浙江省台州市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年浙江省台州市高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 14小题，每小题 3分，共 42分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1已知集合 A=1， 2， 3，集合 B=2， 3， 4，则 AB 等于（ ） A 2， 3 B 1， 2 C 3， 4 D 1， 2， 3， 4 2函数 f（ x） =22x+ ）的最小正周期为（ ） A B C D 2 3已知向量 =（ 3， 1）， =（ 2， 4），则向量 =（ ） A（ 5， 5） B（ 6， 4） C（ 1， 3） D（ 1， 3） 4为了得到函数 y=x+ ）的图象，只需把 y=象上所有的点（ ） A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 5已知 ，则 +） =（ ） A B C D 6 =（ ） A 1 C 1 D 7已知向量 =（ 3， 4）， =（ 1， 2），若 （ +t ），则实数 t 的值为（ ） A 5 B 1 C 1 D 5 8已知 ） = 2，则 =（ ） A 3 B C D 3 9已知 0 a 1， f（ x） =g（ x） =h（ x） = ，当 x 1 时，则有（ ） A f（ x） g（ x） h（ x） B g（ x） f（ x） h（ x） C g（ x） h（ x） f（ x） D h（ x） g（ x） f（ x） 10已知函数 f（ x） = ，则 f（ ） +f（ ） =（ ） A 3 B 5 C D 11函数 f（ x） = x）的图象大致为（ ） 第 2 页（共 16 页） A B C D 12已知向量 ， 满足 | |=2， | + |=2， | |=2 ，则向量 与 的夹角为（ ） A B C D 13已知函数 f（ x） =|若正实数 m， n（ m n） 满足 f（ m） =f（ n），且 f（ x）在区间 n上的最大值为 4，则 n m=（ ） A B C D 14已知函数 f（ x） =a（ ） x+R， b0， cR），若 x|f（ x） =0=x|f（ f（ x）=0，则实数 c 的取值范围为（ ） A（ 0， 4） B 0， 4C（ 0， 4D 0， 4） 二、填空题：本大题共 6个小题，每小题 3分 .、共 18分 . 15已知幂函数 f（ x）的图象经过点（ 3， ），则 f（ x） = 16已知函数 f（ x）是奇函数，当 x 0 时， f（ x） =，则 f（ 2） = 17已知点 O 为 一点，满足 + + = ，则 面积之比是 18函数 f（ x） =x 1） +3 x）的单调递增区间为 19已知 （ ， ），若存在实数 x， y 同时满足 = ， += ，则 20已知函数 f（ x） =e |x 1|，有下列四个结论： 图象关于直线 x=1 对称； f（ x）的最大值是 2； f（ x）的最大值是 1，； f（ x）在区间 2015， 2015上有 2015 个零 点 其中正确的结论是 （写出所有正确的结论序号） 三、解答题：本大题共 5小题，共 40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 21已知函数 f（ x） =2x， x（ 0， 2）的值域为 A，函数 g（ x） =x 2a） + （ a 1）的定义域为 B （ ）求集合 A， B； 第 3 页（共 16 页） （ ）若 BA，求实数 a 的取值范围 22已知函数 f（ x） =x+）（ 0， 0）的最小正周期为 ，且它的图象过点（ ， ） （ ）求 ， 的值； （ ）求函数 y=f（ x）的单调增区间 23已知函数 f（ x） =+ ） x 2， 0， 2 （ ）若函数 f（ x）为偶函数，求 （ ）若 f（ x）在 ， 1上是单调函数，求 的取值范围 24如图，在 ，点 P 为线段 的一个动点（不包含 端点），且满足 = （ ）若 = ，用向量 ， 表示 ； （ ）若 | |=4， | |=3，且 0，求 的取值范围 25已知 a 0， bR，函数 f（ x） =42a+b， x0， 1 （ ）当 a=b=2 时，求函数 f（ x）的最大值； （ ）证明：函数 f（ x）的最大值 |2a b|+a； （ ）证明： f（ x） +|2a b|+a0 第 4 页（共 16 页） 2015年浙江省台州市高一（上）期末数 学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 14小题，每小题 3分，共 42分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1已知集合 A=1， 2， 3，集合 B=2， 3， 4，则 AB 等于（ ） A 2， 3 B 1， 2 C 3， 4 D 