正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理 考纲要求 掌握正弦定理 余弦定理 并能运用正弦定理 余弦定理解斜三角形 正弦定理和余弦定理高考层次要求 C 级 考情 2013 年高考 18 考 9 个选择题 9 个解答题 辽宁 2 考 广东未考 主要考两个 定理解三角形 同时考查与其它知识的综合 2013 年四川 17 题与向量结合考查 课标要求 1 了解正弦定理的推导过程 并掌握正弦定理 2 通过对任意三角形边长和角度的探索 掌握余弦定理 重点 运用正弦定理和余弦定理解三角形 难点 三角形解的个数的判定 正余弦定理的综合运用 过程 一 引入 一个三角形有三角 A B C 三角所对应的三边 a b c 共 6 个元素 我们知 道其中几个元素求其它元素的过程 称为解三角形 如何运用边角关系来解三角形 要用到正余弦定理 这就是今天复习的内 正弦定理和余弦定理 一 二 知识回忆 定理正弦定理余弦定理 文字语 言 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 三角形中任何一边的平方等于 其他两边的平方的和减去这两边 与它们的夹角的余弦的积的两倍 符号语 言 R C c B b A a 2 sinsinsin R 是外接圆的半径 ABC 证明见课本 P2 在中 ABC Cabbac Baccab Abccba cos2 cos2 cos2 222 222 222 变形公 式 a 2RsinA b 2RsinB c 2RsinC sinA sinB sinC a b c R c C R b B R a A 2 sin 2 sin 2 sin R CBA cba C c B b A a 2 sinsinsin sinsinsin ab cba C ac bca B bc acb A 2 cos 2 cos 2 cos 222 222 222 解决的解决的 问题问题 已知两角和任一边 求其他边和角已知两角和任一边 求其他边和角 已知两边和其中一边的对角 求其他边已知两边和其中一边的对角 求其他边 和角和角 已知三边已知三边 求各角求各角 已知两边和它们的夹角已知两边和它们的夹角 求第三边求第三边 和其他角和其他角 相同点相同点都揭示了三角形中边 角的关系都揭示了三角形中边 角的关系 不同点不同点 表达式不一样表达式不一样 使用条件不同使用条件不同 联系联系解题时两个定理常结合使用解题时两个定理常结合使用 三 思考辨析三 思考辨析 判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确 请在括号中打请在括号中打 或或 1 在在 ABC 中 中 A B 必有必有 sin A sin B 2 正弦定理对钝角三角形不成立正弦定理对钝角三角形不成立 3 在在 ABC 中共有三个角 三个边六个量 可以已知三个量求另外三个量中共有三个角 三个边六个量 可以已知三个量求另外三个量 4 余弦定理对任何三角形均成立余弦定理对任何三角形均成立 5 正弦定理可以实现边角互化 但余弦定理不可以正弦定理可以实现边角互化 但余弦定理不可以 四四 考点自测考点自测 1 在在 ABC 中 中 a 3 A 30 B 60 则 则 b 等于等于 A B C D 333 2 3 32 2 在在 ABC 中 中 a 4 b C 30 则边 则边 c 等于等于 32 A B 2 C D 3332 3 ABC 满足满足 acos B bcos A 则 则 ABC 的形状为的形状为 A 直角三角形直角三角形 B 等边三角形等边三角形 C 等腰三角形等腰三角形 D 等腰直角三角形等腰直角三角形 4 在在 ABC 中 中 B 30 C 120 则 则 a b c 5 在在 ABC 中 已知中 已知 a2 b2 bc c2 则角 则角 A 等于等于 五 典例分析五 典例分析 考点考点 1 正弦定理的应用正弦定理的应用 例例 1 1 2013 唐山模拟唐山模拟 在在 ABC 中中 A a 1 b 则则 B 6 2 A B C 或或 D 或或 6 5 4 4 3 4 4 3 6 2 2013 惠阳模拟惠阳模拟 已知已知 a b c 分别是分别是 ABC 的三个内角的三个内角 A B C 所对的边 若所对的边 若 a 1 b 3 A C 2B 则 则 sin C 等于等于 A 1 B C D 2 1 2 3 3 3 3 2013 岳阳模拟岳阳模拟 如图如图 在在 ABC 中 点中 点 D 在在 BC 边上 边上 AD 33 sin ABD cos