实变函数教案ch5积分2

实变函数教案ch5积分2 5.3.乘积空间上的积分定义5.3.1X与Y是集合，Y X E?分别取定X x?与Y y?，记E y)(x,?Y y E x，E y)(x,?X xEy称xEE的x截口（集），yEE的y截口（集）定义5.3.2设),(y x f为Y X E?上的二元函数取定X x?，定义)E y(),()(f:x x?y x f y f x称为f的?x截口（函数）类似可定义f的?y截口（函数）)E x(),()(f:y y?y x f x fy性质01若X x)(,E,?则，?Y XE有cx xcE E)()(?，?xxE E)(，?xxE E)(以下设Y X?为、nf g f上的函数，R?,，那么02xg gf?xf X x有；03x x xg fg)f(X x?成立；04)(),()()(lim X x),(),(),(limxY y y f y fY Xy xy xfy x fxnnnn?有；05?)(f)(f,)(f)(fx x x x；06)()(f)(f,R V1xx1V V?有；07)X(x,)(xE xE?定义5.3.3（乘积代数）设A X和A Y分别是X和Y上的?代数，记?A B AA X,?B A Y由?生成的代数)(?K和?代数)(?S分别称为A X与A Y的乘积代数和乘积?代数记A X?A Y)(?S，称,(Y X?A X?A Y)为可测空间X(,A X)与Y(,A Y)的乘积可测空间称?B A为可测矩形A X?A Y中的元素称为Y X?中的可测集定理5.3.1设,(Y X?A X?A Y)是乘积可测空间 (1)若?E A X?A Y，则Y yX,x?有?xEA Y，?yE A X； (2)若f是Y X?上的A X?A Y可测函数，则Y fX,xx为?上的A Y可测函数；X fY,yy为?上的A X可测函数证只对?x截口加以证明 (1)取定X x?，令?EA X?A Y?xE A Y据截口集的性质01知，?为Y X?上的?代数而当?B A E，有?x xEBE A x,A x,c?A Y于是?，进而A X?A Y?这说明?E A X?A Y，则?xEA Y，)(X x? (2)f是Y X?上的A X?A Y可测函数，?开集?)(f1V RV A X?A Y由 (1)得?x xVf Vf)()()(11A Y，)(X x?从而Y f x为上的A Y可测函数引理?N n,)(1n1两两不交，nkkE E E K?定理5.3.2设X(,A X,x?)和Y(,A Y,y?)是两个?有限测度空间，A X和A Y是?代数y E (1)若?E A X?A Y，定义)X(x),()(y?x EE x?，则E?是X上Ex的非负A X可测函数；yE y (2)由?XEE(,)(X Y Xd E?A X?A Y)定义的集合函数Y X?是,(Y X?A X?A Y)上的?有限测度，且o xx)()()(B AB AY X Y X?，?(A A X，?BA Y)满足上式的乘积空间上的测度是唯一的（证略8582?P）定理5.3.3(Fubini定理)设X(,A X,x?)和Y(,A Y,y?)是两个?有限测度空间，A X和A Y是?代数，),(y xf为,(Y X?A X?A Y)上的可测函数 (1)若),(Y XY X L f?，则存在X?零测集A与Y?零测集B，令?A x,0A x,)(cYY xdfx?，?B y,0B y,)(cXXyd fy?则),(),(Y XYL X L?，且成立?Y X Y X Y X Y Xd d d f?(*) (2)若),(y xf的两个累次积分中有一个有限，则另一个也有限；此时),(y xf在Y X?上可积，同时(*)式成立证分三种情况讨论 (1)首先，设?E),(),(y xy xfE?A X?A Y则)()(?YY EYY x EYYxd d d fxx?)(x YE?,)X x(?据前一定理，)(x?为X上非负AX可测函数，且?X Y X Y X)(X Y XY XEY XdE d d f?由积分的线性性质知，当),(y xf为Y X?上的非负简单函数时，也有?XY X XY Xd d f?(a)其次，设),(y xf为Y X?上的非负AX?A Y可测函数，用非减的非负简单函数列n nf f,f，据Levi定理，可得(a)式成立最后，设),(y xf为Y X?上的一般AX?AY可测函数且可积令)X(x,)()(?YYxdf x?，则?与均在X上非负AX可测，且由?Y XY XXXd f d?，可知?与均在X上非负可积，从而在X上X?a.e.有限记)()(?X XA?