1， 2， 3， 4 【考点】 交集及其运算 【分析】 根据集合交集的定义，列举出集合 A、 B 的全部元素组成集合，即可得答案 【解答】 解：根据题意， A=1， 2， 3， B=2， 3， 4， 集合 A、 B 的公共元素为 2， 3则 AB=2， 3 故选 A 2函数 f（ x） =22x+ ）的最小正周期为（ ） A B C D 2 【考点】 正切函数的图象 【分析】 根据正切函数的周期公式进行求解即可 【解答】 解：函数的周期 T= ， 故选： B 3已知向量 =（ 3， 1）， =（ 2， 4），则向量 =（ ） A（ 5， 5） B（ 6， 4） C（ 1， 3） D（ 1， 3） 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 根据向量的坐标加减的运算法则计算即可 【解答】 解：向量 =（ 3， 1）， =（ 2， 4）， 则向量 = =（ 2， 4）（ 3， 1） =（ 1， 3）， 故选： C 4为了得到函数 y=x+ ）的图象，只需把 y=象上所有的点（ ） A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案 【解答】 解： 由 y= y=x+ ），只是横坐标由 x 变为 x+ ， 第 5 页（共 16 页） 要得到函数 y=x+ ）的图象，只需 把函数 y=图象上所有的点向左平行移动个单位长度 故选： A 5已知 ，则 +） =（ ） A B C D 【考点】 运用诱导公式化简求值 【分析】 由条件利用诱导公式进行化简求值，可得结果 【解答】 解： ，则 +） =， 故选： A 6 =（ ） A 1 C 1 D 【考点】 对数的运算性质 【分析】 判断 1 的符号化简 【解答】 解： =1（ 1 =2=1 2= 1 故选： C 7已知向量 =（ 3， 4）， =（ 1， 2），若 （ +t ），则实数 t 的值为（ ） A 5 B 1 C 1 D 5 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可 【解答】 解： =（ 3， 4）， =（ 1， 2） ， +t =（ 3+t， 4 2t）， （ +t ）， （ +t ） =0， 3（ 3+t） +4（ 4 2t） =0， t=5， 故选： D 8已知 ） = 2，则 =（ ） A 3 B C D 3 【考点】 同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值 【分析】 利用诱导公式及已知可得 ，利用同角三角函数基本关系式化简所求后即可计算得解 第 6 页（共 16 页） 【解答】 解： ） = 2，可得： ， = = =3 故选： D 9已知 0 a 1， f（ x） =g（ x） =h（ x） = ，当 x 1 时，则有（ ） A f（ x） g（ x） h（ x） B g（ x） f（ x） h（ x） C g（ x） h（ x） f（ x） D h（ x） g（ x） f（ x） 【考点】 对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质 【分析】 由题意和三个函数的单调性可得函数的值域，比较可得 【解答】 解： 0 a 1， f（ x） = 上单调递减， 当 x 1 时， f（ x） f（ 1） =a 1， 结合指数函数的值域可得 f（ x） （ 0， 1）； 同理 0 a 1， g（ x） =（ 0， +）上单调递减， 当 x 1 时， g（ x） g（ 1） =0， 结合对数函数的值域可得 g（ x） （ ， 0）； 又 h（ x） = 在 0， +） 上单调递增， 当 x 1 时， g（ x） h（ 1） =1， 故 g（ x） f（ x） h（ x）， 故选： B 10已知函数 f（ x） = ，则 f（ ） +f（ ） =（ ） A 3 B 5 C D 【考点】 函数的值 【分析】 利用分段函数的性 质求解 【解答】 解： 函数 f（ x） = ， f（ ） =f（ ） 1= 1=1， f（ ） = =2， f（ ） +f（ ） =1+2=3 故选： A 11函数 f（ x） = x）的图象大致为（ ） 第 7 页（共 16 页） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 求出函数的定义域，求出函数的单调性即可判断 【解答】 解： x 0，即 0，解得 x 1 或 0 x 1， 设 t= x， 则 t= 1 0， t 在（ ， 0），（ 0， 1）上为减函数， y=增函数， f（ x）在（ ， 0），（ 0， 1）上为减函数， 故选： B 12已知向量 ， 满足 | |=2， | + |=2， | |=2 ，则向量 与 的夹角为（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量的夹角公式，以及向量的垂直，向量模计算即可 【解答】 解：设 与 的夹角为 ， | |=2， | + |=2， | |=2 ， | + |2=| |2+| |2+2 =4， | |2=| |2+| |2 2 =20， = 4， | |=2 = = ， 0， = ， 故选： C 13已知函数 f（ x） =|若正实数 m， n（ m n）满足 f（ m） =f（ n），且 f（ x）在区间 n上的最大值为 4，则 n m=（ ） A B C D 【考点】 对数函数的图象与性质 第 8 页（共 16 页） 【分析】 由已知和对数的性质可得 0 m 1 n，且 ，再由最大值为 4可得 m= 或 n=16，分别解另一个值验证可得 【解答】 解： f（ x） =|正实数 m， n（ m n）满足 f（ m） =f（ n）， 0 m 1 n，且 | ，解得 ， 又 f（ x）在区间 n上的最大值为 4， |4 或 |4，即 或 4， 解得 m= 或 n=16，当 m= 时，由 可得 n=4，此时 n m= ； 当 n=16 时，由 可得 m= ，这与 m n 矛盾，应舍去 故选： B 14已知函数 f（ x） =a（ ） x+R， b0， cR），若 x|f（ x） =0=x|f（ f（ x）=0，则实数 c 的取值范围为（ ） A（ 0， 4） B 0， 4C（ 0， 4D 0， 4） 【考点】 函数的零点与方程根的关系 【分析】 设 x|f（ x） =0=x|f（ f（ x） =0，从而可推出 f（ 0） =0，从而化简 f（ x） =而可得（ c） =0 与 的根相 同，从而解得 【解答】 解：设 x|f（ x） =0=x|f（ f（ x） =0， 则 f（ =0，且 f（ f（ =0， f（ 0） =0，即 a（ ） x=0 a=0； 故 f（ x） = 由 f（ x） =0 得， x=0 或 x= ； f（ f（ x） =b（ 2+c（ =0， 整理得：（ c） =0， 当 c=0 时，显然成立； 当 c0 时，方程 c=0 无根， 故 =（ 2 40， 解得， 0 c 4 综上所述， 0c 4， 故答案选： A 二、填空题：本大题共 6个小题，每小题 3分 .、共 18分 . 15已知幂函数 f（ x）的图象经过点（ 3， ），则 f（ x） = x 1 【考点】 幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【分析】 设出幂函数的解析式，用待定系数法求出 f（ x）的解析式 【解答】 解：设幂函数 y=f（ x） = 第 9 页（共 16 页） 其图象经过点（ 3， ）， 3a= ，解得 a= 1； f（ x） =x 1 故答案为： x 1 16已知函数 f（ x）是奇函数，当 x 0 时， f（ x） =，则 f（ 2） = 9 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 利用奇函数的性质即可求出 【解答】 解： 函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时 f（ x） =， f（ 2） = f（ 2） =（ 23+1） = 9 故答案为： 9 17已知点 O 为 一点，满足 + + = ，则 面积之比是 【考点】 向量的加法及其几何意义 【分析】 可作图，取 点 D，从而有 ，这样即可得出 ，从而有D， O， C 三点共线，且得到 ，这样便可得出 面积之比 【解答】 解：如图，取 点 D，则： ； 由 得， ； ； D， O， C 三点共线，且 ； 面积之比是 故答案为： 18函数 f（ x） =x 1） +3 x）的单调递增区间为 （ 1， 2） 【考点】 对数函数的图象与性质 【分析】 先求出函数的定义域，根据复合函数的单调性判断即可 【解答】 解： f（ x） =x 1） +3 x）， 第 10 页（共 16 页） 函数的定义域是：（ 1， 3）， f（ x） = 的递减区间即函数 y= x 3 在（ 1， 3）上的递减区间， y= 2x+4，令 y 0，解得： x 2， 函数 y= x 3 在（ 1， 2）上的递增， 函数 f（ x）在（ 1， 2）递增， 故答案为：（ 1， 2） 19已知 （ ， ），若存在实数 x， y 同时满足 = ， += ，则 【考点】 二维形式的柯西不等式 【分析】 设 = =t，求出 人另一式化简，再由 ，求出 + = ；利用 = 得出方程 = ，求出方程的解，再考虑 （ ， ），从而确定 【解答】 解：设 = =t， 则 所以 + = 可化为： + = ； 又 ， 得 ； 把 代入 ，化简得 + = ； 又 = ， 所以 式化为 = ， 解得 或 ； 第 11 页（共 16 页） 所以 或 ； 又 （ ， ）， 所以 1， 所以取 故答案为： 20已知函数 f（ x） =e |x 1|，有下列四个结论： 图象关于直线 x=1 对称； f（ x）的最大值是 2； f（ x）的最大值是 1，； f（ x）在区间 2015， 2015上有 2015 个零 点 其中正确的结论是 （写出所有正确的结论序号） 