圆锥曲线的教案范文

圆锥曲线的教案范文 课彗星太阳PF2F1题81椭圆及其标准方程（一）教学目的1理解椭圆的定义明确焦点、焦距的概念2熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程3能由椭圆定义推导椭圆的方程4启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力教学重点椭圆的定义和标准方程教学难点椭圆标准方程的推导教学过程 一、复习引入11997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长（说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题）2.复习求轨迹方程的基本步骤3手工操作演示椭圆的形成取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的21,FF两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆分析 （1）轨迹上的点是怎么来的？ （2）在这个运动过程中，什么是不变的？答两个定点，绳长即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变） 二、讲解新课1椭圆定义平面内与两个定点21,FF的距离之和等于常数（大于|21FF）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方 （1）两个定点-两点间距离确定 （2）绳长-轨迹上任意点到两定点距离和确定思考在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（?线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（?圆）由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)2.根据定义推导椭圆标准方程取过焦点21,FF的直线为x轴，线段21FF的垂直平分线为y轴设),(y xP为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c2（0?c）.则)0,(),0,(21c Fc F?，又设M与21,FF距离之和等于a2(c a22?)（常数）?a PF PF PP221?221)(y c x PF?又，a y c x y c x2)()(2222?，化简，得)()(22222222c aa y a xc a?，由定义c a22?,022?c a令222b c a?代入，得222222b a y a x b?，两边同除22ba得12222?byax此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是)0,()0,(21c Fc F?，中心在坐标原点的椭圆方程其中222b c a?注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换y x,轴）焦点则变成),0(),0(21c Fc F?,只要将方程12222?byax中的y x,调换，即可得12222?bxay，也是椭圆的标准方程理解所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12222?byax与12222?bxay这两个标准方程中，都有0?b a的要求，如方程),0,0(122n mn mnymx?就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1?byax类比，如12222?byax中，由于b a?，所以在x轴上的PF2F1xOyPF2F1xOy“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看22,yx分母的大小) 三、讲解范例例1写出适合下列条件的椭圆的标准方程两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；两个焦点坐标分别是（0，2）和（0,2）且过（23?,25）解 （1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为12222?byax)0(?b a9454,582,10222222?c a bc ac a?所以所求椭圆标准方程为192522?y x因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为12222?bxay)0(?b a由椭圆的定义知，22)225()23(2?a22)225()23(?10211023?102?10?a又2?c6410222?c ab所以所求标准方程为161022?x y另法42222?a c ab可设所求方程142222?axay，后将点（23?,25）的坐标代入可求出a，从而求出椭圆方程点评题（）根据定义求若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；题（）由学生的思考与练习，总结有两种求法其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程 五、小结本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点:椭圆的定义中,022?ca；椭圆的标准方程中,焦点的位置看x,y的分母大小来确定；a、b、c的几何意义 八、课后记写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答) (1)a=4,b=3,焦点在x轴； (2)a=5,c=2,焦点在y轴上.（答案19y16x22?；121x25y22?） (2)已知三角形ABC的一边?长为6,周长为16,求顶点A的轨迹方程解以BC边为x轴，BC线段的中垂线为y轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭圆，其方程为116y25x22?