邵阳市邵东县2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2015年湖南省邵阳市邵东县高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5分，共 50 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1已知集合 A=（ x， y） |y=， B=y|y=，则下列关系正确的是（ ） A A=B B AB C BA D AB= 2下列函数为偶函数的是（ ） A f（ x） =x B f（ x） = f（ x） =x（ 5， 5 D f（ x） =4 3已知函数 f（ x） = ，则 f（ 2） =（ ） A 4 B 0 C 1 D 1 4设 方程 x=4 的解，则 ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 5若函数 f（ x）的定义域为 2， 4，则函数 y=f（ x）的定义域为（ ） A ， 1 B 4， 16 C 2， 4 D ， 6下列命题正确的是（ ） A经过三点确定一个平面 B经过一条条直线和一个点确定一个平面 C梯形确定一个平面 D四边形确定一个平面 7如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为 2 的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ） 第 2 页（共 18 页） A B C D 8已知直线 l 过点 P（ 3， 4），它的倾斜角是直线 y=x+1 的两倍，则直线 l 的方程为（ ） A y 4=0 B x 3=0 C y 4=2（ x 3） D y 4=x 3 9若点 P（ a， b）在圆 C： x2+ 的外部，则直线 ax+=0 与圆 C 的位置关系是（ ） A相切 B相离 C相交 D以上均有可能 10设 f（ x）是定义在 R 上单调递减的奇函 数，若 x1+0， x2+0， x3+0，则（ ） A f（ +f（ +f（ 0B f（ +f（ +f（ 0 C f（ +f（ +f（ =0 D f（ +f（ f（ 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5分 .、共 25 分 . 11已知 f（ x） =4，若 f（ 2） =2，则 f（ 2） = 12若直线进过点 A（ 1， 0）与点 B（ 4， ），在直线 倾斜角为 13一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为 8正方形，则它的体积是 14已知 a、 b、 c 为某一直角三角形的三条边长， c 为斜边若点（ m， n）在直线 ax+c=0 上，则 m2+ 第 3 页（共 18 页） 15已知函数 f（ x） = ，则 f（ ） +f（ ） +f（ ） +f（ ） = 三、解答题：本大题共 5 题，共 45分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16计算下列各式的值： （ 1）（ 0+ ； （ 2） + 17 已知集合 A=x|22x32， B=x|y=3 x） （ ）求 AB； （ ）若 C=x|xa+1，且（ AB） C，求实数 a 的取值范围 18已知幂函数 f（ x）的图象经过点 （ ）求函数 f（ x）的解析式； （ ）判断函数 f（ x）在区间（ 0， +）上的单调性，并用单调性的定义证明 19如图，在三棱锥 P ， E， F 分别为 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）若平面 平面 C， 0，求证：平面 平面 20已知圆 C 的圆心为原点 O，且与直线 相切 （ 1）求圆 C 的方程； 第 4 页（共 18 页） （ 2）点 P 在直线 x=8 上，过 P 点引圆 C 的两条切线 点为 A， B，求证：直线 过定点 第 5 页（共 18 页） 2015年湖南省邵阳市邵东县高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 ：本大题共 10 小题，每小题 5分，共 50 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1已知集合 A=（ x， y） |y=， B=y|y=，则下列关系正确的是（ ） A A=B B AB C BA D AB= 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【专题】 计算题；集合思想；综合法；集合 【分析】 由 A 是点集， B 是数集，故 AB 为空集 【解答】 解： A 是点集， B 是数集， AB=， 故选： D 【点评】 本题考查的知识点是集合的交集运算，难度不大，属于基础题 2下 列函数为偶函数的是（ ） A f（ x） =x B f（ x） = f（ x） =x（ 5， 5 D f（ x） =4 【考点】 函数奇偶性的判断 【专题】 函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 根据奇函数、偶函数的定义，偶函数和奇函数定义域的特点便可判断每个选项函数的奇偶性，从而找出正确选项 【解答】 解： A f（ x） =x 为奇函数， 该选项错误； B f（ x） = 该选项错误； C f（ x）的定义域为（ 5， 5，不关于原点对称，为非奇非偶函数， 该选项错误； D f（ x） =4 的定义域 为 R，且满足 f（ x） =f（ x）； 该函数为偶函数， 该选项正确 故选： D 第 6 页（共 18 页） 【点评】 考查奇函数和偶函数的定义，判断一个函数奇偶性的方法和过程，以及奇函数和偶函数定义域的特点 3已知函数 f（ x） = ，则 f（ 2） =（ ） A 4 B 0 C 1 D 1 【考点】 函数的值 【专题】 计算题；函数思想；试验法；函数的性质及应用 【分析】 判断可得 f（ 2） =22 42+3= 1 【解答】 解： 2 1， f（ 2） =22 42+3= 1， 故 选： C 【点评】 本题考查了分段函数的计算 4设 方程 x=4 的解，则 ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 【考点】 函数的零点；对数函数的图象与性质 【专题】 计算题 【分析】 可先构造出函数 f（ x） =x 4，带入可得 f（ 2） 0， f（ 3） 0，据此解答 【解答】 解：设 f（ x） =x 4，则 f（ 2） = 4=2 0， f（ 3） = 4=1 0，所以 2， 3） 故选： C 【点评】 本 小题主要考查简单的构造函数求出函数零点的方法，注意灵活运用，属于基础题 5若函数 f（ x）的定义域为 2， 4，则函数 y=f（ x）的定义域为（ ） A ， 1 B 4， 16 C 2， 4 D ， 【考点】 对数函数的单调性与特殊点；函数的定义域及其求法 【专题】 计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用 第 7 页（共 18 页） 【分析】 由函数 f（ x）的定义域可得 2x4，然后求解对数不等式得答案 【解答】 解： 函数 f（ x）的定义域为 2， 4， 由 2x4，解得 ， 函数 y=f（ x）的定义域为 故选： D 【点评】 本题考查函数的定义域及其求法，考查了对数不等式的解法，是基础题 6下列命题正确的是（ ） A经过三点确定一个平面 B经过一条条直线和一个点确定一个平面 C梯形确定一个平面 D四边形确定一个平面 【考点】 平面的基本性质及推论 【专题】 数形结合；综合法；空间位置关系与距离 【分析】 在 A 中，过共线的三点不能确定一个平面；在 B 中，经过一条直线和这条直线上一个点不能确定一个平面；在 C 中，梯形确定一个平面；在 D 中，空间四边形不一定能确定一 个平面 【解答】 解：在 A 中，经过不共线的三点确定一个平面，故 A 错误； 在 B 中，经过一条直线和这条直线外一个点确定一个平面，故 B 错误； 在 C 中，由梯形中有一组对边平行，得到梯形确定一个平面，故 C 正确； 在 D 中，空间四边形不一定能确定一个平面，如右图的空间四边形就不能确定一个平面，故 D 错误 故选： C 第 8 页（共 18 页） 【点评】 本题考查命题真假的确定，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 7如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长 为 2 的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【专题】 计算题 【分析】 三视图复原的几何体是正四棱锥，求出底面面积，正四棱锥的高，即可求出体积 【解答】 解：如图 据条件可得几何体为底面边长为 2 的正方形，侧面是等边三角形高为 2 的正四棱锥， 故其体积 V= 4 = 故选 C 【点评】 本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键 8已知直线 l 过点 P（ 3， 4），它的倾斜角是直线 y=x+1 的两倍，则直线 l 的方程为（ ） A y 4=0 B x 3=0 C y 4=2（ x 3） D y 4=x 3 【考点】 直线的倾斜角 【专题】 计算题；方程思想；数学模型法；直线与圆 【分析】 由已知直线的方程求得其倾斜角，进一步得到直线 l 的倾斜角为 90，再由直线过点 P（ 3，4）求得直线方程 第 9 页（共 18 页） 【解答】 解： 直线 y=x+1 的斜率为 1， 其倾斜角为 45，则直线 0， 又直线 l 过点 P（ 3， 4）， 其方程为 x=3，即 x+3=0 故选： B 【点评】 本题考查直线的倾斜角，考查了倾斜角和斜率的关系，是基础题 