高中数学 第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积课件 新人教B版必修2.ppt

1 1 6棱柱 棱锥 棱台和球的表面积 1 了解棱柱 棱锥 棱台和球的表面积计算公式 不要求记忆公式 2 理解直棱柱 正棱锥 正棱台的侧面积公式的推导过程 3 会求简单几何体的侧面积和表面积 1 2 3 名师点拨斜棱柱的侧面积需先计算出各个侧面的面积之后再求和 也可以先作出斜棱柱的直截面 与棱柱的侧棱垂直的截面 设其周长为c 侧棱长为l 则s斜棱柱侧 c l 1 2 3 答案 b 1 2 3 做一做1 2 已知棱长为1 各面都是正三角形的四面体 则它的表面积是 1 2 3 1 2 3 2 圆柱 圆锥 圆台的表面积 1 圆柱 圆锥 圆台的侧面积公式 s圆柱侧 cl 2 rl 其中l为圆柱的母线长 c为底面圆的周长 r为底面圆的半径 1 2 3 2 圆柱 圆锥 圆台的表面积公式 圆柱表面积 s圆柱 2 r2 2 rl 2 r r l 圆锥表面积 s圆锥 r2 rl r r l 圆台表面积 s圆台 r 2 r2 r l rl 知识拓展表面积是几何体表面的面积 它表示几何体表面的大小 有时表面积又称为全面积 通常把几何体的表面展成平面图形 利用平面图形来求几何体的表面积 侧面积是指侧面的面积 与表面积不同 一般地 表面积 侧面积 底面积 利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题 是解决立体几何问题的常用手段 1 2 3 做一做2 1 如图 圆锥的底面半径为1 高为a b 2 c 3 d 4 答案 c 1 2 3 做一做2 2 如果圆台的母线与底面成60 角 那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比值为 解析 可以把母线的长设为1 根据已知求出圆台的高 进而根据公式分别求出圆台的侧面积和轴截面的面积 答案 c 1 2 3 3 球的表面积s球 4 r2 其中r为球的半径 名师点拨1 球的表面积可用语言叙述为 球面面积等于它的大圆面积的四倍 2 球面不能展开成平面图形 因此不能根据柱 锥 台的推导方法求球的表面积 3 不要求掌握球的表面积公式推导的过程 只要求记住公式并会应用 1 2 3 做一做3 1 若球的大圆周长为c 则这个球的表面积是 答案 c 1 2 3 做一做3 2 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上 则该球的表面积为 解析 正方体的体对角线即为球的直径 即直径所以s 4 r2 27 答案 27 柱 锥 台的侧面积公式之间的区别和联系剖析 通过圆柱 圆锥 圆台的侧面积公式 s圆柱侧 2 rl s圆锥侧 rl s圆台侧 r1 r2 l三者之间的相互联系可以分析出 如图 当r1变化时 相应的图形也随之变化 当r1 0 r2 r时 相应的圆台就转化为圆锥 而当r1 r2 r时 相应的圆台就转化为圆柱 相应的侧面积公式也随之变化 名师点拨一般棱柱 棱锥 棱台的侧面积的求法 因其结构特征不一致 因此应该先分别计算各侧面的面积 然后再将各侧面面积求和 即为相应的侧面积 题型一 题型二 题型三 题型四 例1 如图 正四棱锥底面正方形边长为4cm 高与斜高的夹角为30 求该正四棱锥的侧面积和表面积 分析 根据多面体的侧面积公式 必须求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高 进而根据相应的公式求解 把问题转化到三角形内加以分析求解 题型一 题型二 题型三 题型四 解 正四棱锥的高po 斜高pe 底面边心距oe组成一个rt poe 因为oe 2cm ope 30 s正四棱锥表 s正四棱锥侧 s正四棱锥底 32 4 4 48 cm2 反思解决此类题目先利用正棱锥的高 斜高 底面边心距组成的直角三角形求解相应的元素 再代入面积公式求解 空间几何体的表面积运算 一般先转化为平面几何图形的运算 再充分利用平面几何图形的特性通过解三角形完成基本量的运算 