高三数学一轮复习 7.2空间几何体的表面积与体积课件 .ppt

第二节空间几何体的表面积与体积 知识梳理 1 空间几何体的侧面积和表面积 1 常见几何体的侧面展开图 共顶点的三角形 若干个小梯形 扇环 2 多面体的表面积 因为多面体的各面都是平面 所以多面体的表面积就是各个面的 即展开图的面积 面积之和 3 旋转体的表 侧 面积 2 r2 2 rl 2 r r l 2 rl rl r 2 r2 r l rl r r l 4 r2 2 几何体的体积 1 设棱 圆 柱的底面积为s 高为h 则体积v 2 设棱 圆 锥的底面积为s 高为h 则体积v 3 设棱 圆 台的上 下底面面积分别为s s 高为h 则体积v 4 设球半径为r 则球的体积v sh 考点自测 1 思考 给出下列命题 长方体的体积等于长 宽 高之积 锥体的体积等于底面面积与高之积 球的体积之比等于半径比的平方 台体的体积可以转化为两个锥体的体积之差 直径为1的球的表面积s 4 r2 4 其中正确的是 a b c d 解析 选c 正确 长方体是一种特殊的直四棱柱 其体积v sh abc 其中a b c分别为长方体的长 宽 高 错误 锥体的体积等于底面面积与高之积的 错误 因为球的体积v r3 故球的体积之比等于半径比的立方 正确 由于台体是由平行于锥体的底面的平面截锥体所得的在截面与底面之间的几何体 故其体积可转化为两个锥体的体积之差 错误 直径为1的球的半径为故其表面积s 4 r2 2 一个正方体的体积是27 则这个正方体的内切球的表面积是 a 10 b 9 c 8 d 6 解析 选b 由v正方体 a3 27得a 3 所以正方体的内切球半径为则s球 4 r2 9 3 圆柱的底面积是s 侧面展开图是一个正方形 那么这个圆柱的侧面积是 a 4 sb 2 sc sd 解析 选a 底面半径是所以正方形的边长是故圆柱的侧面积是 2 4 s 4 如图所示 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形 俯视图是一个直径为1的圆 那么这个几何体的全面积为 a b 2 c 3 d 4 解析 选a 由三视图知 该空间几何体为圆柱 所以全面积为 5 平面 截球o的球面所得圆的半径为1 球心o到平面 的距离为则此球的体积为 解析 球半径所以球的体积为答案 6 2013 天津高考 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上 若球的体积为则正方体的棱长为 解析 设球半径为r 因为球的体积为所以又由球的直径与其内接正方体的对角线相等知正方体的对角线长为3 故其棱长为答案 考点1几何体的表面积 典例1 1 2013 重庆高考 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 a 180b 200c 220d 240 2 2014 温州模拟 长方体的三个相邻面的面积分别为2 3 6 这个长方体的顶点都在同一个球面上 则这个球的表面积为 a b 56 c 14 d 64 解题视点 1 根据三视图可还原原来的几何体 然后求出该几何体的表面积 2 利用三个相邻面的面积列出关于同一顶点引出的三条棱长的方程组 求出三条棱长 得到球的半径的平方 从而确定球的表面积 规范解答 1 选d 由三视图可知该几何体为底面为梯形的直四棱柱 如图 棱柱的底面为等腰梯形 高为10 等腰梯形的上底为2 下底为8 高为4 所以梯形的面积为 4 20 由三视图知 梯形的腰为梯形的周长为8 2 5 5 20 所以四棱柱的表面积为20 2 20 10 240 2 选c 设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a b c 则得令球的半径为r 则 2r 2 22 12 32 14 所以r2 所以s球 4 r2 14 易错警示 准确识图本例第 1 题在解题过程中易误将3作为等腰梯形的腰长 从而误求结果为200 在解决三视图问题时一定要准确识别图形中各线段的长度 互动探究 若本例 1 中的三视图不变 求该几何体的体积 解析 由三视图可知 该几何体为一个放倒的四棱柱 底面为梯形 由三视图可知该四棱柱的底面积为 2 8 4 20 高为10 故体积为20 10 200 规律方法 1 几何体表面积的求法 1 多面体 其表面积是各个面的面积之和 2 旋转体 其表面积等于侧面面积与底面面积的和 3 规则几何体 若所给的几何体是规则的柱体 锥体或台体 则可直接利用公式进行求解 4 若以三视图的形式给出 解题的关键是对给出的三视图进行分析 从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系 得到几何体的直观图 然后根据条件求解 2 旋转体侧面积的求法计算旋转体的侧面积时 一般采用转化的方法来进行 即将侧面展开化为平面图形来解决 因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法 变式训练 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 解析 由三视图可知 该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体 如图所示 长方体的长 宽 高分别为4 3 1 表面积为4 3 2 3 1 2 4 1 2 38 圆柱的底面圆直径为2 