2019届天津市南开区南开中学高三下学期第三次月考数学（文）试题（解析版）

南开中学2019届高三第三次月考数学试题(文史类)一选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意，故选A.点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图2.若命题,则命题的否定为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据含有一个量词命题的否定，得到答案.【详解】因为命题，根据含有一个量词命题的否定，所以命题的否定为.故选：C.【点睛】本题考查含有一个量词命题的否定，属于简单题.3. 执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的S=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意得，输出的为数列的前三项和，而，故选B.考点：1程序框图；2.裂项相消法求数列的和.【名师点睛】本题主要考查了数列求和背景下的程序框图问题，属于容易题，解题过程中首先要弄清程序框图所表达的含义，解决循环结构的程序框图问题关键是列出每次循环后的变量取值情况，循环次数较多时，需总结规律，若循环次数较少可以全部列出.4.已知x，y满足约束条件，则的取值范围为（）A. 6，10B. （2，10C. （6，10D. 2，10）【答案】B【解析】由约束条件 作出可行域如图，化目标函数为y=3x+z，由图可知，当直线y=3x+z过A时，z取最大值，由 ,得A(4,2),此时 ；当直线y=3x+z过点B时,由 ,解得B(0,2)，故z302=2.综上,z=3x+y的取值范围为(2,10.本题选择B选项.点睛：求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.5.已知圆截直线所得弦的长度为,则实数的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先将圆化为标准式，写出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，由垂径定理列方程解出即可.【详解】解：将圆化为标准式为，得圆心为，半径圆心到直线的距离，又弦长由垂径定理得，即所以故选B.【点睛】本题考查了直线与圆相交弦长，属于基础题.6.已知等差数列前9项的和为27，则A. 100B. 99C. 98D. 97【答案】C【解析】试题分析：由已知，所以故选C.【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.7.已知函数的定义域为,且满足下列三个条件:对任意的,且,都有;是偶函数;若,则的大小关系正确的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据条件中的，得到的性质，然后对所求的进行转化，再进行比较，得到答案.【详解】由对任意的，且，都有，可得在上单调递增，由，可得周期为，由是偶函数，可得关于对称，所以因为在上单调递增，所以所以故选：C.【点睛】本题考查函数单调性、周期性、对称性的应用，比较函数值的大小，属于中档题.8.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,分别是的极值点,且有,则函数 ( )A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递增C. 在区间上单调递减D. 在区间上单调递减【答案】D【解析】【分析】先得到的一个极值大点，然后根据，得到的一个极大值点或极小值点，分别得到，再得到的解析式，再分别求出其单调区间，判断四个选项是否符合，从而得到答案.【详解】，可知是其一个极值点，因为分别是的极值点，且有，所以的一个极大值点为，或者的一个极小值点为，的一个极大值点为时，代入到，得， 即，即，因为，所以，所以，即，所以的单调递增区间为，即，所以的单调递减区间为，因此可得，在区间上单调递减，选项D符合.的一个极小值点为时，代入到，得， 即，即，因为，所以，所以，即，所以的单调递增区间为，即，所以的单调递减区间为，所以这种情况下，没有选项符合.故选：D.【点睛】本题考查三角函数平移求解析式，求正弦型函数的单调区间，正弦型函数的图像与性质，属于中档题.二填空题(每题5分,满分30分,将答案填在答题纸上)9.若复数z满足，其中i为虚数单位，则_【答案】【解析】【分析】设复数，、b是实数，则，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得a、b的值，从而得到复数z的值【详解】解：设，、b是实数，则，解得，则故答案为【点睛】本题着重考查了复数的四则运算和复数相等的含义，属于基础题10.如图，正方体的棱长为1，E为棱上的点，为AB的中点，则三棱锥的体积为 .【答案】【解析】试题分析：.考点：1.三棱锥的体积；2.等体积转化法.11.已知都是正实数,且满足,则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据已知的式子，得到的关系，然后利用基本不等式中求得的最小值.【详解】因为都是正实数，且满足所以所以，所以，所以.当且仅当，即时，等号成立.故答案为：【点睛】本题考查对数的化简，基本不等式“1”的妙用求和的最小值，属于简单题.12.在中,若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率_.【答案】【解析】【分析】根据，得到的三边，根据椭圆的定义，得到和，从而得到离心率.【详解】因为，所以，得，由余弦定理得，所以，因为以为焦点的椭圆经过点，所以，所以椭圆的离心率为.故答案为：.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，椭圆的定义，求椭圆离心率，属于简单题.13.在边长为的正方形中,动点和分别在边和上,且,若,则实数_.【答案】【解析】【分析】以，为基底，将，用，表示，得到关于方程，解得的值.【详解】因为，所以，因为，所以，即，解得.故答案为：【点睛】本题考查向量的线性运算，根据向量的数量积求参数，属于中档题.14.已知函数,其中.若存在实数,使得关于的方程有三个不同的解,且函数仅有两个零点,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】画出和的图像根据存在实数，使得关于的方程有三个不同的解，得到的不等式，解得的范围，根据仅有两个零点，得到对恒成立，得到，从而又得到一个关于的不等式，解得的范围，从而得到答案.【详解】当时，在上单调递减，上单调递增，所以方程至多有两个不同的解，不满足题意.