若以BC边为y轴，BC线段的中垂线为x轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭圆，其方程为125y16x22?课题82椭圆的简单几何性质（一）教学目的1熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质2掌握标准方程中c b a,的几何意义，以及e c b a,的相互关系3理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法教学重点椭圆的几何性质教学难点如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质教学过程 一、复习引入1椭圆定义在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2标准方程12222?byax，12222?bxay（0?b a）3问题 （1）椭圆曲线的几何意义是什么？ （2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的y x,取值范围是什么？其图形位置是怎样的？ （3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？ （4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？c b a,的几何意义各是什么？ （5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？ （6）画椭圆草图的方法是怎样的？ 二、讲解新课由椭圆方程12222?byax(0?b a)研究椭圆的性质.(利用方程研究,说明结论与由图形观察一致) (1)范围:从标准方程得出122?ax,122?by,即有a xa?,b yb?，可知椭圆落在b ya x?,组成的矩形中 (2)对称性:把方程中的x换成x?方程不变，图象关于y轴对称y换成y?方程不变，图象关于x轴对称把y x,同时换成y x?,方程也不变，图象关于原点对称如果曲线具有关于x轴对称，关于y轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心x轴、y轴叫椭圆的对称轴从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距 （3）顶点椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点在椭圆12222?byax的方程里，令0?y得a x?，因此椭圆和x轴有两个交点)0,(),0,(2a Aa A?，它们是椭圆12222?byax的顶点令0?x，得b y?，因此椭圆和y轴有两个交),0(),0(2b Bb B?，它们也是椭圆12222?byax的顶点因此椭圆共有四个顶点)0,(),0,(2a Aa A?，),0(),0(2b Bb B?加两焦点)0,(),0,(21c Fc F?共有六个特殊点.21AA叫椭圆的长轴，21BB叫椭圆的短轴长分别为b a2,2b a,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点.至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围,对称性,顶点因而只需少量描点就可以较正确的作图了 (4)离心率:发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同QB2B1A2A1PF2F1PPxOy这种扁平性质由什么来决定呢？概念椭圆焦距与长轴长之比定义式ace?2)(1abe?范围10?e考察椭圆形状与e的关系0,0?c e，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0?e时的特例,1a c e?椭圆变扁，直至成为极限位置线段21FF，此时也可认为圆为椭圆在1?e时的特例 五、小结这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法；学习了椭圆的几何性质对称性、顶点、范围、离心率；学习了椭圆的描点法画图及徒手画椭圆草图的方法课题82椭圆的简单几何性质（二）教学目的1.掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质；2理解椭圆第二定义与第一定义的等价性；3掌握根据曲线方程来研究曲线性质的基本思路与方法；培养学生观察能力，概括能力；提高学生画图能力；提高学生分析问题与解决问题的能力教学重点椭圆的第二定义、椭圆的准线方程教学难点椭圆第二定义教学过程 一、复习引入4.回顾一下焦点在x轴上的椭圆的标准方程的推导过程如果对椭圆标准方程推导过程中的关键环节进行适当变形，我们会有新的发现22)(y cx?22)(y cx?a2?)()(222xcaacxaca y cx?，即aaxy cx?222)(同时还有aaxy cx?)()(222 (3)观察上述三式的结构，说出它们各自的几何意义,从而引出椭圆的第二定义 二、讲解新课1椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e，那么这B2B1A2A1xOy个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率K2F2F1N1K1N2PB2B1A2A1x OyK2F2F1N1K1N2PB2B1A2A1x Oy2椭圆的准线方程对于12222?byax，相对于左焦点)0,(1c F?对应着左准线cax l21:?；相对于右焦点)0,(2c F对应着右准线cax l22:?对于12222?bxay，相对于下焦点),0(1c F?对应着下准线cay l21:?；相对于上焦点),0(2c F对应着上准线cay l22:?准线的位置关系caa x2?焦点到准线的距离cb aap2222?（焦参数）其上任意点),(y xP到准线的距离（分情况讨论）点评 （1）从上面的探索与分析可知，椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 （2）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 五、小结本节课学习了椭圆的第二定义，椭圆两种定义是等价的；椭圆的两种类型的准线方程也是不同的，须区别开来上面)()(222xcaacy a x? （2）即ex a xcaacy a x?)