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 已知一正三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm 且其侧面积等于两底面积的和 求棱台的高 分析 利用已知条件求出斜高 再利用正棱台中的直角梯形求高 解 如图 在正三棱台abc a1b1c1中 o o1为两底面中心 d d1是bc b1c1的中点 则dd1为棱台的斜高 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 分析 利用轴截面求母线长 所以s上底 x2 s下底 2x 2 4 x2 s侧 x 2x 2x 6 x2 所以圆台的上底面积 下底面积和侧面积之比为1 4 6 题型一 题型二 题型三 题型四 反思圆台的轴截面包含圆台的各度量元素 是解有关圆台计算问题常用的平面图形 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 若一个圆柱的轴截面是一个面积为16的正方形 则该圆柱的表面积是 a 16 b 24 c 20 d 28 解析 由已知得该圆柱的底面半径为2 母线长为4 所以其表面积s 2 2 4 2 22 16 8 24 答案 b 题型一 题型二 题型三 题型四 例3 一个几何体的直观图如图 则该几何体的表面积等于 分析 该几何体是由上面的圆柱和下面的长方体拼接而成 拼接面不能算作几何体的表面 题型一 题型二 题型三 题型四 解析 方法一 该组合体的上半部分是一个底面半径为2 母线长为8的圆柱 下半部分是一个长 宽 高分别为8 8 4的长方体 圆柱的表面积是2 2 8 2 22 40 长方体的表面积是 4 8 4 8 8 8 2 256 两几何体重叠面的面积为 22 4 所以该组合体的表面积为s 40 256 2 4 256 32 方法二 由该组合体的组合形式可知 圆柱的上底面可移至其拼接面 因此其表面积恰好是下半部分的长方体的表面积与上半部分圆柱的侧面积之和 故其表面积s 4 8 4 8 8 8 2 2 2 8 256 32 答案 256 32 题型一 题型二 题型三 题型四 反思解答有重叠面的组合体的表面积类问题时 容易出现的错误是将两个几何体的表面积相加后只减去一个拼接面的面积 这是由于对几何体的组合特点理解不深致误 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 如图 一个正方体的棱长为2 以相对两个面的中心连线为轴 钻一个直径为1的圆柱形孔 所得几何体的表面积为 解析 由该几何体的组合形式可知 其表面积应该是正方体的表面积减去中间圆柱的两个底面的面积 再加上圆柱的侧面积 故其表面积s 6 22 0 52 2 2 0 5 2 24 0 5 2 24 1 5 答案 24 1 5 题型一 题型二 题型三 题型四 分析 根据长方体的体对角线长等于其外接球的直径这一关系列式求解即可 解 如图为过长方体的一条体对角线的截面 设长方体有公共顶点的三条侧棱的长分别为x y z 所以s球 4 r2 9 题型一 题型二 题型三 题型四 反思在处理球和长方体的组合问题时 通常是先作出过球心且过长方体对角面的截面图 然后通过已知条件来求 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练4 求棱长为a的正四面体的外接球的表面积 解 设正四面体abcd的高为ao1 外接球球心为o 半径为r 如图 连接ob 正四面体的棱长为a 题型一 题型二 题型三 题型四 1 2 3 4 5 6 1 已知正四棱锥的底面边长为6 侧棱长为5 则此棱锥的侧面积为 a 6b 12c 24d 48 答案 d 1 2 3 4 5 6 答案 a 1 2 3 4 5 6 3 如图是一个空间几何体的三视图 其中主视图为等腰直角三角形 左视图与俯视图为正方形 则该几何体的表面积为 1 2 3 4 5 6 答案 b 1 2 3 4 5 6 4 已知一个圆锥的侧面展开图为半圆 且面积为s 则圆锥的底面面积是 解析 如图 设圆锥底面半径为r 母线长为l 1 2 3 4 5 6 5 正四棱台的高是1