，则0)(?AX?再令cA?)(?，则?在X上可积，且当A x?时0)(?x?；当cA x?时，)()()(xxx?YY xYY xd f d f?)()(?YY xYYxYYxd f d f d f?)()(此外，?XXXXAXAXAXXXd dddd dc c c?)(?YXYXYXYXYXY Xd f d f d f?同理可证，存在Y?零测集B及?，使?Y YXYY Xdd f? (2)在 (1)中已证若),(y xf为YX?上的非负可测函数，有(a)式成立在(a)式中，),(y xf视作),(y xf，?视作),(y xf相应所得的函数，则知当?在X上可积时（即),(y xf的“先y后x的累次积分值有限”），),(y xf在YX?上的积分值也有限，),(y xf在YX?上可积，从而),(y xf在YX?上可积由 (1)即得 (2)（8786?P书上错误）例1设)3,2,1,j i,(,?R aj i，若?11i jjia，则?1,j ijia绝对收敛，且?1,j ijia?1111j ijii jjia a证在Fubini定理中，取?N YX，AXAY=P)(?N，c YX?)(?N P上的计数测度)，j),(ia ji f?，)N ji,(?则AX?AY)()()(?N NP NP NP，c cYX?为)(?N NP上的计数测度，),(jif是?N N上的可测函数，据Fubini定理中 (2)即得结论例2（积分的几何意义）设X(,A,)?是?有限的测度空间，0?f是有限值可测函数，若yf(x)y=f(x)?E A，记曲边梯形f(x)y0R,Ey)(x,),(),(?y xf E G则),(f EG为,(R X?A),m L?上的可测集，且?Ed f f EG m?),()(证令)R Xy)(x,(f(x),y)(x,)y,(?yxo ax bx则?E A，R a?有?),()(a Ea R E?A L?，?R af Ea R E)()(?A L?即?、均在R X?上A L?可测，故),(f EG)()0(?RERE?为A L?可测集于是，?R Xm d f EGm)(),()()f G(E,?E XEXxdddm?f f)f G(E,(5.4.广义测度（简介）5.4.1.广义测度及JordanHahn分解定义5.4.1.设X(,A)是可测空间，集合函数:?A,(?，满足 (1)0)(?； (2)(可列可加性)若nE为A中两两不交的集列，则?1n1n)(E En n?；称?为X(,A)上的一个广义测度若?)(X?，称?为有限广义测度；若存在?nE A，?1nEnX，)N n(,)(?nE?，称?为?有限广义测度注类似地，可给出广义测度:?A),?的相应定义广义测度不具有测度的全部性质例如 (1)令),1?X，取Lebesgue可测空间),(L X定义)0),1(),0()(?E mE mE?，L)(E?可验证?是),(L X上的一个广义测度 (2)取测度空间X(,A,)?，f为X上的A可测函数，且?Xd?f定义:?Ed E?f)(，?E(A)则?是X(,A)上的广义测度特别，若);(?X L f?，则?是X(,A)上的有限广义测度定义5.4.2.设?为X(,A)上的一个广义测度集?E A满足?A A有)0)(,0)(?E A E A?，则称E为关于?的正定集（负定集）引理1若)N(n,?nE E为?的正（负）定集，则?F A，集合?1n F,E,nE F E均为?的正（负）定集证?A A，有F)(E0)()(?A F E A F Ec?正定定理5.4.1. (1)（Hahn分解）设X(,A,?)是广义测度空间，?存在?E A，使E为?正定集，cE为?负定集 (2)（Jordan分解）X(,A)上的任一广义测度?均可分解为?，其中?、为A上的测度，且?是有限测度进而，若?为有限（或?有限）广义测度，则?为有限（或?有限）测度?的上变差；?的下变差证 (1)令?E)(infE?A为?负定集，?(为?负定集)则存在?负定集列?)(E,n使nE取?1nEnB，则B为负定集，0,(,)(?B令cB E?，可证E为?正定集，B Ec?为?负定集（证略） (2)取上述关于?的Hahn分解cE E X?，其中E为?正定集，cE为?负定集令)()(E A A?，?(A),()(cE A A?A)则)()()()()()(A A A E A E A Ac?，0)(?A?，0)(?A?，?)()(cE X?，即?是测度，?是有限测度进而，若?是有限广义测度，则?)()()(X X X?，?