9若点 P（ a， b）在圆 C： x2+ 的外部，则直线 ax+=0 与圆 C 的位置关系是（ ） A相切 B相离 C相交 D以上均有可能 【考点】 点与圆的位置关系 【专题】 直线与圆 【分析】 根据点 P 在圆 C 的外部，得出点 P 到圆心的距离 r，计算圆心到直线 ax+=0 的距离，判断出直线与圆 C 的位置关系 【解答】 解： 点 P（ a， b）在圆 C： x2+ 的外部， 点 P 到圆心的距离 r， 即 a2+1； 又圆心到直线 ax+=0 的距离为 1=r， 直线与圆 C 相交 故选： C 【点评】 本题考查了点与圆以及直线与圆的位置关系的应用问题，是基础题目 10设 f（ x）是定义在 R 上单调递减的奇函数，若 x1+0， x2+0， x3+0，则（ ） A f（ +f（ +f（ 0B f（ +f（ +f（ 0 C f（ +f（ +f（ =0 D f（ +f（ f（ 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【专题】 转化思想 【分析】 对题设中的条件进 行变化，利用函数的性质得到不等式关系，再由不等式的运算性质整理变形成结果，与四个选项比对即可得出正确选项 第 10 页（共 18 页） 【解答】 解： x1+0， x2+0， x3+0， 又 f（ x）是定义在 R 上单调递减的奇函数， f（ f（ = f（ f（ f（ = f（ f（ f（ = f（ f（ +f（ 0， f（ +f（ 0， f（ +f（ 0， 三式相加整理得 f（ +f（ +f（ 0 故选 B 【点评】 本题考查奇偶性与单调性的综合，解题的关键是根据函数的性质得到 f（ +f（ 0，f（ +f（ 0， f（ +f（ 0，再由不等式的性质即可得到结论 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5分 .、共 25 分 . 11已知 f（ x） =4，若 f（ 2） =2，则 f（ 2） = 10 【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 可以判断 f（ 2）和 f（ 2）的关系，从而可以得到 f（ 2） = f（ 2） 8，这样将 f（ 2）=2 带入即可求出 f（ 2） 【解答】 解： f（ 2） =a23+b2 4 = a（ 2） 3+b（ 2） 4 8 = f（ 2） 8 = 2 8 = 10 故答案为： 10 【点评】 考查奇函数的概念： f（ x） = f（ x），比较 f（ 2）和 f（ 2）的关系是本题求解的关键 12若直线进过点 A（ 1， 0）与点 B（ 4， ），在直线 倾斜角为 【考点】 直线的倾 斜角 【专题】 计算题；方程思想；定义法；直线与圆 【分析】 先根据直线的斜率公式求出斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，求出倾斜角的值 第 11 页（共 18 页） 【解答】 解： 直线经过点 A（ 1， 0）与点 B（ 4， ）， = ， 设直线 倾斜角为 ， ， 00 ， = ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查直线的斜率公式，倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，属于基础题 13一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为 8正方形，则它的体积是 32 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【专题】 计算题；数形结合；数形结合法；立体几何 【分析】 侧面展开图的边长为底面周长和高 【解答】 解： 正四棱柱的侧面展开图是一个边 长为 8正方形， 正四棱柱的底面边长为 2，高为 8 正四棱柱的体积 V=228=32 故答案为 32 【点评】 本题考查了正四棱柱的结构特征，体积计算，属于基础题 14已知 a、 b、 c 为某一直角三角形的三条边长， c 为斜边若点（ m， n）在直线 ax+c=0 上，则 m2+4 【考点】 点到直线的距离公式 【专题】 计算题 【分析】 由直角三角形且 c 为斜边，根据勾股定理表示出一个关系式，因为所求式子即为原点到已知点距离的平方，而点到直线的距离只有垂线段最短，利用点到直线的距离 公式表示出原点到已知直线的距离，把表示出的关系式代入即可求出原点到已知直线的距离，平方即可得到所求式子的最小值 第 12 页（共 18 页） 【解答】 解：根据题意可知：当（ m， n）运动到原点与已知直线作垂线的垂足位置时， m2+值最小， 由三角形为直角三角形，且 c 为斜边，根据勾股定理得： c2=a2+ 所以原点（ 0， 0）到直线 ax+c=0 的距离 d= =2， 则 m2+ 故答案为： 4 【点评】 此题考查了点到直线的距离公式，以及勾股定理理解当动点（ m， n）运动到原点到已知直线垂直时垂足的位置时，所求式子达到最小是解本题的关键 15已知函数 f（ x） = ，则 f（ ） +f（ ） +f（ ） +f（ ） = 1007 【考点】 函数的值 【专题】 计算题；转化思想；函数的性质及应用 【 分析】 由已知中函数 f（ x） = ，可得： f（ x） +f（ 1 x） =1，进而得到答案 【解答】 解： 函数 f（ x） = ， f（ 1 x） = = ， f（ x） +f（ 1 x） =1， f（ ） +f（ ） +f（ ） +f（ ） =1007， 故答案为： 1007 【点评】 本题考查的知识点是函数求值，其中根据已知确定出 f（ x） +f（ 1 x） =1，是解答的关键 三、解答题：本大题共 5 题，共 45分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16计算下列各式的值： （ 1）（ 0+ ； （ 2） + 第 13 页（共 18 页） 【考点】 根式与分数指数幂的互化及其化简运算；有理数指数幂的化简求值 【专题】 计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用 【分析】 （ 1）化 0 指数幂为 1，然后结合对数的运算性质求得答案； （ 2）化根式内部的数为完全平方数的形式，开方后化简得答案 【解答】 解：（ 1）（ 0+ =1+254） +2=5； （ 2） + = =（ ） +（ ）（ ） =0 【点评】 本题考查根式与分数指数幂的互化及其 化简运算，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题 17已知集合 A=x|22x32， B=x|y=3 x） （ ）求 AB； （ ）若 C=x|xa+1，且（ AB） C，求实数 a 的取值范围 【考点】 交集及其运算；集合的包含关系判断及应用 【专题】 计算题 【分析】 （ ）求出 A 与 B 中其他不等式的解集，确定出 A 与 B，求出 AB 即可； （ ）由 A 与 B 交集是 C 的子集，由 A 与 B 的交集及 C 求出 a 的范围即可 【解答】 解：（ ）由集合 A 中的不等式 22x32， 变形得： 212x25， 解得： 1x5， 即 A=x|1x5， 令 3 x 0，得 x 3， 得到 B=x|x 3， 则 AB=x|1x 3； （ ） AB=x|1x 3， C=x|xa+1， 若（ AB） C， 第 14 页（共 18 页） a+11， 解得： a0 【点评】 此题考查了交集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 18已知幂函数 f（ x）的图象经过点 （ ）求函数 f（ x）的解析式； （ ）判断函数 f（ x）在 区间（ 0， +）上的单调性，并用单调性的定义证明 【考点】 幂函数的概念、解析式、定义域、值域；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 （ ）利用幂函数的定义，设 f（ x） =是常数），根据 f（ x）的图象过点 ，列出关于 的方程，求解即可得到答案； （ ）设 0， +），且 差 f（ f（ 简到能直接判断符号为止，利用函数单调性的定义，即可证得答案 【解答】 解：（ ） f（ x）是幂函数，则设 f（ x） =是常数）， f（ x）的图象过点 ， ， = 23， 故 f（ x） =x 2，即 ； （ ） f（ x）在区间（ 0， +）上是减函数证明如下： 设 0， +），且 ， 0 0， +）， 0， ， f（ f（ 0，即 f（ f（ f（ x）在区间（ 0， +）上是减函数 第 15 页（共 18 页） 【点评】 本题考查了求函数的解析式，函数的单调性的证明求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等函数单调性的证明一般选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论属于基础题 19如图，在三棱锥 P ， E， F 分别为 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）若平面 平面 C， 0，求证：平面 平面 【考点】 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【专题】 证明题 【分析】 （ 1）利用 E， F 分别是 中点，说明 过直线与平面平行的判定定理直接证明 平面 （ 2）证明 用平面与平面垂直的判定定理证明 平面 过证明E=E，证明 平面 后推出平面 平面 【解答】 （本小题满分 14 分） 证明：（ 1） E， F 分别是 中点， 又 面 面 平面 （ 2）在三角形 ， C， E 为 点， 平面 平面 平面 面 C， 平面 第 16 页（共 18 页） 又 0， 又 E=E， 平面 平面 平面 【点评】 本题考查直线