ADC s ADC 求求 sin ABD 的值的值 13 5 5 3 求求 BD 的长的长 归纳总结归纳总结 1 三角形解的情况三角形解的情况 已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角 解三角形时解三角形时 注意解的情况注意解的情况 如已知如已知 a b A 则有两解 一解 无解则有两解 一解 无解 三种情况三种情况 A 为锐角为锐角A 为钝角或直角为钝角或直角 图形图形 关系关系 式式 a bsinAa bsinAbsinA ab a b 解的解的 情况情况 无解无解一解一解两解两解一解一解一解一解无解无解 2 解三角形中的常用公式和结论解三角形中的常用公式和结论 1 A B C 2 0 A B C 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin CCBACCBA sin A B sinC cos A B cosC tan A B tanC 3 三角形中等边对等角三角形中等边对等角 大边对大角大边对大角 反之亦然反之亦然 三角形中任意两边之和大于第三边三角形中任意两边之和大于第三边 任意两边任意两边 之差小于第三边之差小于第三边 变式训练 在在 ABC 中 中 a b B 45 求角求角 A C 和边和边 c 32 解析解析 由正弦定理得由正弦定理得 2 3 sin 45sin 2 sin 3 A A a b A 60 或或 A 120 当当 A 60 时 时 C 180 45 60 75 c 2 26 sin sin B Cb 当当 A 120 时 时 C 180 45 120 15 c 2 26 sin sin B Cb 考点考点 2 余弦定理的应用余弦定理的应用 典例典例 2 1 2013 台州模拟台州模拟 在在 ABC 中 中 2a c cos B bcos C 则角则角 B 等于等于 A B C D 6 4 3 12 5 2 2013 济南模拟济南模拟 已知已知 ABC 中 中 sin A sin B sin C 3 2 4 则 则 cos C 等于等于 A B C D 4 1 4 1 3 1 3 1 3 在在 ABC 中 角中 角 A B C 所对的边分别为所对的边分别为 a b c 且满足 且满足 3 5 52 2 cos ACAB A b c 6 则边则边 a A B C D 4223252 思路点拨思路点拨 1 利用余弦定理代入整理转化可求利用余弦定理代入整理转化可求 2 利用已知条件及正弦定理得利用已知条件及正弦定理得 a b c 的关系 再利用余弦定理可求的关系 再利用余弦定理可求 3 利用已知可得利用已知可得 cos A 及及 b c 的值 从而利用余弦定理可求的值 从而利用余弦定理可求 a 变式训练 若将本例题 3 中的 改为 6 3 cbACAB 42 cos 2 sin bBB 如何求 a 归纳总结归纳总结 正 余弦定理的相互转化正 余弦定理的相互转化 正 余弦定理在应用时正 余弦定理在应用时 应注意灵活性 尤其是其变形应用时可相互转化 应注意灵活性 尤其是其变形应用时可相互转化 如如 a2 b2 c2 2bccos A 可以转化为可以转化为 sin2A sin2B sin2C 2sin Bsin Ccos A 利用这些变形可进行等式的化简与证明 利用这些变形可进行等式的化简与证明 变式备选变式备选 在在 ABC 中 中 a b c 分别是角分别是角 A B C 的对边 的对边 且且 2cos cos ca b C B 1 求角求角 B 的大小的大小 2 若若 求求 a c 的值的值 4 13 cab 正 余弦定理的综合题正 余弦定理的综合题 典例典例 12 分分 2012 江苏高考江苏高考 在在 ABC 中 已知中 已知 BCBAACAB 3 1 求证 求证 tan B 3tan A 2 若若 cos C 求求 A 的值的值 5 5 在 ABC 中 a b c 分别为 A B C 的对边 已知20ac 2CA 3 cos 4 A 1 求 c a 的值 2 求b的值 分析 利用2CA 转化为边的关系 解 1 由 sinsin23 2cos sinsin2 cCA A aAA 2 由 20 3 2 ac c a 得 8 12 a c 由余弦定理 222 2cosabcbcA 得 2 18800bb 解得 8b 或10b 若8b 则AB 得 4 A 即 23 cos 24 A 矛盾 故10b 点评 在解三角形时 应注意多解的情况 往往要分类讨论 课堂练习 1 在 ABC 中 已知 BC 12 A