高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修21 .ppt

2 2椭圆2 2 1椭圆及其标准方程 1 椭圆的定义 1 定义 平面内与两个定点f1 f2的距离之和等于 大于 f1f2 的点的轨迹 2 焦点 两个定点f1 f2 3 焦距 两焦点间的距离 f1f2 4 几何表示 mf1 mf2 常数 且2a f1f2 常数 2a 2 椭圆的标准方程 c 0 c 0 0 c 0 c a2 b2 c2 1 判一判 正确的打 错误的打 1 椭圆的两种标准方程中 虽然焦点位置不同 但都有a2 b2 c2 2 平面内到两个定点f1 f2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆 3 椭圆的特殊形式是圆 解析 1 正确 无论在哪种标准方程中 一定都有a2 b2 c2 2 错误 只有常数大于 f1f2 时 点的集合才是椭圆 3 错误 椭圆与圆的概念不同 没有特殊情况 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 a 5 c 3 焦点在x轴上的椭圆标准方程为 2 方程4x2 9y2 1的焦点坐标为 3 椭圆的方程为则a b c 解析 1 由a2 b2 c2 得b2 52 32 42 16 所以椭圆的方程为答案 2 由4x2 9y2 1 得所以所以焦点坐标为答案 3 由所以a2 9 b2 4 c2 5 所以a 3 b 2 c 答案 32 要点探究 知识点1椭圆的定义1 对椭圆定义的三点说明 1 椭圆是在平面内定义的 所以 平面内 这一条件不能忽视 2 定义中到两定点的距离之和是常数 而不能是变量 3 常数 2a 必须大于两定点间的距离 否则轨迹不是椭圆 这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件 2 椭圆定义的两个应用 1 若 mf1 mf2 2a 2a f1f2 则动点m的轨迹是椭圆 2 若点m在椭圆上 则 mf1 mf2 2a 知识拓展 椭圆的焦点三角形设m为椭圆上任意一点 不在x轴上 f1 f2为焦点 则 mf1f2为椭圆的焦点三角形 微思考 在椭圆的定义中 动点m到两定点f1 f2的距离之和等于常数 2a 且2a f1f2 若2a f1f2 则m的轨迹是什么 若2a f1f2 则m的轨迹是什么 提示 当2a f1f2 时 点m的轨迹是线段f1f2 当2a f1f2 时 点m的轨迹不存在 即时练 1 椭圆的左 右焦点分别为f1 f2 点p在椭圆上 若 pf1 4 则 pf2 2 已知椭圆的两焦点为f1 f2 弦ab过点f1 则 abf2的周长为 解析 1 由椭圆的定义知 pf1 pf2 6 所以 pf2 6 pf1 6 4 2 答案 22 由椭圆的定义知2a 10 abf2的周长为 ab af2 bf2 af1 af2 bf1 bf2 4a 20 答案 20 知识点2椭圆的标准方程对椭圆标准方程的三点认识 1 标准方程的几何特征 椭圆的中心在坐标原点 焦点在x轴或y轴上 2 标准方程的代数特征 方程右边为1 左边是关于的平方和 并且分母为不相等的正值 3 a b c三个量的关系 椭圆的标准方程中 a表示椭圆上的点m到两焦点间距离的和的一半 可借助图形帮助记忆 a b c 都是正数 恰是构成一个直角三角形的三条边 a是斜边 所以a b a c 且a2 b2 c2 如图所示 微思考 1 在椭圆的标准方程中a b c一定成立吗 提示 不一定 只要a b a c即可 b c大小关系不定 2 根据椭圆方程 如何确定焦点位置 提示 把方程化为标准形式 x2 y2的分母哪个大 焦点就在相应的轴上 即时练 椭圆25x2 16y2 400的焦点坐标为 焦距为 解析 把方程化为标准式 可知焦点在y轴上 则a2 25 b2 16 所以c2 25 16 9 则c 3 所以焦点为 0 3 焦距为2c 6 答案 0 3 6 题型示范 类型一求椭圆的标准方程 典例1 1 2014 邵阳高二检测 过点 3 2 且与有相同焦点的椭圆的方程是 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 两个焦点的坐标分别为 4 0 和 4 0 且椭圆经过点 5 0 焦点在y轴上 且经过两个点 0 2 和 1 0 经过点和点 解题探究 1 题 1 焦点在哪个轴上 2 题 焦点在x轴上的椭圆的标准方程是怎样的 题 焦点在y轴上的椭圆的标准方程是怎样的 题 焦点位置不确定 椭圆的标准方程应如何求 探究提示 1 椭圆的焦点在x轴上 因为已知方程中x2项的分母较大 2 a b 0 a b 0 应分焦点在x轴上 y轴上两种情况讨论求解 自主解答 1 选a 由方程可知 其焦点的坐标为即设所求椭圆方程为 a b 0 因为过点 3 2 代入方程为解得a2 15 a2 3舍去 故方程为 2 由于椭圆的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 a b 0 因为所以a 5 又c 4 所以b2 a2 c2 25 16 9 故所求椭圆的标准方程为 由于椭圆的焦点在y轴上 所以设它的标准方程为 a b 0 由于椭圆经过点 0 2 和 1 0 所以故所求椭圆的标准方程为 方法一 当焦点在x轴上时 设椭圆的标准方程为 a b 0 依题意有解得故所求椭圆的标准方程为 当焦点在y轴上时 设椭圆的标准方程为 a b 0 依题意有解得因为a b 0 所以无解 综上 所求椭圆的标准方程为 方法二 设所求椭圆的方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 