高中数学 第二讲 反证法与放缩法课件 新人教A版选修45.ppt

三反证法与放缩法 1 反证法 先假设 以此为出发点 结合已知条件 应用 等 进行正确的推理 得到和 或已证明的定理 性质 明显成立的事实等 矛盾的结论 以说明假设不正确 从而证明 我们把它称为反证法 要证的命题不成立 公理 定义 定理 性质 原命题成立 命题的条件 2 放缩法 证明不等式时 通过把不等式中的某些部分的值 或 简化不等式 从而达到证明的目的 我们把这种方法称为放缩法 放大 缩小 1 用反证法证明时 导出矛盾有哪几种可能 提示 1 与原命题的条件矛盾 2 与假设矛盾 3 与定义 公理 定理 性质矛盾 4 与客观事实矛盾 2 用反证法证明命题 若p则q 时 q假 q即为真吗 提示 是的 在证明数学问题时 要证明的结论要么正确 要么错误 二者中居其一 q是q的反面 若 q为假 则q必为真 3 设a b是两个实数 给出下列条件 1 a b 1 2 a b 2 3 a b 2 4 a2 b2 2 5 ab 1 其中能推出 a b中至少有一个大于1 的条件是 填序号 解析 1 可取a 0 5 b 0 6 故不正确 2 a b 2 可取a 1 b 1 故不正确 3 a b 2 则a b中至少有一个大于1 正确 4 a2 b2 2 可取a 2 b 1 故不正确 5 ab 1 可取a 2 b 1 故不正确 答案 3 1 常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设对某些数学语言的否定假设要准确 以免造成原则性的错误 2 放缩法证明不等式的理论依据 1 不等式的传递性 2 等量加不等量为不等量 3 同分子 分母 异分母 分子 的两个分式大小的比较 类型一用反证法证明否定性问题 典型例题 1 否定 自然数a b c不都是偶数 时 正确的假设为 2 已知三个正数a b c成等比数列 但不成等差数列 求证 不成等差数列 解题探究 1 不都是 的否定是什么 2 题2中 不成等差数列 的反面是什么 探究提示 1 不都是的否定是 都是 2 不成等差数列 的反面是 成等差数列 解析 1 自然数a b c不都是偶数 的否定是 自然数a b c都是偶数 答案 自然数a b c都是偶数 2 假设成等差数列 则即又三个正数a b c成等比数列 所以b2 ac 即所以即所以所以即a c 从而a b c 这与已知中a b c不成等差数列矛盾 所以原假设错误 故不成等差数列 拓展提升 用反证法证明的一般步骤 1 假设命题的结论不成立 即假设结论的反面成立 2 从这个假设出发 经过推理论证 得出矛盾 3 由矛盾判定假设不正确 从而肯定命题的结论正确 变式训练 如果a b 0 求证 证明 假设不成立 则若则a b 与已知a b矛盾 若则a b 与已知a b矛盾 故假设不成立 结论成立 类型二用反证法证 至多 至少 型问题 典型例题 1 若二次函数f x 4x2 2 p 2 x 2p2 p 1在区间 1 1 内至少有一个值c 使f c 0 则实数p的取值范围是 2 已知a b c d r 且a b c d 1 ac bd 1 求证 a b c d中至少有一个是负数 解题探究 1 若函数f x 在 1 1 内至少有一个值c 使f c 0 的反设是什么 2 a b c d中至少有一个是负数 的反面是什么 探究提示 1 f x 在 1 1 内不存在值c 使f c 0 2 a b c d中至少有一个是负数 的反面是 a b c d都是非负数 解析 1 假设在 1 1 内没有值满足f c 0 则所以所以p 3或p 取补集为答案 2 假设a b c d都是非负数 因为a b c d 1 所以 a b c d 1 而 a b c d ac bc ad bd ac bd 所以ac bd 1 这与ac bd 1矛盾 所以假设不成立 故a b c d中至少有一个是负数 互动探究 若将题1中 f c 0 改为 f c 0 求实数p的取值范围 解析 假设在内没有值满足f c 0 即在 1 1 内的所有值都有f c 0 