()(222同样 （3）也可以这样处理，这是椭圆的焦半径公式 六、课后作业 七、板书设计（略） 八、课后记本课时背景材料是课本例4，学生解答例4并不困难，但对例4中直线的出现感到突然与困难，对由此得出的第二定义与第一定义有何内在联系搞不清楚本设计通过反思椭圆标准方程的推导过程，引导学生自己去发现椭圆的第二定义使学生明白两种定义是等价的，消除了学生困惑利用引导学生去发现定义的教学，调动学生的积极性，加强了知识发生过程的教学使用多媒体辅助教学，增加了课堂教学容量，提高了课堂教学效益课题82椭圆的简单几何性质（三）教学目的1.能推导，掌握椭圆的焦半径公式，并能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题；2能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题；3体会数学形式的简洁美,增强爱国主义观念教学重点焦半径公式的的推导及应用教学难点焦半径公式的的推导,应用问题中坐标系的建立教学过程 一、复习引入 二、讲解新课椭圆的焦半径公式设),(00y xM是椭圆12222?byax)0(?b a的一点,1r和2r分别是点M与点)0,(1c F?,)0,(2c F的距离.那么（左焦半径）01ex ar?,（右焦半径）02ex ar?,其中e是离心率推导方法一202021)(y cx MF?，202022)(y cx MF?022214cx MFMF?，a MFMF221?又?2221021a MFMFxacMF MF?00xxex a xaca MFex a xaca MF即（左焦半径）01ex ar?,（右焦半径）02ex ar?推导方法二,|11eMFr?eMFr?|22?00211)(|ex a xcae MFe r?，00222)(|ex a xcae MFe r?同理有焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式?0201ey a MFey a MF（其中21FF分别是椭圆的下上焦点）a-ca+cF2F1B Ax OyK2F2F1N1K1N2MB2B1A2A1x Oy注意焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关可以记为左加右减，上减下加 五、小结焦半径公式的推导方法及形式；实际问题中坐标系的建立应使问题易求解课题82椭圆的简单几何性质（四）教学目的1.了解椭圆的参数方程，了解参数方程中系数b a,的含义2通过学习椭圆的参数方程，进一步完善对椭圆的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系并能相互转化提高综合运用能力教学重点进一步巩固和掌握由曲线求方程及由方程研究曲线的方法及椭圆参数方程的推导.教学难点深入理解推导方程的过程.灵活运用方程求解问题.教学过程 一、复习引入 二、讲解新课1.问题如图，以原点O为圆心，分别以b a,(0?b a)为半径作两个图，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作NAOX垂足为N，过点B作BMAN，垂足为M求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹的参数方程解答设A的坐标为?NOA y x),(，取?为参数，那么?sin|cos|OB NMyOA ONx也就是)(sincos为参数?b ya x这就是所求点A的轨迹的参数方程将?sincosb ya x变形为?sincosbyax发现它可化为)0(12222?b abyax，说明A的轨迹是椭圆2.椭圆的参数方程)(sincos为参数?b yax注意?角不是角NOM? 五、小结椭圆的参数方程及形式,与普通方程的互化椭圆的参数方程的应用课题83双曲线及其标准方程（一）教学目的1使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用；?MNBAxOy2通过对双曲线标准方程的推导，提高学生求动点轨迹方程的能力；3使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程；4使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）；5培养学生发散思维的能力教学重点双曲线的定义、标准方程及其简单应用教学难点双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组教学过程 一、复习引入1椭圆定义平面内与两个定点21,FF的距离之和等于常数（大于|21FF）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（?线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（?圆）椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关2.椭圆标准方程 （1）12222?byax （2）12222?bxay其中222b ca? 二、讲解新课1双曲线的定义平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数（小于21FF）的动点的轨迹叫双曲线即a MFMF221?这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距概念中几个容易忽略的地方“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21FF”在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（?两条平行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（?