三次函数 性质大全.doc

三次函数性质大全本文从三个专题（专题一 三次函数的图象及单调性，专题二 三次函数的对称性，专题三 三次函数切线问题）来介绍三次数的性质，对同学们学习三次函数大有帮助，可以解绝三次函数涉及到的高考题，是能够充分准备，应对高考。专题一 三次函数的图象及单调性,当时，函数是单调增函数，或单调减函数，当时，设的两根分别为则原函数时函数图象 （先上升） 时函数图象（先下降） 1.时在或单调递增；在单调递减在处取得极大值，在处取得极小值2.时在或单调递减；在单调递增在处取得极小值，在处取得极大值注意：三次函数f(x)有极值导函数的判别式3.一般地在导数有两根且时，在处有；在处有， 4 .三次方程根的个数问题，由三次函数图象极易得到以下结论: 若为三次函数,其导数为,则:若或恒成立,则仅有一实数解。若有两个不等实数解则: 若,则有一实数解. 若,则有二个不等实数解. 若,则有三个不等实数解.(注:、可进一步推广) 例1.讨论关于的方程根的个数.解：=0解为:或当a=1时, 此时=,所以=0仅有一实数解.当a1时, 此时=0有两个不等实根:1,a,若0即 时,则=0有一个不等实数解.若=0即 时,则=0有二个不等实数解.若0即 则或 所以当或时,y=与x轴仅有一个交点.例3.(08年四川高考题) 已知是函数的一个极值点。求； 求函数的单调区间；若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。解：的单调增区间是; 的单调减区间是令, 则得x=1或x=3因为直线与函数的图象有3个交点, 则所以 即因此，的取值范围为。(注:本题利用的是结论的推广)4（2013延庆县一模）已知函数f（x）=ax3+bx22（a0）有且仅有两个不同的零点x1，x2，则（ ）A当a0时，x1+x20，x1x20B当a0时，x1+x20，x1x20C当a0时，x1+x20，x1x20D当a0时，x1+x20，x1x20解：原函数的导函数为f（x）=3ax2+2bx=x（3ax+2b），令f（x）=0，可解得x=0，或x=，故当x=0，或x=时，函数取得极值，又f（0）=20，所以要使函数f（x）=ax3+bx22（a0）有且仅有两个不同的零点，则必有f（）=a+b2=0，解得，且b0，即函数的一根为x1=，（1）如下图，若a0，可知x1=0，且为函数的极大值点，x=x2处为函数图象与x轴的交点，此时函数有2个零点：，x20，显然有x1x20，则f（）=a+b2=2=80，故可排除C，D；（2）如图2，若a0，必有x1=0，此时必有x1x20，x1=的对称点为x=，则f（）=a+b2=2=80，则必有x2，即x20，即x1+x20故选B5b已知函数f（x）=x33a2x6a2+4a（a0）有且仅有一个零点x0，若x00，则a的取值范围是（ ）A（0，1） B（1，2） C（0，2） D（0，1解：令f（x）=3x23a2=3（xa）（x+a）=0，解得x1=a，x2=a，其中a0，所以函数的单调性和单调区间如下：x（，a），f（x）递增；x（a，a），f（x）递减；x（a，+），f（x）递增因此，f（x）在x=a处取得极大值，在x=a处取得极小值，结合函数图象，要使f（x）只有一个零点x0，且x00，只需满足：f（x）极大值=f（a）0，即a3+3a36a2+4a0，整理得a（a1）（a2）0，解得，a（1，2），故选B6已知函数f（x）=x3+bx2b3（b0），有且仅有两个不同的零点x1，x2，则（）Ax1+x20，x1x20 Bx1+x20，x1x20Cx1+x20，x1x20 Dx1+x20，x1x20解：f（x）=3x2+2bx，由f（x）=0得到x=0或b，f（x）在（，0）递减，在（0，b）递增，在（b，+）递减，画出函数f（x）的图象，如图示：，由图象得：x10，x2=b0，x1x20，又f（b）=b30，x1b，x1+x20，故选：A专题二 三次函数的对称性我们知道，二次函数是轴对称图形，其对称轴方程式是。三次函数是奇函数，其图象关于点对称，三次函数的图象关于点对称，那么对于一般的三次函数有没有对称中心呢？答案是肯定的，有对称中心，其对称中心是。下面给出证明。证明1：二次函数通过配方可以消去一次项。类似得，三次函数通过配方可以消去二次项。而的图象关于对称。证明2：设函数的对称中心为（m，n）。按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得： 上式对恒成立，故，得，所以，函数的对称中心是。下面的高考题用到三次函数的对称性，如果不熟悉这个知识解决起来就很困难。已知，且.现给出如下结论：；.其中正确结论的序号是_.计算，,通过数据估值例1（2004高考，浙江，理（11）题）（11）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）解：根据图象特征，不防设是三次函数，则的图象给出了如下信息：导函数方程两根是0，2（对称中心的横坐标是1）在上；在或上由可排除B、D，由确定选C纵观上述，三次函数的对称中心问题还是比较容易掌握的，而处或的对称轴就是对称中心的横坐标，且经过对称中心的切线有且有一条。例2 （）已知函数，其图象记为曲线.（i）求函数的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数，曲线C与其在点处的切线交于另一点，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段与曲线所围成的封闭图形的面积分别记为，则为定值。（）对于一般的三次函数请给出类似于（）（ii）的正确命题，并予以证明。（2010福建理）例3（2010福建）（）已知函数 ,其图像记为曲线.