由对称轴当即p 2时 需f 1 0 即4 2 p 2 2p2 p 1 0 解得此时无解 当 即 2 p 6时 需即9p2 0 解得p 0 符合题意 当即p 6时 需f 1 0 即4 2 p 2 2p2 p 1 0 解得 此时无解 综上所述 p的取值范围是p 0 取补集为 p p 0 所以p的取值范围为 p p 0 拓展提升 至多 至少 型问题的证明方法在证明中含有 至多 至少 最多 等字眼时 若正面难以找到解题的突破口 可转换视角 用反证法证明 在用反证法证明的过程中 由于作出了与结论相反的假设 相当于增加了题设条件 因此在证明过程中必须使用这个增加的条件 否则将无法推出矛盾 变式训练 1 2013 台州高二检测 用反证法证明 方程ax2 bx c 0 a 0 至多有两个解 的假设中 正确的是 a 至多有一个解b 有且只有两个解c 至少有三个解d 至少有两个解 解析 选c 因为要用反证法证明命题 只需要对结论加以否定即可 因此正确的是至少有三个解 选c 2 已知f x x2 bx c 求证 f 1 f 2 f 3 中至少有一个不小于 解题指南 本题是一个 至少 型的问题 用反证法证明较简单 不小于 的否定是 小于 问题转化为三个绝对值的式子小于同时成立 解绝对值不等式组 判断是否能推出一个矛盾结论 证明 方法一 假设则与 矛盾 所以假设不成立 所以 f 1 f 2 f 3 中至少有一个不小于 方法二 假设 f 1 f 2 f 3 都小于 则 f 1 2 f 2 f 3 2 而 f 1 2 f 2 f 3 f 1 f 3 2f 2 f 1 f 3 2f 2 1 b c 9 3b c 2 4 2b c 2 两式显然矛盾 所以假设不成立 所以 f 1 f 2 f 3 中至少有一个不小于 类型三放缩法证明不等式 典型例题 1 已知 n是大于2的自然数 则有 a s 1b 2 s 3c 1 s 2d 3 s 42 证明 解题探究 1 题1分式如何放缩 2 题2能否用等差 或等比 数列求和来解答 探究提示 1 分母缩小 分子不变 2 它既不是等差数列 也不是等比数列 所以不能用数列求和来解答 解析 1 选c 由得又因为故选c 2 因为所以则有 将这些式子相加可得 拓展提升 放缩法证明不等式的技巧放缩法就是将不等式的一边放大或缩小 寻找一个中间量 如将a放大成c 即a c 后证c b 常用的放缩技巧有 1 舍掉 或加进 一些项 2 在分式中放大 或缩小 分子 或分母 3 应用基本不等式进行放缩 变式训练 已知求证 证明 因为所以 从而 规范解答 放缩法证明不等式 典例 12分 条件分析 规范解答 因为 5分 同理 8分由于x y z不全为零 故上述三式中至少有一个取不到等号 所以三式相加得 12分 失分警示 防范措施 正确利用放缩法证明不等式放缩法原理很简单 但技巧性较强且有时还会有 危险 因为放大或缩小过头 就会出现错误的结论 而达不到预期的目的 因此在使用放缩法时 应注意放缩的 度 如本例中 处的放缩 类题试解 设求证 不等式对所有的正整数n都成立 证明 因为且所以对所有的正整数n都成立 1 应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用 结论的否定 已知条件 公理 定理 定义等 原结论 a b c d 解析 选c 由反证法的基本思想可知c正确 2 用反证法证明命题 三角形的三个内角中至少有一个大于等于60 时 反设正确的是 a 三个内角都小于60 b 三个内角都大于60 c 三个内角中至多有一个大于60 d 三个内角中至多有两个大于60 解析 选a 至少有一个 的否定是 一个都没有 则反设为 三个内角都小于60 3 设则 a m 1b m 1c m 1d m与1大小关系不定 解析 选b 分母全换成210 共有210项 即 4 用反证法证明 一个三角形不能有两个直角 有三个步骤 a b c 90 90 c 180 这与三角形内角和为180 矛盾 故假设错误 所以一个三角形不能有两个直角 假设 abc中有两个直角 不妨设 a 90 b 90 上