两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关2双曲线的标准方程根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程过程如下 （1）建系设点； （2）列式； （3）变换； （4）化简； （5）证明取过焦点21F F，的直线为x轴，线段21FF的垂直平分线为y轴设P（y x,）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c（0?c）则)0,(),0,(21c Fc F?，又设M与)0,(),0,(21c Fc F?距离之差的绝对值等于2a（常数），ca22?a PFPFPP221?A2A1PF2F1xOy又221)(ycx PF?，a ycx ycx2)()(2222?，化简，得)()(22222222a ca yaxa c?，由定义ca22?022?a c令222b a c?代入，得222222b ayax b?，两边同除22ba得12222?byax，此即为双曲线的标准方程它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是)0,(),0,(21c Fc F?，其中222b a c?若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在y轴上，则焦点是),0(),0(21c Fc F?，将y x,互换，得到12222?bxay，此也是双曲线的标准方程3双曲线的标准方程的特点 （1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种焦点在x轴上时双曲线的标准方程为12222?byax(0?a,0?b)；焦点在y轴上时双曲线的标准方程为12222?bxay(0?a,0?b) (2)c b a,有关系式222b a c?成立，且0,0,0?c b a其中a与b的大小关系:可以为b ab ab a?,4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x、2y项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x项的系数是正的，那么焦点在x轴上；2y项的系数是正的，那么焦点在y轴上A2A1F2F1xOyx 五、小结双曲线的两类标准方程是)0,0(12222?b abya焦点在x轴上，)0,0(12222?b abxay焦点在y轴上c b a,有关系式222b ac?成立，且0,0,0?c b a其中a与b的大小关系:可以为b ab ab a?,课题84双曲线的简单几何性质（一）教学目的1使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质2掌握标准方程中c b a,的几何意义3并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题教学重点双曲线的渐近线及其得出过程教学难点渐近线几何意义的证明 一、复习引入名称椭圆双曲线图象xOy xOy定义平面内到两定点21,FF的距离的和为常数（大于21FF）的动点的轨迹叫椭圆。 即a MFMF221?当2a2c时，轨迹是椭圆，当2a=2c时，轨迹是一条线段21FF当2a2c时，轨迹不存在平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数（小于21FF）的动点的轨迹叫双曲线。 即aMFMF221?当2a2c时，轨迹是双曲线当2a=2c时，轨迹是两条射线当2a2c时，轨迹不存在标准方程焦点在x轴上时12222?byax焦点在y轴上时12222?bxay注是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在x轴上时12222?byax焦点在y轴上时12222?bxay注是根据项的正负来判断焦点所在的位置常数c b a,的关系222b ca?（符合勾股定理的结构）0?b a，a最大，b cb cb c?,222b ac?（符合勾股定理的结构）0?a最大，可以b ab ab a?, 二、讲解新课1范围、对称性由标准方程12222?byax可得22ax?，当ax?时，y才有实数值；对于y的任何值，x都有实数值这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心2顶点顶点?0,),0,(21a Aa A?特殊点?b Bb B?,0),0(21实轴21AA长为2a,a叫做半实轴长虚轴21BB长为2b，b叫做虚半轴长讲述结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程12222?byax中，令y=0得ax?，故它与x轴有两个交点?0,),0,(21a Aa A?，且x轴为双曲线12222?byax的对称轴，所以?0,),0,(21a Aa A?与其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21AA叫做双曲线12222?byax的实轴长，它的长是2a.在方程12222?byax中令x=0得22b y?，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y轴没有交点。 但Y轴上的两个特殊点?b Bb B?,0),0(21，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用把线段21BB叫做双曲线的虚轴，它的长是2b要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异3渐近线过双曲线12222?byax的两顶点21,AA，作Y轴的平行线ax?，经过21,BB作X轴的平行线b y?，四条直线围成一个矩形矩形的两条对角线所在直线方程是xaby?（0?byax），这两条直线就是双曲线的渐近线b分析要证明直线xay?（0?byax）是双曲线12222?byax的渐近线，即要证明随着X的增大，直线和曲线越来越靠拢也即要证曲线上的点到直线的距离MQ越来越短，因此把问题转化为计算MQ但因MQ不好直接求得，因此又把问题转化为求MN最后强调，对圆锥曲线而言，渐近线是双曲线具有的性质22|a xabxabMNMQ?)(22ax xab?22ax xab?