（i）求函数的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数 ,曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线C与其在点P2处的切线交于另一点，线段,与曲线所围成封闭图形的面积分别记为则为定值；（）对于一般的三次函数,请给出类似于（）（ii）的正确命题，并予以证明。解法一：（）有得当时，当时，因此，的单调增区间为，单调减区间为（）曲线在点处的切线方程为即由得即，解得或故进而有用代替,重复上述计算过程，可得和。又，所以,因此有（）记函数）的图像为曲线，类似于（）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于的实数,曲线与其在点处的切线交于另一点,曲线与其在点处的切线交于另一点，线段,与曲线所围成封闭图形的面积分别记为则为定值；证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线的对称中心平移至原点，因而不妨设且，类似于（）（ii）的计算可得， 故解法二：（）同解法一。（）记函数）的图像为曲线，类似于（）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于的实数,曲线与其在点处的切线交于另一点,曲线与其在点处的切线交于另一点，线段,与曲线所围成封闭图形的面积分别记为则为定值；证明如下：由得 所以曲线 在点处的切线方程为由得或，即故用代替，重复上述计算过程，可得 和。又所以故证明：（）略（）记函数的图象为曲线，类似于（）（）的正确命题为：若对任意不等于的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段与曲线所围成的封闭图形的面积分别记为，则为定值。证明如下，因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线的对称中心平移至坐标原点，因而不妨设，类似（）（）的计算可得，故例4（2010福建文）已知函数的图像在点处的切线方程为()求实数的值；()设是上的增函数。KS*5U.C#O（i）求实数的最大值；(ii)当m取最大值时，是否存在点，使得过点的直线若能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。KS*5U.C#O解法一：（）由及题设得即。（）（）由得。是上的增函数， 在上恒成立，即在上恒成立。设。，即不等式在上恒成立当时，不等式在上恒成立。当时，设，因为，所以函数在上单调递增，因此。，即。又，故。综上，的最大值为3。（）由（）得，其图像关于点成中心对称。证明如下：因此，。上式表明，若点为函数在图像上的任意一点，则点也一定在函数的图像上。而线段中点恒为点，由此即知函数的图像关于点成中心对称。这也就表明，存在点，使得过点的直线若能与函数的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。解法二：（）同解法一。（）（）由得。是上的增函数， 在上恒成立，即在上恒成立。设。，即不等式在上恒成立。所以在上恒成立。令，可得，故，即的最大值为3.（）由（）得，将函数的图像向左平移1个长度单位，再向下平移个长度单位，所得图像相应的函数解析式为，。由于，所以为奇函数，故的图像关于坐标原点成中心对称。由此即得，函数的图像关于点成中心对称。这也表明，存在点，是得过点的直线若能与函数的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。(ii)方法二：由（i）得，其图象关于点成中心对称，证明如下： 因此上式表明，若点为函数图象上的任意一点，则点也一定在函数的图象上，而线段中点恒为点，由此知函数的图象关于点成中心对称。这也就表明,存在点，使得过点的直线若能与函数的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。解决这两个题都用到了三次函数的对称中心。三次函数是高考，竞赛中的一个重要函数，我们应该对这个函数认真研究，认真总结。 专题三 三次函数切线问题三次函数的切线蕴含着许多美妙的性质，用导数方法探求切线的性质，为分析问题和解决问题提供了新的视角、新的方法，不仅方便实用，而且三次函数的切线性质变得十分明朗.纵览近几年高考数学试题，三次函数的切线问题频频出现，本文给出三次函数切线的三个基本问题.一、已知斜率为与三次函数图象相切的切线三次函数1、,斜率时，有且只有一条切线；时，有两条不同的切线；时，没有切线；2、,斜率时，有且只有一条切线；时，有两条不同的切线；时，没有切线；证明 1、 当时，当 时，方程有两个相同解，所以斜率为的切线有且只有一条；其方程为：当时，方程，有两个不同的解，且=-，即存在两个不同的切点，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称。所以斜率为的切线有两条。当时，方程无实根，所以斜率为的切线不存在。2、时，读者自己证明。一、过三次函数上一点的切线问题。设点P为三次函数图象上任一点，则过点P一定有直线与的图象相切。若点P为三次函数图象的对称中心，则过点P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心，则过点P有两条不同的切线。证明 设 过点P的切线可以分为两类。1、 P为切点 ， 切线方程为：P不是切点，过P点作图象的切线，切于另一点Q（） 又 （1） 即 代入（1）式得 讨论：当时，得，当时，两切线重合，所以过点P有且只有一条切线。 当时，所以过点P有两条不同的切线。其切线方程为： 由上可得下面结论：过三次函数上异于对称中心的任一点作图象的切线，切于另一点，过作图象的切线切于，如此继续，得到点列-，则，且当时，点趋近三次函数图象的对称中心。证明：设过与图象切于点的切线为， 又 = 即 设 则 数列是公比为的等比数列， 即 。 （2）过三次函数外一点的切线问题。