度高中数学 第一章 集合与函数的概念章末总结课件 新人教A版必修1.ppt

章末总结 网络建构 主题串讲 真题体验 知识辨析 网络建构 知识辨析 判断下列说法是否正确 请在括号中填 或 1 一个集合中可以找到两个相同的元素 2 空集是任何集合的真子集 3 集合a与集合a在全集u中的补集没有公共元素 4 若非空数集f a b能构成函数 且该函数的值域是c 则c b 5 函数一定是映射 但映射不一定是函数 6 在增函数与减函数的定义中 可以把 任意两个自变量 改为 存在两个自变量 7 任何函数都具有单调性 8 奇偶函数的定义域关于原点对称 9 若y f x 是奇函数 则一定有f 0 0 一 集合间的关系及运算 典例1 若集合a x 2 x 4 b x x m 0 1 若m 3 全集u a b 试求a ub 2 若a b a 求实数m的取值范围 主题串讲 方法提炼 总结升华 解 集合a x 2 x 4 b x x m 0 1 当m 3时 由x m 0 得x 3 所以b x x 3 所以u a b x x 4 那么 ub x 3 x 4 所以a ub x 3 x 4 2 因为a x 2 x 4 b x x m 所以a b a 所以a b 故m 4 所以实数m的取值范围是 4 规律方法 1 集合间运算的常用技巧 借助于数轴 利用venn图 2 集合间关系及运算中的注意事项 当涉及集合间关系和运算的有关问题 如a b a b a b b等时 都有可能涉及集合a或b为空集的情况 由集合间关系或运算求参数时 要注意端点 的取舍 二 函数的概念及表示 典例2 1 已知f x 是一次函数 且3f 1 2f 2 5 2f 0 f 1 1 则f x 的解析式为 a f x 3x 2 b f x 3x 2 c f x 2x 3 d f x 2x 3 解析 1 由题意f x 是一次函数 设f x kx b 因为3f 1 2f 2 5 2f 0 f 1 1 可得3k 3b 4k 2b 5 2b k b 1 解得k 3 b 2 所以f x 的解析式为f x 3x 2 故选a a fp f 0 f fp 0 b fp f 1 f fp 1 c fp fp 2 f f 2 d fp f 3 f f 3 规律方法 1 解决函数问题应坚持定义域优先原则 尤其是求解分段函数的函数值时 要先判断自变量的取值范围 2 函数定义域 即使函数解析式有意义的自变量的取值范围 3 求函数值域与最值常用的方法有图象法 配方法和单调性法 注意函数性质的综合应用 三 函数图象的识别与应用 典例3 1 函数y ax2 a与y a 0 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 解析 1 由函数y ax2 a中一次项系数为0 我们易得函数y ax2 a的图象关于y轴对称 可排除a 当a 0时 函数y ax2 a的图象开口方向向上 顶点 0 a 在x轴上方 可排除c 当a 0时 函数y ax2 a的图象开口方向向下 顶点 0 a 在x轴下方 函数y a 0 的图象位于第二 四象限 可排除b 故选d 答案 1 d 2 定义在 0 0 上的奇函数f x 在 0 上为增函数 当x 0时 f x 的图象如图所示 则不等式x f x f x 0的解集是 答案 2 3 0 0 3 规律方法 1 识图 识别函数的图象 实质就是分析函数的性质 主要观察以下几点 函数的定义域 函数图象的最高点 即最大值 和最低点 即最小值 与坐标轴的交点 即f x 0或x 0的点 图象的对称性 即函数的奇偶性 函数图象在某段区间上的变化趋势 即函数的单调性 2 用图 因为函数的图象从图形上很好地反映了函数的性质 所以在研究函数的性质时要注意结合图象 在解方程和不等式时有时需画出图象 利用数形结合能达到快速解题的目的 四 二次函数单调性及最值问题 典例4 已知函数f x x2 2ax 2 x 5 5 1 若y f x 在 5 5 上是单调函数 求实数a的取值范围 2 求y f x 在区间 5 5 上的最小值 解 函数f x x2 2ax 2 x 5 5 的对称轴为x a 1 若y f x 在 5 5 上是单调函数 则 a 5或 a 5 即a 5或a 5 即a的取值范围是 5 5 2 a 5 即a 5时 