母线长为1 侧面积为2 1 1 2 圆柱的两个底面面积为2 12 2 故该几何体的表面积为38 2 2 38 答案 38 加固训练 1 2013 郑州模拟 如图是某宝石饰物的三视图 已知该饰物的正视图 侧视图都是面积为且一个内角为60 的菱形 俯视图为正方形 那么该饰物的表面积为 解析 选d 依题意得 该饰物是由两个完全相同的正四棱锥对接而成 正四棱锥的底面边长和侧面上的高均等于菱形的边长 因为菱形的面积为所以菱形的边长为1 因此该饰物的表面积为8 1 1 4 2 某几何体的三视图如图所示 该几何体的表面积是 解析 由几何体的三视图可知 该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱 如图所示 在四边形abcd中 作de ab 垂足为e 则de 4 ae 3 则ad 5 所以其表面积为2 2 5 4 2 4 4 5 4 5 4 4 92 答案 92 3 2013 新课标全国卷 已知正四棱锥o abcd的体积为底面边长为则以o为球心 oa为半径的球的表面积为 解析 设正四棱锥的高为h 则解得高又因为底面正方形的对角线长为所以所以球的表面积为4 2 24 答案 24 考点2几何体的体积 考情 空间几何体的体积的求解问题是近几年高考热点 其中以三视图为载体的空间几何体的体积问题备受命题者的青睐 试题主要考查体积公式的应用 常与正方体 长方体 棱锥 棱柱相结合 以选择题 填空题为主 主要考查学生的空间想象能力和计算能力 高频考点通关 典例2 1 2013 新课标全国卷 如图 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器 容器高8cm 将一个球放在容器口 再向容器内注水 当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的厚度 则球的体积为 2 2013 浙江高考 已知某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则该几何体的体积是 a 108cm3b 100cm3c 92cm3d 84cm3 解题视点 1 结合截面图形 构造直角三角形 利用勾股定理列出关于球半径的方程 求出球半径 再利用v r3求出球的体积 2 先由三视图确定该几何体的构成 再利用体积公式求解 规范解答 1 选a 设球的半径为r 由勾股定理可知 r2 r 2 2 42 解得r 5 所以球的体积v r3 53 cm3 2 选b 由三视图可知原几何体如图所示 通关锦囊 关注题型 通关题组 1 2014 台州模拟 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 a 16b 12c 8d 4 解析 选c 由三视图可知该几何体是由两个三棱柱构成的一个组合体 其体积为v 2 2 2 2 2 2 8 2 2013 北京高考 某四棱锥的三视图如图所示 该四棱锥的体积为 解析 此棱锥底面是边长为3的正方形 高为1 所以体积为 32 1 3 答案 3 3 2014 舟山模拟 已知两个圆锥有公共底面 且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上 若圆锥底面面积是这个球面面积的则这两个圆锥中 体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 解析 如图 设球的半径为r 圆锥的底面圆半径为r 则依题意得 r2 4 r2 所以 o co 30 所以oo 答案 加固训练 1 2014 玉溪模拟 已知球o的半径为球面上有a b c三点 如果ab ac 2 bc 则三棱锥o abc的体积为 解析 选d 由ab ac 2 bc 可知 abc为直角三角形 取bc的中点o 连接oo 与o a 如图所示 可知oo 为锥体的高 在rt o oa中 o a oa 所以oo 于是vo abc 2 2014 豫东十校联考 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 解析 原几何体是由圆柱的一半和球的四分之一组成 其体积为答案 3 2014 南京模拟 若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形 则此圆柱的体积为 解析 设圆柱的底面半径为r 高为h 底面积为s 体积为v 则有2 r 2 r 故底面面积s r2 2 故圆柱的体积v sh 答案 巧思妙解7 利用补形法巧解立体几何问题 典例 2014 温州模拟 如图 正四面体abcd的棱长为a 则这个四面体的外接球的体积为 解析 常规解法 如图所示 设正四面体abcd内接于球o 由a点向底面bcd作垂线 垂足为h 连接bh ob 则可求得在rt bho中 oh2 bh2 ob2 所以解得所以所以正四面体的外接球的体积是答案 巧妙解法 可将正四面体还原成一正方体 如图 所以球的直径为正方体的对角线长 设正方体的棱长为x 球的半径为r 则 所以r a 所以答案 解法分析 小试牛刀 如图所示 在等腰梯形abcd中 ab 2dc 2 dab 60 e为ab的中点 将 ade与 bec分别沿ed ec向上折起 使a b重合 则形成的三棱锥的外接球的表面积为 解析 常规解法 由已知条件知 平面图形中ae eb bc cd da de ec 1 折叠后得到一个正四面体 作a