所以，作出和的图像如图，要使方程有三个不同的解则和的图像有三个不同的交点，则，解得；因为函数仅有两个零点作出和的图像，如图，因为，所以在上一定有两个交点，所以当时，恒成立，即恒成立，则，解得，综上所述，满足要求的的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查函数与方程，零点问题与交点问题的转化，不等式恒成立，涉及分类讨论的思想，属于中档题.三解答题 (本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.) 15.某中学调查了某班全部名同学参加学校社团的情况,数据如下表:(单位:人)参加书法社未参加书法社参加辩论社未参加辩论社（1）从该班随机选名同学,求该同学至少参加一个社团的概率;（2）在既参加书法社又参加辩论社的名同学中,有名男同学,名女同学.现从这名同学中男女姓各随机选人(每人被选到的可能性相同).(i)列举出所有可能结果;(ii)设为事件“被选中且未被选中”,求事件发生的概率.【答案】（1）；（2）（i）见解析；（ii）【解析】【分析】（1）根据调查数据表，得到既未参加书法社又未参加辩论社的人数，从而得到至少参加一个社团的人数，得到该同学至少参加一个社团的概率；（2）（i）根据题意，列出所有可能结果，（ii）得到事件所包含的情况，根据古典概型公式，得到概率.【详解】（1）由调查数据表可知，既未参加书法社又未参加辩论社的有人， 故至少参加一个社团的共有(人)，所以从该班随机选名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为.（2）（i）从这名男同学和名女同学中各随机选人，全部可能的结果组成的基本事件有:，共个.（ii）事件所包含的基本事件有:共个，因此.【点睛】本题考查随机事件的概率，求古典概型的概率，属于简单题.16.已知函数，（1）求函数的最小正周期;（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）对进行化简，得到正弦型函数的形式，根据，得到答案；（2）先得到，再将所求的，利用两角和的正弦公式，计算得到答案.【详解】（1）所以最小正周期为.（2）由（1）得，所以由得，所以【点睛】本题考查三角恒等变形，同角三角函数关系，三角函数给值求值题型，属于简单题.17.如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点（1）求证：AF平面BCE；（2）求证：平面BCE平面CDE；（3）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）取CE的中点G，由三角形的中位线性质证明四边形GFAB为平行四边形，得到AFBG，从而证明AF平面BCE（2）通过证明AFCD，DEAF，从而证明AF平面CDE，再利用BGAF证明BG平面CDE，进而证明平面BCE平面CDE（3）在平面CDE内，过F作FHCE于H，由平面BCE平面CDE，得 FH平面BCE，故FBH为BF和平面BCE所成的角，解RtFHB求出FBH的正弦值【详解】（1）证明：取CE的中点G，连FG、BGF为CD的中点，GFDE且AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB又，GFAB四边形GFAB为平行四边形，则AFBGAF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE（2）证明：ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCDDE平面ACD，AF平面ACD，DEAF又CDDED，故AF平面CDEBGAF，BG平面CDEBG平面BCE，平面BCE平面CDE（3）解：在平面CDE内，过F作FHCE于H，连BH平面BCE平面CDE，FH平面BCEFBH为BF和平面BCE所成的角设ADDE2AB2a，则，RtFHB中，直线BF和平面BCE所成角的正弦值为【点睛】本题考查证明线面平行的方法，平面垂直的方法，求直线与平面成的角的方法，属于中档题18.已知数列是首项为正数的等差数列,数列的前项和为.（1）求,并求出数列的通项公式;（2）设,求数列的前项和.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）分别令和，得到，化成基本量表示，得到关于的方程组，解得，从而得到和的通项；（2）由（1）得，利用错位相减法，得到.【详解】（1）设数列的公差为，因为数列的前项和为，令，得，所以 令，得，所以 由得解得，所以，.（2）由（1）知，两式相减，得所以，【点睛】本题考查等差数列通项的基本量计算，错位相减法求数列前项的和，属于中档题.19.设椭圆的左、右焦点分别为，左项点为上顶点为.已知.（1）求椭圆的离心率；（2）设为椭圆上在第一象限内一点,射线与椭圆的另一个公共点为,满足，直线交轴于点，的面积为.(i)求椭圆的方程.(ii)过点作不与轴垂直的直线交椭圆于（异于点）两点，试判断的大小是否为定值，并说明理由.【答案】（1）；（2）(i) (ii) 是定值，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据，得到，之间的关系，从而得到离心率；（2）(i)设椭圆方程为，根据，得到，代入椭圆方程得，从而得到直线的方程和点坐标，表示出的面积，解出，得到椭圆方程；(ii) 设直线的方程为: ，与椭圆联立得到，对进行计算化简，从而得到，是定值.【详解】（1），则因为，所以解得，所以.（2）(i)由（1）得，即，设椭圆的标准方程为.由题意设，所以，由，易知， 所以，得，代入椭圆方程得，所以所以，直线，令得所以，所以，解得，所以椭圆的方程为(ii)显然点在椭圆内部，直线的斜率存在且不为.设直线的方程为: 联立方程，化简得，设，则，又，则，所以是定值.【点睛】本题考查通过几何关系求椭圆离心率，根据椭圆上一点求椭圆方程，直线与椭圆的交点，椭圆中的定值问题，属于中档题.20.设，.已知函数，.（）求的单调区间；（）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：在处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.【答案】（I）单调递增区间为，单调递减区间为.（II）（i）见解析.（ii）.【解析】试题分析：求导数后因式分解根据，得出，根据导数的符号判断函数的单调性，给出单调区间，对求导，根据函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，解得，根据的单调性可知在上恒成立，关于x的不等式在区间上恒成立，得出，得，求出的范围，得出的范围.试题解析：（I）由，可得，令，解得，或.由，得.当变化时，的变化情况如下表：所以，的单调递增区间为，单调递减区间为.（II）（i）因为，由题意知，所以，解得.所以，在处的导