条件的应用解决此类问题一般是把充分条件 必要条件或充要条件转化为集合之间的关系 然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解 例3 已知集合m x x 3或x 5 p x x a x 8 0 1 求实数a的取值范围 使它成为m p x 5 x 8 的充要条件 2 求实数a的一个值 使它成为m p x 5 x 8 的一个充分而不必要条件 3 求实数a的取值范围 使它成为m p x 5 x 8 的一个必要而不充分条件 解题指南 求a的取值范围使它成为m p的不同条件 可借助集合的观点 根据要求 求出成立时a的取值范围 规范解答 1 由m p x 5 x 8 得 3 a 5 因此m p x 5 x 8 的充要条件是 a 3 a 5 2 求实数a的一个值 使它成为m p x 5 x 8 的一个充分而不必要条件 就是在集合 a 3 a 5 中取一个值 如取a 0 此时必有m p x 5 x 8 反之 m p x 5 x 8 未必有a 0 故a 0是所求的一个充分而不必要条件 3 求实数a的取值范围 使它成为m p x 5 x 8 的一个必要而不充分条件就是另求一个集合q满足所述条件 故 a 3 a 5 是集合q的一个真子集 如果 a a 5 时 未必有m p x 5 x 8 但是m p x 5 x 8 时 必有a 5 故 a a 5 是所求的一个必要而不充分条件 反思 感悟 解答本例 2 3 时 需借助 1 的结论 即求某一个结论的充分而不必要条件或必要而不充分条件时 一般是先求出这个结论的充要条件 变式训练 已知p x2 8x 20 0 q x2 2x 1 a2 0 且p是q的充分而不必要条件 求正实数a的取值范围 解析 由x2 8x 20 0 得x 2或x 10 p x 2或x 10 由x2 2x 1 a2 0 得x 1 a或x 1 a q x 1 a或x 1 a p是q的充分而不必要条件 解得0 a 3 a的取值范围为0 a 3 1 2012 天津高考 设 r 则 0 是 f x cos x x r 为偶函数 的 a 充分而不必要条件 b 必要而不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件 解析 选a 当 0时 f x cos x cosx是偶函数 而f x cos x x r 是偶函数不能得出 0 故a正确 2 2013 福州模拟 给出命题 已知a b为实数 若a b 1 则ab 在它的逆命题 否命题 逆否命题三个命题中 真命题的个数是 a 3 b 2 c 1 d 0 解析 选c 因为原命题为真命题 故其逆否命题也为真命题 原命题的逆命题为 已知a b为实数 若ab 则a b 1 很明显其为假命题 故原命题的否命题也为假命题 3 2012 安徽高考 设平面 与平面 相交于直线m 直线a在平面 内 直线b在平面 内 且b m 则 是 a b 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件 解析 选a m a b b m b b a 如果a m 则a b与b m条件相同 都不能推出 4 2012 江西高考 下列命题中 假命题为 a 存在四边相等的四边形不是