（|MQ0?x）4等轴双曲线a=b即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线结合图形说明a=b时，双曲线方程变成222ay x?(或)2b，它的实轴和都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为xy?它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角5共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为xaby?)0(?k xkakb，那么此双曲线方程就一定是)0 (1)()(2222?kkbykax或写成?2222byax6双曲线的草图利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图具体做法是画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 五、小结双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线；双曲线草图的画法；双曲线12222?byax的渐近线是xaby?，但反过来此渐近线对应的双曲线则是)0 (1)()(2222?kkbykax或写成?2222byax课题84双曲线的简单几何性质（二）教学目的xyQB1B2A1A2NMOA2A1F2F1xOy1使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质2掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念3并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题4通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养教学重点双曲线的渐近线、离心率教学难点渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系教学过程 一、复习引入 二、讲解新课7离心率概念双曲线的焦距与实轴长的比acace?22，叫做双曲线的离心率范围1?e双曲线形状与e的关系1122222?eacaa cabk，因此e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 (1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； (2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约利用计算机动画先演示出“e的大小”与“开口的阔窄”的关系，能让学生对此变化规律先形成直观理解；然后再用代数方法边板书边推导，这样就可化难为易，使学生对此规律有更深刻清晰的理解这样做将有助于实在本节的这个难点8离心率相同的双曲线 (1)计算双曲线19422?y x的离心率0e； (2)离心离为0e的双曲线一定是19422?y x吗？举例说明如果存在很多的话，它们能否用一个特有的形式表示呢？ (3)离心率为213的双曲线有多少条？分析2222) (1)(1kakbabab aace?的关系式，并从中发现只要实现半轴和虚半轴各与a=2,b=3有相同的比k1(k0)的双曲线，其离心率e都是2139共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲x线如191622?y与116922?xy注意的区别三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同通过分析曲线发现二者其具有相同的渐近线此即为共轭之意1）性质共用一对渐近线双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上2）确定双曲线的共轭双曲线的方法将1变为-13）共用同一对渐近线kx y?的双曲线的方程具有什么样的特征可设为)0(1222?ky x，当0?时交点在x轴，当0?时焦点在y轴上 五、小结解例2这类应用题时，首先要解决以下两个问题 （1）选择适当的坐标系（通常是把题中的特殊直线或线段放在坐标轴上，特殊点放在原点）； （2）将实际问题中的条件借助于坐标系用数学语言表达出来（如把实物上的特殊点、线用坐标描述出来）课题84双曲线的简单几何性质（三）教学目的1使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质2掌握双曲线的另一种定义及准线的概念3掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念4进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育教学重点双曲线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程教学难点渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系，双曲线的另一种定义的得出过程教学过程 一、复习引入 二、讲解新课9双曲线的第二定义到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数)0(?a cace的点的轨迹是双曲线其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线常数e是双曲线的离心率10准线方程A2A1F2F1xOyA2A1F2F1xOy对于12222?byax来说，相对于左焦点)0,(1c F?对应着左准线cax l21:?，相对于右焦点)0,(2c F对应着右准线cax l22:?；a位置关系02?ca x焦点到准线的距离cbp2?（也叫焦参数）对于12222?bxay来说，相对于上焦点),0(1c F?对应着上准线cay l21:?；相对于下焦点),0(2c F对应着下准线cay l22:?11.