为有限测度注01一般来说，Hahn分解并非唯一如上例 (2)中的?02定理中由Hahn分解导出的Jordan分解不随Hahn分解的改变而改变即若c cFF E E X?为?的两个不同的Hahn分解，其中F E、为?正定集，c cF E、为?的负定集则)()(F A E A?，?(A),()(c cF A E A?A)（反证法假设)()()()()(E F A E FA E FA FA E Ac?，?为F(?正定集）从而0)()()()(?cF E AFE E A EFA E A?，但cF是负定集，矛盾两个等式成立）03若21?、是X(,A)上的两个测度，且2?有限，令?(A),()()(21A A A?A)可以验证?是X(,A)上的广义测度；当1?有限（或?有限）时，?也有限（相应地?有限）5.4.2广义测度的绝对连续定义5.4.3.设?为X(,A)上的广义测度，令?(A),()()(A AA?A)，即?，称?为?的全变差（测度）?为X(,A)上的测度；若?有限（或?有限），则?也有限（相应地?有限）定义5.4.4.（绝对连续）设?、是X(,A)上的广义测度，若0(A)0)(?A，则称?关于?绝对连续，记作?引理2设?、是X(,A)上的广义测度，以下三条等价 (1)?； (2)?，?； (3)?定理5.4.2.设?、是X(,A)上的广义测度，且?有限，则?A0,0,当?A，?)(A时，有?)(A证“?”反证法假设?不成立?0AA，使0)(A,0)(00?但A取)(A210?，0?，?)(,0)(00AA故矛盾?“?”要利用RN定理，略5.4.3RadonNikodym定理引理3设?、是X(,A)上的有限测度，?，且0)(?X?则?A0及?A，使得0)(?A?，且A是关于广义测度)(?的正定集证令n,1?则nn?是X(,A)上的有限广义测度，关于n?存在Hahn分解n n nE E E X?(,为?正定集，nE?为负定集)，)(N n?记?1nEnE，则1E E?ncE由于n E?为负定集，故0)() (1)(n?cE EnE?，)N(n?即?) (1)(0c cEnE?令?n，得0)(?cE?已知0)()()()(?E E E Xc?由?得0)(?E?于是，0)()(E1n?En?（?是正测度）故0)(,n00?nE N?使取0n1,0?及nE A即可*定理5.4.3（RadonNikodym定理）设?与?分别为X(,A)上的?有限广义测度与?有限测度若?，则存在X上?a.e.有限的可测函数f，满足?Ed fE)(，?E(A)且f在?等价的意义下是唯一的（即若g满足?E(,)(?Egd E A)，则X a.e.,于?gf）注记?d f d,?或ddf，称f为?关于?的RadonNikodym(RN)导数证若?E(,0)(E?A)，则取0?f即可下设0?以下从特殊到一般，分三步证明第一步设?、是有限测度令F f:?R Xf为非负A可测，且?EA，)(E d fE?因?0f F，故F?，且?)(sup Xd fXFf?存在?nf F，使?XfXnnd f d f sup limF令)N n(,maxn k1?k nfg则ng在X上非负可测，且存在两两不交的?)()(1,nnnE E?A，满足?nkX1(n)kE?，?nkk nxfx g1E)(x)(n)k?，)N(n),Xx(?于是，?nknkE EkEnE d f d gnk11(n)k)()E(E(x)(?，?E(A)亦即?ngF再令nN nf fsup?，则f在X上非负可测，且)(0xgn?)(xf，)(Xx?由Levi定理知，?f F，且?X Xnnd f dg lim下证f即为所求注意到?f F，即?(E),(0E d fE?A)由)X,L(f)(?知X故f在X上a.e.?有限令?Ed fE E)()(0，?E(A)则0?是X(,A)上的测度，由?知?0而?)()(0XX?，知0?是有限测度下证00?（即得?E),(E d fE?A）这等价于0)()(000?XE?，（0?是测度）采用反证法若不然，则由引理3知，存在0?与?AA，使0)(?A?且A是)(0?正定集，即)()(0A EAE?E(,)(?A Ed f AE?A)亦即)(AE?A Ed f?E(),(AE?A)令,Af g?则g是X上的非负可测函数，?EA，有)(AE d fgdE E?)(AEd f d fA EAE?)()()()(EAEAEAEd fAE?（?f?F）故?g F另一方面，?)()(AAd fgdX X，这与?的定义矛盾第二步设?是有限广义测度，?是有限测度由Jordan分解知，?，?、为有限测度，且?，?据第一步结论，)L(X,?，使)(E dE?