设点为三次函数图象外，则过点一定有直线与图象相切。（1）若则过点恰有一条切线；（2） 若且，则过点恰有一条切线；（3） 若且=0，则过点有两条不同的切线；（4）若且，则过点有三条不同的切线。其中证明 设过点作直线与图象相切于点则切线方程为 把点代入得：，设令则因为恰有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数或两极值同号，所以或且时，过点恰有一条切线。有两个不同实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以且=0时，过点有两条不同的切线。有三个不同实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号。所以且时，过点有三条不同的切线。例1、已知函数，求过点的切线方程。解：，若A是切点，则切线方程为若A不是切点，设切点为，则切线方程为，将代入得，所以切点为，则切线方程为。小结：求切线方程步骤，先判断点是否在曲线上，如不在曲线上，则参照第二小步设切点坐标，若在曲线上，讨论已知点是否为切点，若为切点，由导数可直接求得斜率。例2 已知曲线，求曲线在点处的切线方程解：，曲线在点处的切线斜率为代入直线方程的斜截式，得切线方程为，即 变式：已知曲线，则曲线过点的切线方程_。错解：依上题做法，直接填上答案错因分析：因为求过曲线上某点的切线方程，不一定这点就是切点，这与圆的切线是有不同的。本题点在曲线上，所以求过点（2，4）的切线，点（2，4）可以是切点也可以不是。正确解法：设过点的切线对应的切点为，斜率为，切线方程为即点的坐标代入，得， 又, 解得 或所以过（2，4）的切线方程为或 点评：“在点”处的切线方程和“过点”的切线方程是不同的。例3、（2010湖北文数）设函数，其中a0，曲线在点P（0，）处的切线方程为y=1（）确定b、c的值。（）设曲线在点（）及（）处的切线都过点（0,2）证明：当时，（）若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，求的取值范围。由得：，又由曲线在点处的切线方程为,，故（），由于在点处的切线方程为 而点在切线上，所以，化简得，即满足方程下面用反证法，假设由于曲线在点及处的切线都过点则下列等式成立由得，由得又由得，此时，与矛盾所以（）由（）知，若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，等价于方程有三个相异的实根，方程有三个相异的实根，设则，由于，故有增极大值减极小值增由的单调性知，要使有三个相异的实根，当且仅当，则的取值范围是例4、已知函数,且 (1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；（2）令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：（I）若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点Q(n ,f(n), x n1时, ,当x变化时，与的变化情况如下表：x+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为 综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.()由得令得由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。观察的图象，有如下现象：当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差的值由正连续变为负。线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与的m正负有着密切的关联；=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；线段MP的斜率,当=0时，解得直线MP的方程为 令当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。当时，.所以存在使得即当MP与曲线有异于M,P的公共点 综上，t的最小值为2.（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为解法二：（1）同解法一.（2）由得，令，得由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N() () 直线MP的方程为由得线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(1,m)上有根,即函数上有零点.因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.等价于 即又因为,所以m 的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的r的最小值为2.课后练习题1、曲线在点处的切线方程是 。解：由，得，所以所求的切线方程为，即。2、已知曲线C：，则经过点的曲线C的切线方程是 。2、错解：由，得，所以所求的切线方程为，即。 错因剖析：此处所求的切线只说经过P点，而没说P点一定是切点，于是切线的斜率与不一定相等。正解：设经过点P（1，2）的直线与曲线C相切于点，则由，得在点处的斜率，有在点处的切线的方程为。又因为点与点P（1，2）均在曲线C上，有，消去得，解得或，于是或，所以所求切线方程为或。3、已知曲线C：的一条切线方程为，则实数的值等于 。设切点坐标为，则，又，得或2。再消去得，于是得或4。已知函数在处取得极值。（）求函数f(x)的解析式；（）求证：对于区间1，1上任意两个自变量的值，都有；（）若过点A（1，m）（m2）可作曲线y=f(x