双曲线的焦半径定义双曲线上任意一点M与双曲线焦点21,FF的连线段，叫做双曲线的焦半径焦半径公式的推导利用双曲线的第二定义，设双曲线)0,0(12222?b abyax，21,FF是其左右焦点则由第二定义edMF?11，?ecaxMF?xx1ex aMF?同理02ex aMF?即有焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式?0201ex aMFex aMF同理有焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式?0201ey aMFey aMF（其中21,FF分别是双曲线的下上焦点）点评双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。 两种形式的区别可以记为左加右减，上减下加（带绝对值号）12焦点弦定义过焦点的直线割双曲线所成的相交弦焦点弦公式可以通过两次焦半径公式得到设两交点),(),(2211yxB yx A当双曲线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关过左焦点与左支交于两点时)(221x xe a AB?过右焦点与右支交于两点时)(221x xe a AB?当双曲线焦点在y轴上时，过左焦点与左支交于两点时)(221y ye aAB?过右焦点与右支交于两点时)(221y ye aAB?13通径定义过焦点且垂直于对称轴的相交弦直接应用焦点弦公式，得到abd22?课题85抛物线及其标准方程（一）教学目的1使学生掌握抛物线的定义，标准方程及其推导过程；2根据定义画出抛物线的草图3使学生能熟练地运用坐标，进一步提高学生“应用数学”的水平教学重点抛物线的定义教学难点抛物线标准方程的不同形式授课类型新授课课时安排1课时教具多媒体、实物投影仪教学过程 一、复习引入3问题到定点距离与到定直线距离之比是定值e的点的轨迹，当01时是双曲线。 此时自然想到，当e=1时轨迹是什么？线l的距离之比是若一动点到定点F的距离与到一条定直一个常数1?e时，那么这个点的轨迹是什么曲线？A FKNM把一根直尺固定在图板上直线L位置，把一块三角板的一条直角边紧靠着真心直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角标顶点C的长（即点A到直线L的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线 二、讲解新课1.抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定A FKNM直线l叫做抛物线的准线2推导抛物线的标准方程F的坐标为)0,2(p，如图所示，建立直角坐标系系，设|KF|=p（p0）,那么焦点准线l的方程为2px?，设抛物线上的点M（x,y），则有|2|)2(22px ypx?化简方程得?022?p px y方程?022?p px y叫做抛物线的标准方程 （1）它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（2p,0），它的准线方程是2px? （2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式pxy22?，py x22?，py x22?.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下3抛物线的准线方程如图所示，分别建立直角坐标系，设出|KF|=p（p0），则抛物线的标准方程如下xy (1)MKFODxyK DFM (2)OxyKDFM (3)OxyK DFM (4)OD (1)0(22?p pxy,焦点:)0,2(p，准线l2px? (2)0(22?p pyx,焦点:)2,0(p，准线l2py? (3)0(22?p pxy,焦点:)0,2(p?，准线l2px? (4)0(22?p pyx,焦点:)2,0(p?，准线l2py?相同点 (1)抛物线都过原点； (2)对称轴为坐标轴； (3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p p?不同点 (1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为px2?、左端为2y；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为py2?，左端为2x （2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号点评 （1）建立坐标系是坐标法的思想基础，但不同的建立方式使所得的方程繁简不同，布置学生自xy (1)MKFOD己写出推导过程并与课文对照可以培养学生动手能力、自学能力，提高教学效果，进一步明确抛物线上的点的几何意义 （2）猜想是数学问题解决中的一类重要方法，请同学们根据推导出的 （1）的标准方程猜想其它几个结论，非常有利于培养学生归纳推理或类比推理的能力，帮助他们形成良好的直觉思维数学思维的一种基本形式另外让学生推导和猜想出抛物线标准方程所有的四种形式，也比老师直接写出这些方程给学生带来的理解和记忆的效果更好 （3）对四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程进行完整的归纳小结，让学生通过对比分析全面深刻地理解和掌握它们 五、小结小结抛物线的定义、焦点、准线及其方程的概念；课题86抛物线的简单几何性质（一）教学目的1掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点抛物线的几何性质及其运用教学难点抛物线几何性质的运用授课类型新授课课时安排1课时教具多媒体、实物投影仪内容分析“抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占有重要的地位和作用本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x（或y），则x轴（或y轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p本节分两课时进行教学第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例 1、例 