，?E(),(E dE?A)令?f，则)L(X,?f，且)()()(E E E?E(,)(?E Ed f dA)第三步设?是?有限广义测度，?是?有限测度?是广义测度，具有性质?FE,A，?(E)(F)?且FE由?、均为?有限易知，存在两两不交的?nE A，?1nEnX，且)N(n,)(E,)(n?nE令E)(E(E)n?n，E)(E(E)n?n，?E(A)，)N(n?则)(N nn n?、分别为有限广义测度与有限测度对于N n?，由于?知，0(E)0(E)?n n?，即n n?由第二步结论，)L(X,n nf?，使?EnE En nEn nd f d f df EnnE)(?，?E(A)得)L(X,?nE nf，从而.e a?有限再令?1E nnnf f?因nE两两不交，知f为X上的.e a?有限的可测函数，且?1nE n)(?nf f，n nE E)(?nff从而?EnEn ndf df EnE)()()(，?E(A)但)(EX)(E(X)(n n?n于是?111n(X)()(E)(nXEnnnd fXn?d fX?，得f在X上关于?的积分存在（可能为?），从而有?df dfdfdfEEnE EnEEnEE nnnnnn n?(E)(E)(E)(11111n?，?E(A)在?等价意义下，f的唯一性是显然的（书上94P，97P错误）注我们称实数域R具有RadonNikodym性质(RNP)复测度与复积分定义1设X(,A)为可测空间，复函数v iu f,:?C Xf，其中R Xv u?、为X(,A)上实可测函数，称f为复可测函数若?是X(,A)上的测度，?E vu在、A上积分存在（或可积），则称f在E上积分存在（或可积），且定义?d vi du d fE E E?定义2设X(,A)为可测空间，复集合函数:?A C?满足 (1)0)(?； (2)(可列可加性)若nE为A中两两不交的集列，则?1n1n)(E Enn?；称?为X(,A)上的一个复测度注(A)在RN定理中，若?为复测度，则定理依然成立，其中f为复值?可积函数(B)在概率论中，设F是样本空间S上的一个事件域（?代数），则,(S F)是一个可测空间若:PF1,0?是一个概率测度，则,(S F,)P是概率测度空间若)S(e),(?e XX是复随机变量，则要用到复积分第五章习题98P4设X(,A),?是测度空间，?EA，f.)(n?E?为E上a.e.有限的可测函数列证明?Ennnndfff01lim I0?证“?”设0?I固定00nn,0n0,.0?当?时，)(11111)()(?nf E f EnnEnnf Eddffdffn n从而?)(nf E，0)(lim?nnf E“?”设00,.0?nf，由于) (1)() (111)(EfE Edffdffnf EnnEnnn?先取2)(1,0?E使；后对此?，选00nn,0n?当时，2)(?nfE于是，当0nn?时，?Enndff1，0I?7设X(,A,)?为一测度空间，)3,2,1,n(),(E),(n?n fE E Lf证明0)(lim?nnE n?证N)n(),(?nE EEE nd ndfd fnn?由于)(E Lf?，?dfE，故)n(,01)(?d fnE nEn11设X(,A,)?为一测度空间，f为X上可测函数，?nE A证明 (1)若nEE，且?Edf?存在，则?nE nEdfdf?lim；证利用)5(.6.1.568Th P令)2(n,111?nnnEEFEF则nF两两不交，nkE?n1kF，En k?1n1kE F，据)5(.6.1.568Th P有?nnkk k kE nF nnkFnkF Edfdfdfdfdf lim lim lim111? (2)若nEE，且)(1E Lf?，则?nEnEdfdf?lim证利用Lebesgue控制收敛定理于nEf?nEf?可测，且1E Effn?，)3,2,1(?n而)(f),(11XLELfE?（控制函数）nEE，EEn?( (8),5P)，)(n,ff?EEn?故?nnE nXEn XEEdfdfdfdf?limlim错误nE?E，)()(lim nEEn?.(见33P测度性质 (6)，上半连续性有条件成立)如取R X?，在)(R P上定义测度?为Q AA?1,0)(?(势)，()(R PA?).取nE),n1,1(则?nE0,1(?E，而)N(n,)n1,0)(?Q En?，而1)(?E?14（H?lder不等式）15（Minkowski不等式）23设)m,(gb aLf?证明0?，存在多项式P，使?gb admP f,证分三步逼近?f简单函数?连续函数?多项式第一步根据积分的定义，对于0?，