f x 在 5 5 上单调递增 f x 的最小值是f 5 27 10a a 5 即a 5时 f x 在 5 5 上单调递减 f x 的最小值是f 5 27 10a 规律方法 1 二次函数的单调性以其对称轴为分界线 二次函数在对称轴两侧单调性相反 2 求二次函数的最值或值域 基本的方法是配方法 当限定在某个闭区间上时 关键是确定函数图象的开口方向和对称轴与所给定区间的相对位置 结合函数图象确定该函数的单调性 最大值或最小值是在端点处取得 还是在顶点处取得 求解二次函数在给定区间的最值问题 可画出二次函数的图象帮助分析问题 即时训练 已知函数f x ax2 x 2a 1 其中a 0 a r 1 若a 1 作函数f x 的图象 2 设f x 在区间 1 2 上的最小值为g a 求g a 的表达式 五 抽象函数性质问题 典例5 若定义在r上的函数f x 对任意x1 x2 r 都有f x1 x2 f x1 f x2 1成立 且当x 0时 f x 1 1 求证 y f x 1为奇函数 1 证明 因为定义在r上的函数f x 对任意x1 x2 r 都有f x1 x2 f x1 f x2 1成立 所以令x1 x2 0 则f 0 0 f 0 f 0 1 即f 0 1 令x1 x x2 x 则f x x f x f x 1 1 所以 f x 1 f x 1 0 故y f x 1为奇函数 2 求证 f x 是r上的增函数 2 证明 由 1 知y f x 1为奇函数 所以f x 1 f x 1 任取x1 x2 r 且x10 所以f x2 x1 f x2 f x1 1 f x2 f x1 1 f x2 f x1 1 因为当x 0时 f x 1 所以f x2 x1 f x2 f x1 1 1 即f x1 f x2 故f x 是r上的增函数 3 若f 4 5 解不等式f 3m 2 3 规律方法解决函数的单调性与奇偶性时的三点注意 1 要证明函数f x 在区间d上不是单调函数 只要举一反例即可 即只要找到两个特殊的x1 x2 不满足定义即可 3 如果f x 是偶函数 那么f x f x 如果f x 是奇函数 那么f 0 0 x 0处有定义 解题时常用 六 恒成立问题 典例6 已知函数f x x2 ax 3 当x 2 2 时 f x a恒成立 求a的最小值 规律方法涉及与最值有关的恒成立问题的主要解题思路是 若a f x 恒成立 则a f x max 若a f x 恒成立 则a f x min 七 易错题辨析 典例7 已知f x 是定义在r上的偶函数 且在 0 上是增函数 若f 2016 0 则f x 0的解集是 错解 因为f x 0且f 2016 0 所以f x f 2016 又f x 是 0 上的增函数 所以x 2016 错因分析 由于y f x 是r上的偶函数 因此函数y f x 在 0 上是减函数 上述求解过程忽视了偶函数的性质 正解 因为f x 是r上的偶函数 所以f x f x f x 又f x 在 0 上是增函数且f 2016 0 所以f x f 2016 即f x f 2016 所以 x 2016 所以x 2016或x 2016 答案 2016 2016 真题体验 真题引领 感悟提升 1 2017 全国 卷 已知集合a x x0 则 a 2 2017 全国 卷 设集合a 1 2 4 b x x2 4x m 0 若a b 1 则b等于 a 1 3 b 1 0 c 1 3 d 1 5 c 解析 因为a b 1 所以1 b 所以m 3 所以b x x2 4x 3 0 1 3 故选c 3 2017 全国 卷 设集合a 1 2 3 b 2 3 4 则a b等于 a 1 2 3 4 b 1 2 3 c 2 3 4 d 1 3 4 解析 a 1 2 3 b 2 3 4 a b 1 2 3 4 故选a a 4 2017 全国 卷 已知集合a 1 2 3 4 b 2 4 6 8 则a b中元素的个数为 a 1 b 2 c 3 d 4 b 解析 a b 2 4 含有2个元素 故选b 5 2017 全国 卷 函数f x 在 单调递减 且为奇函数 若f 1 1 则满足 1 f x 2 1的x的取值范围是 a 2 2 b 1 1 c 0 4 d 1 3 d 解析 因为f x 是奇函数 且f 1 1 所以f 1