高考数学 11.4 直线与圆、圆与圆的位置关系复习课件 理.ppt

11 4直线与圆 圆与圆的位置关系 1 直线4x 3y 40和圆x2 y2 100的位置关系是 a 相交b 相离c 相切d 无法确定 a 2 以点 2 1 为圆心 且与直线3x 4y 5 0相切的圆的方程为 a x 2 2 y 1 2 3b x 2 2 y 1 2 3c x 2 2 y 1 2 9d x 2 2 y 1 2 9解析 故选c c 3 两圆c1 x2 y2 6x 4y 12 0与圆c2 x2 y2 14x 2y 14 0的位置关系是 a 相交b 内含c 外切d 内切解析 由已知 圆c1 x 3 2 y 2 2 1 圆c2 x 7 2 y 1 2 36 则 c1c2 5 6 1 故选d d 4 直线x 2y 0被圆c x2 y2 6x 2y 15 0所截得的弦长等于 解析 由已知 圆心c 3 1 半径r 5 又圆心c到直线l的距离则弦长 5 过定点a 1 2 可作两直线与圆c x2 y2 kx 2y k2 15 0相切 则k的取值范围是 解析 由已知可知定点a在圆c外 则k2 4 4 k2 15 01 22 k 4 k2 15 0 解得或 1 直线与圆的位置关系设直线的方程为ax by c 0 a2 b2 0 圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 1 圆心到直线的距离d 圆与直线相切 相离 相交 几何法 d r d r d r 2 判别式法 由方程组ax by c 0 x a 2 y b 2 r2得关于x 或y 的一元二次方程 则判别式 0 0 0 代数法 3 直线与圆相离时 圆上各点到直线的距离中的最大值和最小值的求法可用线心距法 相交 相切 相离 4 直线与圆相交时 弦长的求法可利用弦心距 半径及半弦长组成的直角三角形 运用勾股定理求解 2 圆的切线及圆的弦 1 过圆x2 y2 r2上一点p x0 y0 的切线方程为 过圆x2 y2 r2外一点p x0 y0 作圆的两条切线 则切点弦所在直线的方程为 x0 x y0y r2 x0 x y0y r2 2 圆的弦长l d为弦心距 圆的切线长 s为点到圆心的距离 3 公共弦所在直线的方程 圆c1 x2 y2 d1x e1y f1 0 圆c2 x2 y2 d2x e2y f2 0 若两圆相交 公共弦所在直线的方程为 d1 d2 x e1 e2 y f1 f2 0 3 两个圆的位置关系设两圆的半径分别为r r r r 圆心距 c1c2 d 则两圆的位置关系如下 1 外切 2 内切 3 内含 dr r 4 外离 dr r 5 相交 r rdr r d r r d r r 考点1 直线与圆的位置关系例题1 已知圆c x2 y2 8及定点p 4 0 直线l过定点p 斜率为k 试问k在什么范围内取值时 该直线l与已知圆c 1 相切 2 相交 3 相离 解析 由已知得直线l的方程为y k x 4 即kx y 4k 0 又圆心为 0 0 半径为 1 若l与圆c相切 则得k 1 2 若l与圆c相交 则得 1 k 1 3 若l与圆c相离 则得k 1或k 1 点评 直线与圆的位置关系的探究 既可利用几何性质 又可运用方程思想 问题求解应视题设情境恰当选用 拓展训练 已知圆c x 1 2 y 2 2 2 p点的坐标为 2 1 过点p作圆c的切线 切点为a b 1 求直线pa pb的方程 解析 1 如图 设过p点的圆的切线方程为y 1 k x 2 即kx y 2k 1 0 因为圆心 1 2 到切线的距离为 即所以k2 6k 7 0 解得k 7或k 1 所以所求的切线方程为7x y 15 0或x y 1 0 2 求过p点的圆的切线长 解析 2 连接pc ca 在rt pca中 pa 2 pc 2 ca 2 8 所以过p点的圆c的切线长为 3 求直线ab的方程 解析 3 由7x y 15 0 x 1 2 y 2 2 2 解得又由x y 1 0 x 1 2 y 2 2 2 解得b 0 1 所以直线ab的方程为x 3y 3 0 考点2 圆与圆的位置关系例题2 若动圆c与圆c1 x 2 2 y2 1及圆c2 x 2 2 y2 4分别相切 且一个内切 一个外切 则动圆c的圆心的轨迹是 a 两个椭圆b 一个椭圆及一个双曲线的一支c 两个双曲线的各一支d 一个双曲线的两支 点评 判断两圆的位置关系常用几何法 