2、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3教学过程 一、复习引入 二、讲解新课抛物线的几何性质1范围因为p0，由方程?022?p pxy可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸2对称性以y代y，方程?022?p pxy不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴3顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程?022?p pxy中，当y=0时，x=0，因此抛物线?022?p pxy的顶点就是坐标原点4离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示由抛物线的定义可知，e=1对于其它几种形式的方程，列表如下标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率?022?ppx yxyO Fl?0,0x轴?0,2p2px?1?e?022?ppx yxyOFl?0,0x轴?0,2p2px?1?e?022?ppy x?0,0y轴?2,0p2py?1?e?022?ppy x?0,0y轴?2,0p2py?1?e注意强调p的几何意义是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率附抛物线不存在渐近线的证明（反证法）假设抛物线y22px存在渐近线ymxn，A（x，y）为抛物线上一点，A0（x，y1）为渐近线上与A横坐标相同的点如图，xyA0AO则有pxy2?和y1mxnpx nmx y y21?xpxnm x2?当m0时，若x，则?y y1当m0时，px ny y21?，当x，则?y y1这与ymxn是抛物线y22px的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线 五、小结抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等课题86抛物线的简单几何性质（二）教学目的1掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式；3在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点抛物线的几何性质及其运用教学难点抛物线几何性质的运用教学过程 一、复习引入抛物线的几何性质抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线 二、讲解新课1.抛物线的焦半径及其应用定义抛物线上任意一点M与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径焦半径公式抛物线)0(22?p pxy，0022xp pxPF?抛物线)0(22?p pxy，0022xp pxPF?抛物线)0(22?p pyx，0022yp pyPF?抛物线)0(22?p pyx，0022yp pyPF?2直线与抛物线 （1）位置关系相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）下面分别就公共点的个数进行讨论对于)0(22?p pxy当直线为0y y?，即0?k，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点当0?k，设b kx y l?:将b kxy l?:代入0:22?F EyDx CyAx C，消去y，得到关于x的二次方程02?c bxax（*）若0?，相交；0?，相切；0?，相离综上，得联立?px yb kxy22，得关于x的方程02?c bxax当0?a（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当0?a，则若0?，两个公共点（交点）0?，一个公共点（切点）0?，无公共点（相离） （2）相交弦长弦长公式21kad?，其中a和?分别是02?c bxax（*）中二次项系数和判别式，k为直线bkxy l?:的斜率当代入消元消掉的是y时，得到02?c byay，此时弦长公式相应的变为211k ad? （3）焦点弦定义过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。 焦点弦公式设两交点),(),(2211yxB yx A，可以通过两次焦半径公式得到当抛物线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关抛物线)0(22?p pxy，)(21xxp AB?抛物线)0(22?p pxy，)(21xxp AB?当抛物线焦点在y轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关抛物线)0(22?p pyx，)(21y yp AB?抛物线)0(22?p pyx，)(21yyp AB? （4）通径定义过焦点且垂直于对称轴的相交弦直接应用抛物线定义，得到通径p d2? （5）若已知过焦点的直线倾斜角?则?px ypxk y2)2(20222?p ykpy?221212p yykpy y?sin24422221ppkpy y?221sin2sin1py yAB? （6）常用结论?px ypxk y2)2(20222?p ykpy和04)2(22222?p kxp pk xk221p yy?和421px x?3抛物线的法线过抛物线上一点可以作一条切线，过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物线在这点的法线，抛物线的法线有一条重要性质经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这点与焦点连线的夹角如图抛物线的这一性质在技术上有着广泛的应用例如，在光学上，如果把光源放在抛物镜的焦点F处，射出的光线经过抛物镜的反射，变成了平行光线，汽车前灯、探照灯、手电筒就是利用这个光学性质设计的反过来，也可以把射来的平行光线集中于焦点处，太阳灶就是利用这个原理设计的4抛物线)0(22?p pxy的参数方程