高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 正弦定理、余弦定理课件 文 苏教版.ppt

4 6正弦定理 余弦定理 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 正弦定理 余弦定理在 abc中 若角a b c所对的边分别是a b c r为 abc外接圆半径 则 知识梳理 b2 c2 2bccosa c2 a2 2cacosb a2 b2 2abcosc 2rsinb 2rsinc sina sinb sinc 2 在 abc中 已知a b和a时 解的情况如下 3 三角形常用面积公式 1 三角形内角和定理在 abc中 a b c 2 三角形中的三角函数关系 1 sin a b sinc 2 cos a b cosc 3 三角形中的射影定理在 abc中 a bcosc ccosb b acosc ccosa c bcosa acosb 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 三角形中三边之比等于相应的三个内角之比 2 在 abc中 若sina sinb 则a b 3 在 abc的六个元素中 已知任意三个元素可求其他元素 4 当b2 c2 a2 0时 三角形abc为锐角三角形 6 在三角形中 已知两边和一角就能求三角形的面积 考点自测 1 教材改编 在 abc中 a 2 a 30 c 45 则 abc的面积s abc 答案 解析 2 教材改编 在 abc中 a 60 b 75 a 10 则c 答案 解析 由a b c 180 知c 45 3 教材改编 在 abc中 a 60 ac 2 bc 则ab 答案 解析 1 方法一在 abc中 根据余弦定理 即bc2 ab2 ac2 2 ab ac cos60 得 2 ab2 22 2ab 2 cos60 整理得ab2 2ab 1 0 解得ab 1 方法二在 abc中 根据正弦定理 因为b 0 180 所以b 90 4 在 abc中 角a b c对应的边分别为a b c 若a 120 a 2 b 则b 答案 解析 5 教材改编 在 abc中 已知cb 7 ac 8 ab 9 则ac边上的中线长为 答案 解析 7 设ac边上的中线长为x 由余弦定理知 x 7 故所求中线长为7 题型分类深度剖析 题型一利用正弦定理 余弦定理解三角形 7 答案 解析 证明 则a ksina b ksinb c ksinc 变形可得sinasinb sinacosb cosasinb sin a b 在 abc中 由a b c 有sin a b sin c sinc 所以sinasinb sinc 解答 由 知 sinasinb sinacosb cosasinb 应用正弦 余弦定理的解题技巧 思维升华 3 已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解 4 灵活利用式子的特点转化 如出现a2 b2 c2 ab形式用余弦定理 等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理 答案 解析 边化角 2 在 abc中 内角a b c的对边长分别为a b c 已知a2 c2 b 且sin a c 2cosasinc 则b 答案 解析 2 角化边 由题意 得sinacosc cosasinc 2cosasinc 即sinacosc 3cosasinc 整理得2 a2 c2 b2 又a2 c2 b 联立 得b 2 题型二和三角形面积有关的问题例2 2016 南通模拟 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c a b c a b c ab 1 求角c的大小 解答 在 abc中 由 a b c a b c ab 2 若c 2acosb b 2 求 abc的面积 解答 方法一因为c 2acosb 由正弦定理 得sinc 2sinacosb 因为a b c 所以sinc sin a b 所以sin a b 2sinacosb 即sinacosb cosasinb 0 即sin a b 0 所以a b 0 即a b 所以a b 2 所以 abc的面积为 方法二由c 2acosb及余弦定理 化简得a b 思维升华 2 与面积有关的问题 一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 跟踪训练2在 abc中 内角a b c所对的边分别是a b c 若c2 a b 2 6 c 则 abc的面积是 答案 解析 c2 a b 2 6 c2 a2 b2 2ab 6 由 得 ab 6 0 即ab 6 题型三正弦定理 余弦定理的简单应用命题点1判断三角形的形状例3 1 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 若 cosa 则 abc的形状为三角形 钝角 答案 解析 所以sinc sinbcosa 即sin a b sinbcosa 所以sinacosb 0 因为在三角形中sina 0 所以cosb 0 即b为钝角 所以 abc为钝角三角形 2 设abc的内角a b c所对边的长分别为a b c 若b c 2a 3sina 5sinb 则 abc的形状为三角形 钝角 答案 解析 由3sina 5sinb及正弦定理得3a 5b 从而 abc为钝角三角形 引申探究1 例3 2 中 若将条件变为2sinacosb sinc 判断 abc的形状 解答 2sinacosb sinc sin a b 2sinacosb sinacosb cosbsina sin a b 0 又a b为 abc的内角 a b abc为等腰三角形 2 例3 2 中 若将条件变为a2 b2 c2 ab 且2cosasinb sinc 判断 abc的形状 解答 又由2cosasinb sinc得sin b a 0 a b 故 abc为等边三角形 命题点2求解几何计算问题 解答 1 求cd的长 因为tan adc 2 且 adc 0 在 adc中 由正弦定理得 2 求 bcd的面积 解答 bd2 bc2 cd2 2bc cd cos bcd 得bc2 2bc 35 0 解得bc 7 在 bdc中 由余弦定理得 1 判断三角形形状的方法 化边 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 化角 通过三角恒等变换 得出内角的关系 从而判断三角形的形状 此时要注意应用a b c 这个结论 2 求解几何计算问题要注意 根据已知的边角画出图形并在图中标示 选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理 思维升华 答案 解析 2 2015 课标全国 在平面四边形abcd中 a b c 75 bc 2 则ab的取值范围是 答案 解析 如图所示 延长ba与cd相交于点e 过点c作cf ad交ab于点f 则bf ab be 在等腰三角形cbf中 fcb 30 cf bc 2 在等腰三角形ecb中 ceb 30 ecb 75 二审结论会转换 审题路线图系列 规范解答 审题路线图 返回 返回 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 答案 解析 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 2016 盐城模拟 设 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 若bcosc ccosb asina 且sin2b sin2c 则 abc的形状为三角形 答案 解析 等腰直角 由bcosc ccosb asina 得sinbcosc sinccosb sin2a sin b c sin2a 即sina sin2a 在三角形中sina 0 sina 1 a 90 由sin2b sin2c 知b c 综上可知 abc为等腰直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 在 abc中 已知b 40 c 20 c 60 则此三角形的解的情况是有解 填0 1 2 答案 解析 0 角b不存在 即满足条件的三角形不存在 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 直角 答案 解析 故 abc是直角三角形 即a2 b2 c2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 如图 正方形abcd的边长为1 延长ba至e 使ae 1 连结ec ed 则sin ced 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意得eb ea ab 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 且满足asinb bcosa 若a 4 则 abc周长的最大值为 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由余弦定理得a2 16 b2 c2 2bccosa 则 b c 2 64 即b c 8 当且仅当b c 4时等号成立 abc周长 a b c 4 b c 12 即最大值为12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 2016 苏锡常镇一调 若一个钝角三角形的三内角成等差数列 且最大边与最小边之比为m 则实数m的取值范围是 答案 解析 2 由三角形的三个内角成等差数列 得中间角为60 设最小角为 则最大角为120 其中0 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 若 b c且7a2 b2 c2 则 abc的面积的最大值为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 2015 湖南 设 abc的内角a b c的对边分别为a b c a btana 1 证明 sinb cosa 证明 a 2rsina b 2rsinb 代入a btana得 又 a 0 sina 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 2015 陕西 abc的内角a b c所对的边分别为a b