【考点】 函数的图象 【分析】 根据函数的性质一一判断即可 【解答】 解：对于 ， y=关于 x=1 对称， y=e |x 1|关于 x=1 对称， f（ x）图象关于直线 x=1 对称，故 正确， 对于 ， 11， 0 e |x 1|1， f（ x）的最大值是 2，故 正确， 不正确， 对于 ， y=周期为 T= =4，由 知，关于 x=1 对称，每个周期内都有两个零点，故有 2015 个零点，故 正确 故答案为： 三、解答题：本大题共 5小题，共 40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 第 12 页（共 16 页） 21已知函数 f（ x） =2x， x（ 0， 2）的值域为 A，函数 g（ x） =x 2a） + （ a 1）的定义域为 B （ ）求集合 A， B； （ ）若 BA，求实数 a 的取值范围 【考点】 集合的包含关系判断及应用；集合的表示法；函数的定义域及其求法 【分析】 （ ）根据指数函数以及对数函数的性质解出即可； （ 2）根据集合的包含关系得到关于 a 的不等式组，解出即可 【解答】 解：（ ）已知函数 f（ x） =2x， x（ 0， 2）的值域为 A， A=（ 1， 4）， 函数 g（ x） =x 2a） + （ a 1）的定义域为 B B=（ 2a， a+1）， a 1， （ ）若 BA，则（ 2a， a+1） （ 1， 4）， ，解得： a 1 22已知函数 f（ x） =x+）（ 0， 0）的最小正周期为 ，且它的图象过点（ ， ） （ ）求 ， 的值； （ ）求函数 y=f（ x）的单调增区间 【考点】 余弦函数的图象 【分析】 （ ）由周期求出 ，由特殊点的 坐标求出 的值 （ ）根据函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，求出函数 y=f（ x）的单调增区间 【解答】 解：（ ） 函数 f（ x） =x+）（ 0， 0）的最小正周期为 ， =， =2 它的图象过点（ ， ）， +） = ， += ， = （ ）由以上可得， f（ x） =2x ）， 令 22x 2得 x， 函数 y=f（ x）的单调增区间为 ， ， kZ 23已知函数 f（ x） =+ ） x 2， 0， 2 （ ）若函数 f（ x）为偶函数，求 （ ）若 f（ x）在 ， 1上是单调函数，求 的取值范围 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的判断 第 13 页（共 16 页） 【分析】 （ ）根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可 （ ）利用一元二次函数的单调性的性质进行判断即可 【解答】 解：（ ） f（ x）是偶函数， f（ x） =f（ x）， 则 + ） x 2=4+ ） x 2， 则 + ） =0， 0， 2， + = 即 = + += （ ） f（ x） =+ ） x 2， 0， 2 对称轴为 x= 2+ ）， 若 f（ x）在 ， 1上是单调函数， 则 2+ ） 1 或 2+ ） ， 即 + ） 或 + ） ， 即 2+ 2，或 2+ 2， kZ， 即 22，或 22， kZ， 0， 2， ，或 0 24如图，在 ，点 P 为线段 的一个动点（不包含端点），且满足 = （ ）若 = ，用向量 ， 表示 ； （ ）若 | |=4， | |=3，且 0，求 的取值范围 【考点】 平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义 【分析】 （ ）根据向量的加减的几何意义，即可求出； （ ）根据向量的加减的几何意义，得到 =3 ，即可求出 的取值范围 第 14 页（共 16 页） 【解答】 解：（ ） = ， 则 = ， = （ ）， = + ， 则 = + ， （ ） =| | |6， = ， =（ ），（ 1+） = + ， = + ， =（ + ）（ ） = 2+ 2+（ ） = = =3 0， 3 （ 10， 3）， 的取值范围为（ 10， 3） 25已知 a 0， bR，函数 f（ x） =42a+b， x0， 1 （ ）当 a=b=2 时，求函数 f（ x）的最大值； （ ）证明：函数 f（ x）的最大值 |2a b|+a； （ ）证明： f（ x） +|2a b|+a0 【考点】 函数的最值及其几何意义；二次函数的性质 【分析】 （ ）求出当 a=b=2 时， f（ x）的解析式，求出对称轴，求得端点的函数值，可得f（ x）的最大值； （ ）求出对称轴，讨论区间和对称轴的关系，结合单调性，可得最大值； （ ）要证 f（ x） +|2a b|+a0 恒成立，只需证 f（ x） 2a b|+a0，设 f（ x）的最小值为 m，最大值为 M，由（ ）得 M=|2a b|+a，求出对称轴，讨论对称轴和区间 0， 1的关系，可得最值，即可证明 M+m 0 【解答】 解：（ ）当 a=b=2 时，