依题意有解得所以所求的椭圆方程为 方法技巧 1 求椭圆方程的方法 2 椭圆方程的设法技巧若椭圆的焦点位置不确定 需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论 也可设椭圆的方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 变式训练 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 两个焦点的坐标分别是 2 0 2 0 椭圆上一点p到两焦点距离之和等于6 求椭圆的方程 2 椭圆的焦点为f1 0 5 f2 0 5 点p 3 4 是椭圆上的一个点 求椭圆的方程 解析 1 由椭圆的焦点坐标为 2 0 2 0 所以可设椭圆的方程为 a b 0 因为2a 6 2c 4 所以a 3 c 2 所以b2 a2 c2 5 所以所求点的轨迹方程为 2 因为焦点为f1 0 5 f2 0 5 可设椭圆方程为2a 所以a c 5 b2 40 25 15 所以椭圆方程为 补偿训练 已知椭圆 a b 0 上一点p 3 4 且两焦点分别为f1 f2 若pf1 pf2 试求椭圆方程 解题指南 由pf1 pf2 可得出求出c的值 再根据点p在椭圆上 且a2 b2 c2 建立a b的方程组 求出a b的值 解析 因为椭圆经过点p 3 4 所以又a2 b2 c2 设f1 c 0 f2 c 0 则因为pf1 pf2 所以 所以即9 c2 16 所以c2 25 所以c 5 由 可得所以a2 45 b2 20 故所求椭圆方程为 类型二与椭圆有关的轨迹问题 典例2 1 已知点m在椭圆上 mp 垂直于椭圆焦点所在的直线 垂足为p 并且m为线段pp 的中点 则p点的轨迹方程为 2 2013 新课标全国卷 改编 已知圆m x 1 2 y2 1 圆n x 1 2 y2 9 动圆p与圆m外切并且与圆n内切 圆心p的轨迹为曲线c 求c的方程 解题探究 1 题 1 动点p与哪个动点有关 本题可采用什么方法求动点p的轨迹方程 2 两圆外切时能得到什么条件 内切时能得到什么条件 探究提示 1 动点p与点m有关 因为点m在已知椭圆上运动 所以本题可采用代入法求动点p的轨迹方程 2 两圆外切 两圆的圆心距等于半径之和 两圆内切 两圆的圆心距等于半径差的绝对值 自主解答 1 设点p的坐标为 x y m点的坐标为 x0 y0 因为点m在椭圆上 所以因为m是线段pp 的中点 所以把代入得即x2 y2 36 所以点p的轨迹方程为x2 y2 36 答案 x2 y2 36 2 由已知得圆m的圆心为m 1 0 半径r1 1 圆n的圆心为n 1 0 半径r2 3 设圆p的圆心为p x y 半径为r 动圆p与圆m外切并且与圆n内切 所以 pm pn r r1 r2 r r1 r2 4 由椭圆定义可知 曲线c是以m n为左 右焦点 长半轴长为2 短半轴长为的椭圆 左顶点除外 其方程为 x 2 方法技巧 求解与椭圆相关的轨迹问题的方法 变式训练 已知两定点f1 1 0 f2 1 0 且 f1f2 是 pf1 与 pf2 的等差中项 则动点p的轨迹方程是 解析 选c 因为 f1f2 是 pf1 和 pf2 的等差中项 所以 pf1 pf2 2 f1f2 2 2 4 f1f2 所以p的轨迹应是以f1 f2为焦点的椭圆 这里c 1 a 2 所以轨迹方程为 补偿训练 求过点p 3 0 且与圆x2 6x y2 91 0相内切的动圆圆心的轨迹方程 解析 圆方程配方整理得 x 3 2 y2 102 圆心为c1 3 0 半径为r 10 设所求动圆圆心为c x y 半径为r 依题意有消去r得r pc cc1 pc cc1 r 即 pc cc1 10 又p 3 0 c1 3 0 且 pc1 6 10 可见c点是以p c1为两焦点的椭圆 且c 3 2a 10 所以a 5 从而b 4 故所求的动圆圆心的轨迹方程为 类型三求参数的取值范围 典例3 1 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆 则m的取值范围为 2 2014 抚顺高二检测 已知x2sin y2cos 1 0 表示焦点在x轴上的椭圆 求 的取值范围 解题探究 1 题 1 已知椭圆标准方程为其中m n应满足什么条件 2 题 2 如何将x2sin y2cos 1化成标准形式 探究提示 1 m n应满足条件若焦点在x轴上 应有m n 若焦点在y轴上 应有m n 2 当sin 0 cos 0时 方程x2sin y2cos 1可化为 自主解答 1 由题意得 即所以答案 2 由题意可将已知方程化为因为椭圆的焦点在x轴上 所以即又因为0 所以即所求 的取值范围是 延伸探究 若把题 1 中方程改为其余条件不变 求m的取值范围 解析 由题意得 当m 0时 所以 当m 0时 所以m 1 所以m的取值范围是 方法技巧 求参数取值范围的方法 1 求参数的范围就是根据条件列出参数为未知量的不等式 组 或方程 组 把问题转化为不等式 组 或方程 组 的求解问题 2 对于椭圆 如果焦点所在的位置不确定 就需分两种情况分别列式求解 变式训练 2014 济宁高二检测 椭圆5x2 ky2 5的一个焦点是 0 2 那么实数k的值为 a 25b 25c 1d 1 解析 选d 由5x2 ky2 5 得因为一个焦点是 0 2 所以得k 1 补偿训练 如果方程表示焦点在x轴上的椭圆 则实数a的取值范围是 a a 3b a 2c a 2或a 3d 6 a 2或a 3 解析 选d 因为方程表示焦点在x轴上的椭圆 所以有解得a 3或 6 a 2 易错