即用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系 一般不采用代数法 若两圆相交 则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2 y2项得到 考点3 圆的弦长 中点弦问题例题3 已知点p 0 5 及圆c x2 y2 4x 12y 24 0 1 若直线l过点p且被圆c截得的线段长为43 求l的方程 解析 如图所示 d是线段ab的中点 cd ab ac 4 在rt acd中 可得cd 2 当l的斜率存在时 设所求直线l的斜率为k 则直线l的方程为y 5 kx 即kx y 5 0 由点c到直线ab的距离得此时直线l的方程为3x 4y 20 0 又直线l的斜率不存在时 也满足题意 此时方程为x 0 所以所求直线l的方程为x 0或3x 4y 20 0 2 求过p点的圆c的弦的中点的轨迹方程 解析 设过p点的圆c的弦的中点为d x y 则cd pd 所以所以 x 2 y 6 x y 5 0 化简得所求轨迹方程为x2 y2 2x 11y 30 0 点评 在研究弦长及弦中点问题时 可设弦ab两端点的坐标分别为a x1 y1 b x2 y2 1 若oa ob o为原点 则可转化为x1x2 y1y2 0 再结合根与系数的关系等代数方法简化运算过程 这在解决垂直关系问题中是常用的 2 若弦ab的中点为 x0 y0 圆的方程为x2 y2 r2 则所以该法叫平方差法 常用来解决与弦的中点 直线的斜率有关的问题 拓展训练 已知点m 3 0 圆c x2 y2 2x 2y 0 直线l过点m 在下列条件下 求直线l的方程 1 直线l与圆c相切 解析 设所求直线l的斜率为k 显然k存在 则l的方程为kx y 3k 0 圆的方程可化为 x 1 2 y 1 2 2 1 因为直线l与圆c相切 所以解得故直线l的方程为或 2 直线l被圆截得的弦长为2 解析 2 由已知得解得k 0或故直线l的方程为y 0或4x 3y 12 0 点评 利用数形结合的思想 运用直线与圆的位置关系 依据待定系数法求解 已知半圆x2 y2 4 y 0 动圆与此半圆相切 且与x轴相切 1 求动圆圆心的轨迹 解析 设动圆圆心m x y 作mn x轴于n 若两圆外切 mo mn 2 所以化简得x2 y2 y2 4y 4 所以x2 4 y 1 y 0 若两圆内切 mo 2 mn 所以化简得x2 y2 y2 4y 4 所以x2 4 y 1 y 0 综上所述 动圆圆心轨迹方程是x2 4 y 1 y 0 及x2 4 y 1 y 0 其轨迹为两条抛物线位于x轴上方的部分 作简图如图所示 2 是否存在斜率为的直线l 它与 1 中所得轨迹从左至右顺次交于a b c d四点 且满足 ad 2 bc 若存在 求出l的方程 若不存在 说明理由 解析 假设直线l存在 可设l的方程为依题意 它与曲线x2 4 y 1 交于点a d 与曲线x2 4 y 1 交于点b c 即由x2 4 y 1 与得3x2 4x 12b 12 0 3x2 4x 12b 12 0 又因为 ad 2 bc 即 xa xd 2 xb xc x2 4 y 1 即解得把代入方程 得xa 2 因为曲线x2 4 y 1 中横坐标的取值范围为 2 2 所以这样的直线l不存在 点评 解决与圆有关的综合问题时 一方面充分利用圆与直线的直观图形以及平面几何知识来解决问题 另一方面还要注意利用一元二次方程的有关结论 判别式 韦达定理等 来解题 1 处理直线与圆 圆与圆的位置关系常用几何法 即利用圆心到直线的距离 两圆心连线的长与半径和 差的关系判断求解 2 求过圆外一点 x0 y0 的圆的切线方程 1 几何方法 设切线方程为y y0 k x x0 即kx y kx0 y0 0 由圆心到直线的距离等于半径 可求得k 切线方程即可求出 2 代数方法 设切线方程为y y0 k x x0 即y kx kx0 y0 代入圆的方程 得一个关于x的一元二次方程 由 0 求得k 切线方程即可求出 以上两种方法只能求斜率存在的切线 斜率不存在的切线 可结合图形求得 3 求直线被圆截得的弦长 1 几何方法 运用弦心距 半径及弦的一半构成的直角三角形 计算弦长 2 代数方法 运用韦达定理 弦长 4 注意利用圆的几何性质解题 如 圆心在弦的垂直平分线上 切线垂直于过切点的半径 切割定理等 在考查圆的相关问题时 常结合