高考数学总复习 第四章 第一节向量与向量的线性运算课件 文.ppt

第一节向量与向量的线性运算 第四章平面向量 数系的扩充与复数的引入 考纲要求 1 平面向量的实际背景及基本概念 1 了解向量的实际背景 2 理解平面向量的概念 理解两个向量相等的含义 3 理解向量的几何表示 2 向量的线性运算 1 掌握向量加法 减法的运算 并理解其几何意义 2 掌握向量数乘的运算及其意义 理解两个向量共线的含义 3 了解向量线性运算的性质及其几何意义 课前自修 知识梳理 一 平面向量的概念1 平面向量 平面内既有大小又有方向的量叫做向量 向量不能比较大小 但向量的模可以比较大小 2 零向量 长度为零的向量叫做零向量 记为0 其方向是任意的 0与任意向量平行 零向量a 0 a 0 由于0的方向是任意的 且规定0平行于任何向量 故在有关向量平行 共线 的问题中务必看清楚是否有 非零向量 这个条件 注意 0 与 0 的区别 3 单位向量 模为1个单位长度的向量叫做单位向量 向量a0为单位向量 a0 1 4 平行向量 共线向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 记作a b 由于向量可以进行任意的平移 即自由向量 平行向量总可以平移到同一直线上 故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量 只有大小 方向两个要素 起点可以任意选取 这里必须区分清楚共线向量中的 共线 与几何中的 共线 的含义 要理解好平行向量中的 平行 与几何中的 平行 是不一样的 5 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 相等向量经过平移后总可以重合 记为a b 2 向量的减法 1 相反向量 与a长度相等 方向相反的向量叫做a的相反向量 记作 a 零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量有 a a a a a a 0 若a b是互为相反向量 则a b b a a b 0 2 向量的减法 向量a加上b的相反向量叫做a与b的差 记作a b a b 求两个向量差的运算叫做向量的减法 3 作图法 a b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量 a b有共同起点 3 向量加 减法的 三角形法则 与 平行四边形法则 1 用平行四边形法则时 两个已知向量是要共始点的 和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线 而差向量是另一条对角线 方向是从减向量指向被减向量 2 三角形法则的特点是 首尾相接 由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和 差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时 用平行四边形法则 当两向量是首尾连接时 用三角形法则 4 实数与向量的积 1 实数 与向量a的积是一个向量 记作 a 它的长度与方向规定如下 a a 当 0时 a的方向与a的方向相同 当 0时 a的方向与a的方向相反 当 0时 a 0 方向是任意的 2 数乘向量满足交换律 结合律与分配律 三 两个向量共线定理向量b与非零向量a共线 有且只有一个实数 使得b a 基础自测 1 2012 惠州市调研 已知向量a b 则 a b 是 a b 0 的 条件 a 充分不必要b 必要不充分c 充要d 既不充分也不必要 解析 a b 只要求两向量共线 而 a b 0 要求反向共线且模相等 故选b 答案 b 3 2011 上海市黄浦区二模 已知e1 e2是平面上两个不共线的向量 向量a 2e1 e2 b me1 3e2 若a b 则实数m 6 考点探究 考点一 向量有关概念 结论的正误判断 例1 给出下列命题 若 a b 则a b 若a b c d是不共线的四点 则是四边形abcd为平行四边形的充要条件 若a b b c 则a c a b的充要条件是 a b 且a b 若a b b c 则a c 其中正确的序号是 点评 本例主要复习向量的基本概念 向量的基本概念较多 因而容易遗忘 为此 复习时一方面要构建良好的知识结构 正确理解向量的有关概念 另一方面要善于与物理中 生活中的模型进行类比和联想 变式探究 1 给出下列命题 时间 速度 加速度都是向量 向量的模是一个正实数 所有的单位向量都相等 共线向量一定在同一直线上 其中真命题的个数为 a 0b 1c 2d 3 解析 由向量 向量的模 共线向量的含义知 中时间不是向量 中模可为零 中单位向量方向不同则不等 中共线向量可以平行 不一定在同一直线上 故 均不对 故选a 答案 a 考点二 平面向量的线性运算 点评 在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中 根据向量的几何加减法则即平行四边形法则和三角形法则 能对图形中的向量进行互相表示 把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解 变式探究 考点三 平面图形中的向量问题 点评 向量的加法可以用几何法进行 正确理解向量的各种运算的几何意义 能进一步加深对 向量 的认识 并能体会用向量处理问题的优越性 变式探究 考点四 共线向量定理的应用 变式探究 课时升华 1 向量具有大小和方向两个要素 用有向线段表示向量时 与有向线段起点的位置没有关系 同向且等长的有向线段都表示同一向量 2 用平行四边形法则时 两个已知向量是要共始点的 和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线 而差向量是另一条对角线 方向是从减向量指向被减向量 3 三角形法则的特点是 首尾相接 由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和 差向量是两个向量始点重合时 从减向量的终点指向被减向量的终点 4 对于两个向量平行的充要条件 a b a b 只有b 0时才是正确的 而当b 0时 a b是a b的必要不充分条件 5 特别注意 1 向量的加法与减法是互逆运算 2 相等向量与平行向量有区别 向量平行是向量相等的必要条件 3 向量平行